Matlab线性代数入门

1、线性代数线性代数MatlabMatlab入门入门作者作者 刘进生刘进生 太原理工大学太原理工大学 数学系数学系 欢迎进入MATLAB世界TEL:60147692021-12-20MATLABMATLAB的发展史的发展史 MATLAB的产生是与数学计算紧密联系在一起的产生是与数学计算紧密联系在一起的。的。70年代中期年代中期,美国的穆勒教授及其同事在美国国美国的穆勒教授及其同事在美国国家基金会的资助下家基金会的资助下,开发了线性代数的开发了线性代数的Fortran子程子程序库。不久序库。不久,他在给学生开线性代数课时他在给学生开线性代数课时,为了让学为了让学生能使用子程序库又不至于在编程上花费过

2、多的时生能使用子程序库又不至于在编程上花费过多的时间间,便为学生编写了使用子程序的接口程序。他将这便为学生编写了使用子程序的接口程序。他将这个接口程序取名为个接口程序取名为MATLAB,意为意为“矩阵实验室矩阵实验室”。2021-12-20MATLABMATLAB的发展史的发展史l80年代初他们又采用年代初他们又采用c语言编写了语言编写了MATLAB的核的核心心,成立了成立了MsthWorks公司并将公司并将MATLAB正式推正式推向市场。自向市场。自1984年出版以来经过不断的研究年出版以来经过不断的研究,增增加了许多功能。加了许多功能。lMATLAB由主包和功能各异的工具箱组成由主包和功能

3、各异的工具箱组成,其基其基本数据结构是矩阵本数据结构是矩阵.l目前目前MATLAB巳成为国际公认的最优秀的数学巳成为国际公认的最优秀的数学应用软件之一。应用软件之一。2021-12-20MATLABMATLAB的主要功能和特性的主要功能和特性l主要功能主要功能:l1.数值计算功能数值计算功能l2.符号计算功能符号计算功能l3.数据分析和可视数据分析和可视 化化功能功能 l4.文字处理功能文字处理功能l5.SIMULINK动态仿动态仿真功能真功能l主要特点主要特点:l1. 1.功能强大功能强大 MATLAB含有含有30多个应多个应用于不同领域的工具箱用于不同领域的工具箱.l2. 2.界面友好界面

4、友好 MATLAB其指令表达方其指令表达方式与习惯上的数学表达式与习惯上的数学表达式非常接近式非常接近,编程效率高编程效率高.l3. 3.扩展性强扩展性强 用户可自由地开发自己用户可自由地开发自己的应用程序的应用程序2021-12-20MATLABMATLAB入门入门l1.如何进入如何进入 matlab软件软件:在桌面直接双击在桌面直接双击matlab图标，即可进入软件图标，即可进入软件Matlab界面界面2021-12-20MATLABMATLAB主界面主界面2021-12-20工作空间计算举例工作空间计算举例: :输入命令输入命令: l A=1 5 2;3 6 4;6 8 9la1=Ala

5、2=det(A)la3=inv(A) 的转置、行列式与逆。的转置、行列式与逆。，求，求已知已知例例AA 9864632511Matlab界面界面2021-12-20工作空间计算举例工作空间计算举例:输入命令输入命令: A=1 1 -1;2 4 5;1 -3 -4b=12;6;10X=Ab 1043654212 2.zyxzyxzyx求求解解方方程程组组例例输出方程组的解：输出方程组的解： X=5.4545 3.0909 -3.4545 Matlab界面界面2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之向量的创建向量的创建一、向量的创建：一、向量的创建：1.行向量：行向量： x= 1, 2,

6、3, 4, 5 或或: x=1 2 3 4 52.列向量列向量: x=1; 2; 3; 4 或或: x=1 2 3 42021-12-20线性代数实验线性代数实验之之向量的创建向量的创建MATLAB(shuzu1)逗号逗号或或空格空格作用：分隔某一行的元素。作用：分隔某一行的元素。分号分号作用：区分不同的行。作用：区分不同的行。Enter作用：输入列向量时，按作用：输入列向量时，按Enter键开始一新行键开始一新行2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之向量运算向量运算二、向量的运算命令二、向量的运算命令：1.向量向量a与与b的加法：的加法：a + b2.向量向量a与与b的减法：的减法

7、：a b3.数数k乘以向量乘以向量a： k * a 4.向量向量a的转置：的转置： a5.向量向量a与与b的数量积：的数量积：dot (a,b)或或 a * b 6.向量向量a的模：的模：norm(a)2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之向量运算向量运算 例：例：已知已知 a = 3,-1,-2 , b = 1,2,-1 ，c=3,求求1.a+b , ca, (-2a) + 3b 2.dot (a,b ), a*b , norm(a) 命令集：命令集： a=3 1 2 ; b=1 2 1; c=3; a1=a+b a2=c*a a3=(-2*a) + 3*b b1=dot(a,b)

