2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(广东卷)

1、1 / 10 2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(广东广东卷卷) 数学(文科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上,用 2b 铅笔将试卷类型(a)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后,用 2b 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答.答案必须写在

2、答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2b 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10小题,每小题 5分,满分 50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2015 广东,文 1)若集合 m=-1,1,n=-2,1,0,则 mn=( ) a.0,-1 b.1 c.0 d.-1,1 答案:b 解析:因为 m,n 的公共元素只有

3、1,所以 mn=1. 2.(2015 广东,文 2)已知 i 是虚数单位,则复数(1+i)2= ( ) a.2i b.-2i c.2 d.-2 答案:a 解析:(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i. 3.(2015 广东,文 3)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) a.y=x+sin 2x b.y=x2-cos x c.y=2x+12 d.y=x2+sin x 答案:d 解析:a 为奇函数,b 和 c 为偶函数,d 既不是奇函数,也不是偶函数. 4.(2015 广东,文 4)若变量 x,y满足约束条件 + 2 2, + 0, 4,则 z=2x+3y 的最大值为( )

4、2 / 10 a.2 b.5 c.8 d.10 答案:b 解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而 z=2x+3y 可变形为 y=-23x+3,3表示直线 y=-23x 在 y 轴上的截距,由图可知当直线经过点 a(4,-1)时 z 取最大值,最大值为 z=24+3(-1)=5. 5.(2015 广东,文 5)设abc 的内角 a,b,c 的对边分别为 a,b,c.若 a=2,c=23,cos a=32且 bc,则 b=( ) a.3 b.22 c.2 d.3 答案:c 解析:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos a,得 4=b2+12-2 b 23 32,即 b2-6b+8=0,

5、解得 b=2 或 4.又因为 b0)的左焦点为 f1(-4,0),则 m=( ) a.2 b.3 c.4 d.9 答案:b 解析:由已知 a2=25,b2=m2,c=4,又由 a2=b2+c2,可得 m2=9.因为 m0,所以 m=3. 3 / 10 9.(2015 广东,文 9)在平面直角坐标系 xoy 中,已知四边形 abcd 是平行四边形, =(1,-2), =(2,1),则 =( ) a.5 b.4 c.3 d.2 答案:a 解析: = + =(1,-2)+(2,1)=(3,-1), 所以 =(2,1) (3,-1)=23+1(-1)=5. 10.(2015 广东,文 10)若集合 e

6、=(p,q,r,s)|0ps4,0qs4,0rs4 且 p,q,r,sn,f=(t,u,v,w)|0tu4,0vw4 且 t,u,v,wn,用 card(x)表示集合 x中的元素个数,则card(e)+card(f)=( ) a.200 b.150 c.100 d.50 答案:a 解析:e中有序数组的要求为 s 均大于 p,q,r,当 s 取 4 时,p 可取 0,1,2,3,q 也可取 0,1,2,3,r 也可取 0,1,2,3,此时不同数组有 444=64 个;同理当 s 取 3 时,p,q,r 均可从 0,1,2 中任取 1 个,此时不同数组有 333=27 个; 当 s 取 2 时,p

7、,q,r 可从 0,1 中任取 1 个,不同数组有 222=8 个; 当 s 取 1 时,p,q,r 只能都取 0,不同数组有 1 个,因此 e中不同元素共有 64+27+8+1=100个. f中元素要求为 tu,v0 的解集为 .(用区间表示) 答案:(-4,1) 解析:不等式可化为 x2+3x-40,即(x-1)(x+4)0,解得-4x1. 12.(2015 广东,文 12)已知样本数据 x1,x2,xn的均值=5,则样本数据 2x1+1,2x2+1,2xn+1的均值为 . 答案:11 解析:由题意,yi=2xi+1(i=1,2,n), 则=2+1=25+1=11. 13.(2015 广东

8、,文 13)若三个正数 a,b,c 成等比数列,其中 a=5+26,c=5-26,则 b= . 答案:1 解析:因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac, 即 b2=(5+26)(5-26)=1. 又 b 是正数,所以 b=1. 4 / 10 (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(2015 广东,文 14)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系 xoy 中,以原点 o 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 c1的极坐标方程为 (cos +sin )=-2,曲线 c2的参数方程为 = 2, = 22,(t 为参数),则 c1与c2交点的直角坐标为 .

