一阶常微分方程的若干求解技巧

1、题目：一阶常微分方程的若干求解技巧 院 （系）： 理 学 院 专 业： 信息133班 组 长： 韩 静 成 员： 李盛楠、刘艳玲、刘巧爱 2015年 5月 6日摘要一般的一阶常微分方程没有通用的初等解法，变量分离方程和全微分方程是一阶常微分方程中最基本的“变换”类型。我们在理论学习常微分方程时，总是对变量可分离方程、可化为变量方程、齐次方程、可化为齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、恰当方程、积分因子法、一阶隐式方程求解法求解一阶线性微分方程，不同类型的方程给出不同的解法。关键词：一阶常微分方程 变量分离方程 可化为变量方程 齐次方程 一阶线性微分方程 伯努利方程 恰当方程 积分因子法 一

2、阶隐式方程求解法目录一、变量分离方程1二、可化为变量分离方程2三、齐次方程3四、线性齐次方程6五、一阶线性非齐次微分方程8六、伯努利方程10七、恰当方程求解常用方程11八、积分因子法求解法13九、一阶隐式微分方程及其参数表示19一、变量分离方程 形如 (1.1) （其中.是x.y的连续函数）求解过程如下：（1） 变量分离：（ ） (1.2)（2） 两边分别同时积分： (1.3)（3） 考虑，当不包括在方程通解中时，加上特解,例：求解方程的通解，其中是的连续函数解：变量分离，得到，两边同时积分得，令其中y=0也是方程的解，且包含在通解里，因此这里的c可以使任意常数。二、可化为变量分离方程形如对上

3、式做变量变换：，原方程： （2.1）（2.1）式是一个变量可分离方程，计算方法同一例：求方程：解：令带入得分离变量：两边分别同时积分：若允许c=0,则方程组的通解为：(2) 形如 (2.2)分三种情况来讨论：属于变量可分离方程，再令同上属于变量分离方程三、齐次方程1、定义 形如 (3.1)的微分方程称为齐次方程解法：作变量代换即，代入原式,即 两边积分，得 积分后再用代替u，便得原方程的通解.当存在使，使则是新方程的解.例1：求解微分方程解： 令u=，即,所以得到代入得 微分方程的解为2、齐次方程的遗失解问题在求解一阶齐次微分方程中, 我们的求解方法是运用变量变换，代入到一阶齐次微分方程中,

4、就可以把方程化为变量可分离的方程了。这是一种既简便又常用的方法, 是求解这类微分方程的模式, 但这种模式的解法往往不注意也会产生在求解的过程中遗失解的问题。1、假设(k 是常数)由 可以知道是微分方程(2)的解, 也就是说明 这个解正好是一阶齐次微分方程在分离变量时所遗失的解, 下面通过例子来说明这点.例1 ：求解方程解：该方程可以改写为化成了一阶齐次微分方程, 令把代入方程中得到 经整理分离变量后得到 最后两边积分，整理得到通解若就是上面方程中的可以得到u的三个不同的值，由此得出可以看出也为原方程的解，它就是遗失的解。2、假设时形如 (3.2)的微分方程(其中, 是n 次齐次式)的这类微分方

5、程的遗失解问题。例2 ：求解方程, 其中, 都是一次齐次式。解：方程可以化为,令得到 经过代入到上面的化简的方程后得到 通过分离变量、积分, 整理后就得到原方程的通解 而代入到原方程中也成立, 说明它也是原方程的解, 是一个遗失解。通过以上情形问题的讨论, 我们发现在求解一阶齐次微分方程中, 特别是经过变量变换后, 会产生微分方程解的遗失, 是这个变换式所带来的, 从而使求解不完整.因此, 我们在求解一阶齐次微分方程的解时, 要把遗失解补上。四、线性齐次方程 1、线性方程 对于一般的二元函数,我们无法求出一阶微分方程 （4.1）的解，在处理任何问题时，我们总是从最简单的一些情况入手。对于一个未

6、知的问题，我们总是设法把它转化成为一个已经解决过的形式，方程（4.1）的最简单的情况是与未知函数y无关，即 （4.2）（4.2）的求解问题实际上就是求的原函数，这就可以通过不定积分来实现，即 （4.3）表达式（4.3）为方程（4.2）的通解。一阶微分方程（4.1）的另一种简单形式为 （4.4）方程（4.4）关于未知函数y和其导数y是线性的，故称为线性方程2、线性齐次方程当方程（4）中右端函数时，我们称 （4.5） 为线性齐次方程，求解（5）的基本思路是对它进行恒等变形，将其左端整理成某一个函数的导函数，再进行积分得出它的解。例1：求线性齐次方程的通解。解 ：对方程两端同乘以得由于且故原方程等价

7、于方程 由于的导数恒为零，故其中c为任意常数，即方程的通解为 由上述求解过程，我们看出，只要对（5）两边乘以适当的函数，就可以将其左端合并成某一函数的导数，根据我们的求导的经验，对(4.5）两边同时乘以函数后得 （4.6）即对上式两边积分，再整理后得（5）的通解为 (4.7)（4.7）就是线性齐次方程（4.5）的通解表达式，以后对任一齐次方程（4.5）可以直接由（4.7）式给出它的解。5、 一阶线性非齐次微分方程一阶线性微分方程一般形式： （5.1）形如：当恒等于0时，方程称为一阶齐次线性方程。当不等于0时，称为一阶非齐次线性方程。(a)我们先讨论一阶线性方程，即：由，变量分离方程：，两边同时