8、 b2=a*b b3=norm(a) MATLAB(shuzu2)2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之矩阵创建矩阵创建例例:A=1 2 3;4 5 6;7 8 9例例:B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 4 3 2 1 一一. 矩阵的创建矩阵的创建逗号逗号或或空格空格作用：分隔某一行的元素。作用：分隔某一行的元素。分号分号作用：区分不同的行。作用：区分不同的行。Enter作用：输入矩阵时，按作用：输入矩阵时，按Enter键开始一新行键开始一新行MATLAB(matrix1)2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算lA*k 数乘矩阵数乘矩阵lA

9、+B 矩阵加法矩阵加法lA*B 矩阵乘法矩阵乘法lAn A的的n次幂次幂lAB 等价于等价于 inv(A) * BlB/A 等价于等价于 B * inv(A)lA A的转置的转置lrank(A) 矩阵的秩矩阵的秩l二二. 矩阵的运算命令矩阵的运算命令2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算ldet(A) A的行列式的行列式lcompan(A)A的伴随矩阵的伴随矩阵linv(A) 或或A-1 A矩阵求逆矩阵求逆lB,jb=rref(A) 阶梯状行的最简式阶梯状行的最简式,jb表示基向量所在表示基向量所在的列，的列，A(:,jb)表示表示A列向量的基（最大无关组）列向量的基

10、（最大无关组）lrrefmovie(A) 给出每一部化简过程给出每一部化简过程lD,X=eig(A)A的特征值与特征向量的特征值与特征向量lnorm(A)矩阵的范数矩阵的范数lorth(A) 矩阵的正交化矩阵的正交化lpoly(A) 特征多顶式特征多顶式2021-12-20输入命令输入命令: la=1 0 -2;-1 3 2lb=-2 1 0;2 -3 6lc=a-bld=3*a+b。求求，例已知例已知BABABA 3,632012231201线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-1-1)2021-12-20输入命令输入命令: la=2 1 4 0;1 -1

11、 3 4lb=1 3 1;0 -1 2 ;1 -3 1;4 0 -2lc=a*b。求求，例已知例已知ABBA,20413121013143110412 线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-1-21)2021-12-20输入命令输入命令: la=2 -1 3;4 0 1lb=0 5 2;1 -3 4lc=a+bld=a*b线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-1-8)。求求，例已知例已知TTTABBABA,431250104312 2021-12-20输入命令输入命令: la=1 2 0;3 -1 4;1 -2 1lb=a

12、2+a-eye(3)线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-1-51)。求求，例已知例已知)(, 1)(1214130212AfxxxfA 2021-12-20输入命令输入命令: la=1 1 1;1 1 -1;1 -1 1lb=1 -1 0;2 -2 5;3 4 1lc=det(a*b)线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-1-7)。求求，例已知例已知|,150421321111111111ABBA 2021-12-20输入命令输入命令: la=1 3 1;2 -1 1;4 -3 2lb=1 0 2;2 1 -1;-1 2

13、 4lformat rat %有理格式lc=a-1ld=inv(b)线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-2-1)。求求，例已知例已知11,421112201234112131 BABA2021-12-20输入命令输入命令: la=1 1 -1;-2 1 1;1 1 1lb=2;3;6lx=a-1*b线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-2-21)。求求例已知例已知XX,632111112111 2021-12-20输入命令输入命令: la=2 1 -1;-2 1 0;1 -1 0lb=1 -1 3;4 3 2lx=b*a

14、-1线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-2-22)。求求例已知例已知XX,234311011012112 2021-12-20输入命令输入命令: la=4 2 3;1 1 0;-1 2 3lx=(a-2*eye(3)-1*a线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-2-3)。求求并且并且例已知例已知XXAAXA,2,321011324 2021-12-20输入命令输入命令: la1=4 2;-1 1la2=1 2;-3 2lA=a1 eye(2);zeros(2) a2lb1=2 -3;0 5lb2=-2 1;1 2lB=e

15、ye(2) b1;zeros(2) b2lC=A+BlD=A*B线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-3-1)。求求例已知例已知ABBABA,2100120050103201,3300210010110124 2021-12-20输入命令输入命令: la1=6;la2=5 1;3 1;lA=a1 zeros(1, 2);zeros(2, 1) a2lb1=3 1;1 2;lb2=-1 2;2 -3;lB=b1 zeros(2) ;zeros(2) b2lC=inv(A)lD=inv(B)线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3