9、答案:(2,-4) 解析:(cos +sin )=-2, 曲线 c1的直角坐标方程为 x+y=-2. 由已知得曲线 c2的普通方程为 y2=8x. 由 + = -2,2= 8,得 y2+8y+16=0, 解得 y=-4,x=2. 所以 c1与 c2交点的直角坐标为(2,-4). 15.(2015 广东,文 15)(几何证明选讲选做题)如图,ab为圆 o 的直径,e为 ab延长线上一点,过 e作圆 o 的切线,切点为 c,过 a作直线 ec 的垂线,垂足为 d.若 ab=4,ce=23,则 ad= . 答案:3 解析:由切割线定理得 ec2=eb ea, 即 12=eb (eb+4),可求得 e

10、b=2. 连接 oc,则 ocde,所以 ocad, 所以=,即46=2,所以 ad=3. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)(2015 广东,文 16)已知 tan =2. (1)求 tan( +4)的值; (2)求sin2sin2+sincos-cos2-1的值. 解:(1)tan( +4) =tan+tan41-tantan4 =tan+11-tan=2+11-2=-3. 5 / 10 (2)sin2sin2+sincos-cos2-1 =2sincossin2+sincos-(2cos2-1)-1 =

11、2sincossin2+sincos-2cos2 =2tantan2+tan-2 =2222+2-2=1. 17.(本小题满分 12 分)(2015 广东,文 17)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位:度),以160,180),180,200),200,220),220,240),240,260),260,280),280,300分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中 x 的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量为220,240),240,260),260,280),280,300的四组用户中,用分层抽样的方法抽取 11 户居民,则月平均用电量在220,

12、240)的用户中应抽取多少户? 解:(1)由(0.002+0.009 5+0.011+0.012 5+x+0.005+0.002 5)20=1,得 x=0.007 5, 所以直方图中 x 的值是 0.007 5. (2)月平均用电量的众数是220+2402=230. 因为(0.002+0.009 5+0.011)20=0.450.5, 所以月平均用电量的中位数在220,240)内,设中位数为 a, 由(0.002+0.009 5+0.011)20+0.012 5(a-220)=0.5,得 a=224, 所以月平均用电量的中位数是 224. (3)月平均用电量在220,240)的用户有 0.01

13、2 520100=25(户), 月平均用电量在240,260)的用户有 0.007 520100=15(户), 月平均用电量在260,280)的用户有 0.00520100=10(户), 月平均用电量在280,300的用户有 0.002 520100=5(户),抽取比例为1125+15+10+5=15, 所以月平均用电量在220,240)的用户中应抽取 2515=5(户). 6 / 10 18.(本小题满分 14 分)(2015 广东,文 18)如图,三角形 pdc 所在的平面与长方形 abcd 所在的平面垂直,pd=pc=4,ab=6,bc=3. (1)证明:bc平面 pda; (2)证明:

14、bcpd; (3)求点 c 到平面 pda的距离. (1)证明:因为四边形 abcd 是长方形, 所以 bcad. 因为 bc平面 pda,ad平面 pda, 所以 bc平面 pda. (2)证明:因为四边形 abcd 是长方形,所以 bccd. 因为平面 pdc平面 abcd,平面 pdc平面 abcd=cd,bc平面 abcd, 所以 bc平面 pdc. 因为 pd平面 pdc,所以 bcpd. (3)解:取 cd 的中点 e,连接 ae 和 pe. 因为 pd=pc,所以 pecd. 在 rtped 中,pe=2-2= 42-32= 7. 因为平面 pdc平面 abcd,平面 pdc平面