8、积分， （5.2）得通解为：，c为任意常数。(b)常数变异法是作为求解一阶线性方程的解法给出的。 我们先讨论下一阶线性非齐次微分方程的常数变异法，再使用常数变异法来求非齐次线性方程的通解。先设有形如齐次线性微分方程的解，将其中的常数c变异为c（x),即设：。则有： （5.3）得通解为：，c 为任意常数。则可得： 为非齐次线性方程的一个特解。即一阶线性非齐次微分方程的通解等于对应齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。例1：求解方程解：化简可得通解为： ，c为任意常数即：，c为任意常数总结:根据此法，我们知道，若能确定一个方程为一阶线性微分方程，求解它时只需套用公式。6、 伯努利方程 （6.1

9、）当n=0或n=1时，即为一阶线性非齐次微分方程的做法来求解；当n0且n1时，令整理可得伯努利微分方程 ，其中当n>0时，我们在求解过程中需要考虑是否有常数解，当n<0时，无需考虑常数解。例1:求解方程 解： （n=2,注意要考虑常数解） ,c为任意常数即：，c为任意常数及常数解例2：求解方程解： （n=2,注意要考虑常数解）通解为： （n=2,注意要考虑常数解）即：，c为任意常数及常数解7、 恰当方程求解常用方程定理 假设函数和在某矩形域内是x,y的连续函数且具有连续的一阶偏导数，则方程是恰当微分方程的充分必要条件是在此区域恒有利用定理我们就可以判定出一个微分方程是否是恰当微分方

10、程。若不是恰当微分方程，则找出使得满足定理的积分因子，再进行求解。积分因子法求解一阶线性微分方程 （7.1）以下为恰当方程求解几种常用方法偏积分法例1：求解方程解法1： 是恰当方程因为则又因为所以，通解为，c为任意常数公式法解法2：经验证是恰当方程即通解为：为任意常数凑微分法解法3： 所以，通解为：为任意常数对比法解法4： 所以通解为：为任意常数八、积分因子法求解法积分因子法求解一阶线性微分方程 （8.1）恰当微分方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义。积分因子就是解决这个问题而引进的概念。如果存在连续可微的函数,使得 （8.2） 为一恰当微分

11、方程，即存在函数，使，则称为方程的积分因子。这时是（2）的通解，因而也就是（1）的通解。同一方程可以有不同的积分因子由，函数为（1）的积分因子的充要条件是即 （8.3） 这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程。要想通过方程（8.3）来求积分因子，从而得到方程（8.1）的解，在一般情况下，将比求解方程本身更困难。但是，在若干特殊情形中，（8.3）的一个特解还是容易的，所以（8.3）就提供了寻求特殊形式的积分因子的途径。（1）观察法对于一些简单的微分方程，用观察法就可以得出积分因子。如:(a) 有积分因子(b) 有积分因子，例1 找出微分方程 的一个积分因子解： 将原方程各项重新组合可以写成由于

12、是的积分因子，也是的积分因子，从而使原方程有积分因子观察法只运用于求解简单的微分方程的积分因子，有的可以直接看出，有的需要先将原方程重新组合，再运用观察法得出。（2）公式法积分因子的形式各异，以致积分因子存在的充要条件各异。下面给出不同形式的积分因子存在的充要条件。结论1 方程有只与x有关的积分因子的充要条件是， （8.4） （8.5）结论2 方程有只与y有关的积分因子的充要条件是， （8.6） （8.7）结论3 方程有只与有关的积分因子的充要条件是， （8.8） （8.9）结论4 方程有只与xy有关的积分因子的充要条件是， （8.10） （8.11）结论5 方程有只与有关的积分因子的充要条件

13、是， （8.12）是仅与有关的函数。结论6 方程有只与有关的积分因子的充要条件是， （8.13）是仅与有关的函数。例2 求解方程 解： 由于，所以原方程不是恰当微分方程。因为只与y有关，故方程有只与y有关的积分因子以乘方程两边得到因而，原方程的通解为例3 求的积分因子.解： 可以由上面的结论得到方程的积分因子例 4 求的积分因子.解： 可以取从而使该方程能够满足定理所需条件则有所以方程的积分因子是例5 求解微分方程的积分因子.解： 由于， 观察可得是关于xy的函数故原方程有积分因子（3）分组组合法若为方程（1）的一个积分因子，且，则也是方程（1）的积分因子，其中是的任一连续可微函数。也可以说微

14、分方程 （8.14）是第一部分的积分因子，即， （8.15） 是第二部分的积分因子，即 （8.16）从，中选择满足的和，其中，是分别关于，的连续可微函数，这样是原方程的积分因子。例6 求解微分方程的积分因子.解：将原方程各项重新组合整理可得观察可得 是第一部分的积分因子，是第二部分的积分因子，观察可得 ，需满足，则可得 ，所以可得积分因子为 例7 求解微分方程的积分因子.解： 将原方程各项重新组合， 是第一部分的积分因子，是第二部分的积分因子，即，分别是第一、二部分的积分因子需满足，令，则 ，所以，得到，故原微分方程的积分因子为九、一阶隐式微分方程及其参数表示1、y显化 （9.1） 令 ， 则 （1） 通解（2） 通解（3） 有参数形式通解2、x显化 （9.2）令，则 ， 整理可得（1） 若求得 ，通解（2） 若求得 ，则通解例1：求解方程解： 令则原式变为 （9.3）（1） 式两端对x求导可得整理后可得 给方程两边同乘p通解为得（c为任意常数） （c为任意常数）例2：求解方程解：令，则原方程变为两端同时对y求导当时，当 3. 不显含y（或x的方程) （9.4） （9.5） 令 ， 令 则可得 例1：求解方程 ，这里解：令，整理可得 化简后可得： 通解