16、-3-2)。求求例已知例已知11,3200210000210013,130150006 BABA2021-12-20输入命令输入命令: la1=3 4;4 -3;la2=2 0;2 2;lA=a1 zeros(2) ;zeros(2) a2lC=A8lD=det(A)线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算。求求例例已已知知|,22000200003400438AA MATLAB(matrix3-3-4)2021-12-20输入命令输入命令: lA=1 0 0 1;1 2 0 -1;3 -1 0 4;1 4 5 1lB=3 2 -1 -3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5 -1 -

17、8lC=1 1 1 0 5;2 1 -1 1 1;1 2 -1 1 2;0 1 2 3 3la=rank(A)lb=rank(B)lc=rank(C)线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算MATLAB(matrix3-4-1)。例例求求矩矩阵阵的的秩秩，其其中中 33210211211111250111,815073131223123,1541401310211001CBA2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算sym 符号变量，矩阵或向量定义函数符号变量，矩阵或向量定义函数三三. 符号矩阵及运算命令符号矩阵及运算命令sym a 将将a定义为符号变量定义为符号变量

18、sym (a b) 将将a ,b定义为符号向量定义为符号向量sym(a b;1 2) 将将a ,b,1,2定义为符号矩阵定义为符号矩阵sym (A) 将将A定义为符号矩阵定义为符号矩阵将矩阵的方括号置于创建符号表达式的单引号将矩阵的方括号置于创建符号表达式的单引号中，元素可以是数字，符号或表达式中，元素可以是数字，符号或表达式syms 符号变量符号变量syms a b 将将a,b定义为符号变量定义为符号变量2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算符号变量、符号向量、符号矩阵的运算与数值变符号变量、符号向量、符号矩阵的运算与数值变量、数值向量、数值矩阵的运算完全相同量、数

19、值向量、数值矩阵的运算完全相同符号矩阵运算命令符号矩阵运算命令的全部根。的全部根。，求，求例设例设0)(8141121)(2 xfxxxfl输入命令输入命令: lA=sym(1 2 1;1 4 x;1 8 x2)lD=det(A)lF=factor(D)MATLAB(Determinant 1-1-2)2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之矩阵运算矩阵运算。例例计计算算行行列列式式333322221111dcbadcbadcbal输入命令输入命令: lsyms a b c dlA=1 1 1 1;a b c dl a2 b2 c2 d2;a3 b3 c3 d3lD=det(A)lF=

20、simple(D)MATLAB(Determinant)2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之线性相关性线性相关性lrank(A) 矩阵的秩lB,jb=rref(A) 阶梯状行的最简式,jb表示基向量所在的列，A(:,jb)表示A列向量的基（最大无关组）lrrefmovie(A) 阶梯状给出每一部化简过程运算命令运算命令），（），（），（求求它它的的最最大大无无关关组组例例求求向向量量组组的的秩秩，并并1, 4, 215 ,7301 , 421321 输入命令输入命令: a1=1 -2 4 1;a2=0 3 -7 5;a3=-1 2 -4 -1;A=a1 a2 a3rrefmovie

21、(A)Matlab界面界面2021-12-20输入命令输入命令: la1=1 2 -1;a2=2 -3 1;a3=4 1 -1;lA=a1 a2 a3lb1=1 1 1 2;b2=3 1 2 5;b3=2 0 1 3;b4=1 -1 0 1;lB=b1 b2 b3 b4lc1=1 2 1 3;c2=4 -1 -5 -6;c3=1 -3 -4 -7;c4=2 1 -1 0;lC=c1 c2 c3 c4la,ja=rref(A);a=A(:,ja)lb,jb=rref(B);b=B(:,jb)lc,jc=rref(C);c=C(:,jc)线性代数实验线性代数实验之之线性相关性线性相关性MATLAB

22、(matrix3-4-2)），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）关关组组相相关关性性并并求求它它的的最最大大无无例例讨讨论论向向量量组组的的线线性性0112743165-1431213101-1310252132111211413-2121143214321321 2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组一一. 求方程组的唯一解或特解求方程组的唯一解或特解l输入命令输入命令: lA=1 2 3 -2;2 -1 -2 -3;3 2 -1 2;2 -3 3 1l b=6;8;4;-8lformat rat %有理格式lX=Ab 83324212