15、 abcd=cd,pe平面 pdc, 所以 pe平面 abcd. 由(2)知 bc平面 pdc. 由(1)知 bcad. 所以 ad平面 pdc. 因为 pd平面 pdc,所以 adpd. 设点 c 到平面 pda的距离为 h, 因为 v三棱锥c-pda=v三棱锥p-acd, 所以13spda h=13sacd pe, 即 h=123671234=372, 7 / 10 所以点 c 到平面 pda的距离是372. 19.(本小题满分 14 分)(2015 广东,文 19)设数列an的前 n 项和为 sn,nn*.已知 a1=1,a2=32,a3=54,且当 n2时,4sn+2+5sn=8sn+

16、1+sn-1. (1)求 a4的值; (2)证明:+1-12为等比数列; (3)求数列an的通项公式. (1)解:当 n=2 时,4s4+5s2=8s3+s1, 即 4(1 +32+54+ 4)+5(1 +32) =8(1 +32+54)+1, 解得 a4=78. (2)证明:因为 4sn+2+5sn=8sn+1+sn-1(n2), 所以 4sn+2-4sn+1+sn-sn-1=4sn+1-4sn(n2), 即 4an+2+an=4an+1(n2). 因为 4a3+a1=454+1=6=4a2, 所以 4an+2+an=4an+1(nn*). 因为+2-12+1+1-12=4+2-2+14+1

17、-2=4+1-2+14+1-2 =2+1-2(2+1-)=12, 所以数列+1-12是以 a2-12a1=1 为首项,公比为12的等比数列. (3)解:由(2)知数列+1-12是以 a2-12a1=1 为首项,公比为12的等比数列, 所以 an+1-12an=(12)-1, 即+1(12)+1(12)=4, 所以数列(12)是以112=2 为首项,公差为 4 的等差数列, 所以(12)=2+(n-1)4=4n-2, 即 an=(4n-2)(12)=(2n-1)(12)-1. 所以数列an的通项公式是 an=(2n-1)(12)-1. 20.(本小题满分 14 分)(2015 广东,文 20)已

18、知过原点的动直线 l 与圆 c1:x2+y2-6x+5=0 相交于不同的两点 a,b. 8 / 10 (1)求圆 c1的圆心坐标; (2)求线段 ab的中点 m 的轨迹 c 的方程; (3)是否存在实数 k,使得直线 l:y=k(x-4)与曲线 c 只有一个交点?若存在,求出 k 的取值范围;若不存在,说明理由. 解:(1)圆 c1:x2+y2-6x+5=0 可化为(x-3)2+y2=4, 所以圆 c1的圆心坐标为(3,0). (2)设线段 ab的中点 m(x,y), 由弦的性质可知 c1mab,即 c1mom. 故点 m 的轨迹是以 oc1为直径的圆, 该圆的圆心为 c(32,0),半径 r

19、=12|oc1|=123=32, 其方程为(-32)2+y2=(32)2, 即 x2+y2-3x=0. 又因为点 m 为线段 ab 的中点,所以点 m 在圆 c1内, 所以(-3)2+ 253. 易知 x3,所以53x3. 所以线段 ab的中点 m 的轨迹 c 的方程为 x2+y2-3x=0(53 3). (3)由题意知直线 l 表示过定点 t(4,0),斜率为 k 的直线. 结合图形,(0-32)2+ 02=94(53 0 3)表示的是一段关于 x 轴对称,起点为 f(53,-253)按逆时针方向运动到 e(53,253)的圆弧(不含端点). 根据对称性,只需讨论在 x 轴下方的圆弧. 由 f(53,-253),则 kft=2534-53=257, 而当直线 l 与轨迹 c 相切时, |32-4|2+1=32,解得 k=34. 在这里暂取 k=34,因为25734,所以 kftk. 9 / 10 结合