23、3832262324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx求求解解线线性性方方程程组组例例MATLAB(Determinant1-3-8)1. 求解求解Ax=b ：当：当det(A)0时，可用时，可用 x=Ab2021-12-20l输入命令输入命令: lA=1 2 3 -2;2 -1 -2 -3;3 2 -1 2;2 -3 3 1l b=6;8;4;-8lformat rat %有理格式lB=rref(A b)lX=B(:,5) 833242123832262324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx求求解解线线性性方方程程组组例例MATLAB

24、(Determinant1-3-8a)2. 求解求解Ax=b：当：当det(A)0时时, 也可用也可用rref线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组2021-12-20l输入命令输入命令: lA=2 -3 1 5;-3 1 2 -4;-1 -2 3 1l b=6;5;11lformat rat %有理格式lX1=AblB=rref(A b)lX2=B(:,5)的的一一个个特特解解求求线线性性方方程程组组例例 113254236532432143214321xxxxxxxxxxxxMATLAB(equations 4-3-31a)3. 求求Ax=b的一个特解：当的一个特解：当A不满秩时不满

25、秩时, 也可用也可用Ab或或rref线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组注注 当当A不满秩时不满秩时,用用Ab可能有误差，用可能有误差，用rref较好较好2021-12-20l输入命令输入命令: lA=1 1 2 -1;2 1 1 -1;2 2 1 2lformat rat %有理格式lB=null(A,r)lsyms klX=k*B的的通通解解求求线线性性方方程程组组例例 02220202432143214321xxxxxxxxxxxxMATLAB(equations 4-2-21a)1. 求求Ax=0 的通解的通解, 可用可用null或或rref线性代数实验线性代数实验之之解方程组

26、解方程组注注 null给出方程组解空间的一组基给出方程组解空间的一组基二二. 求方程组的通解或基础解系求方程组的通解或基础解系2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组l输入命令输入命令: lA=1 1 0 -3 -1;1 -1 2 -1 0;4 -2 6 3 -4;3 3 0 3 -7lformat ratlB=null(A,r)lsyms k1 k2lX=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)lC=rref(A)的的通通解解求求线线性性方方程程组组例例 07333043624020354215432143215421xxxxxxxxxxxxxxxxxMATLAB(eq

27、uations 4-2-23)2021-12-20MATLAB(equations 4-3-31)2. 求求Ax=b 的通解的通解, 可用可用rref或或null以及以及Ab线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组 113254236532432143214321xxxxxxxxxxxx求求解解线线性性方方程程组组例例l输入命令输入命令: lA=2 -3 1 5;-3 1 2 -4;-1 -2 3 1l b=6;5;11lX0=AblB=null(A)lsyms k1 k2lX=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+X02021-12-20MATLAB(equations 4-3-32)

28、线性代数实验线性代数实验之之解方程组解方程组 4289932322432143214321xxxxxxxxxxxx求求解解线线性性方方程程组组例例l输入命令输入命令: lA=1 1 2 -2;2 3 9 -9;2 1 -1 1l b=3;8;4lformat ratlX0=AblB=null(A)lsyms k1 k2lX=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+X02021-12-20线性代数实验线性代数实验之之内积与正交内积与正交求向量的内积与矩阵的正交化的命令求向量的内积与矩阵的正交化的命令l向量向量a与与b的数量积：的数量积：dot (a,b)或或 a * b l向量向量a的模的模：n

29、orm(a)l矩阵矩阵A的正交规范化：的正交规范化：B=orth(A) B的列向量与的列向量与A的列向量具有相同的空间，的列向量具有相同的空间，B且正交且正交），（），（），（），（），（），（），（）准准正正交交化化例例求求下下列列向向量量组组的的标标6002113113131111212615121214321321 2021-12-20输入命令输入命令: a1=2 -1 -2;a2=-1 5 1;a3=6 2 -1;a1=a1/norm(a1)a2=a2-(a1*a2) *a1;a2=a2/norm(a2)a3=a3-(a1*a3)*a1-(a2*a3)*a2;a3=a3/norm(a3

30、)b1=1 1 1 1;b2=3 -1 3 -1;b3=1 3 -1 1;b4=-2 0 0 6;b1=b1/norm(b1)b2=b2-(b1*b2)*b1;b2=b2/norm(b2)b3=b3-(b1*b3)*b1-(b2*b3)*b2;b3=b3/norm(b3)b4=b4-(b1*b4)*b1-(b2*b4)*b2- (b3*b4)*b3;b4=b4/norm(b4)线性代数实验线性代数实验之之内积与正交内积与正交MATLAB(innerporduct5-1-3)2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之内积与正交内积与正交输入命令输入命令: lA=4 0 0;0 3 1;0 1 3lB=orth(A)lD=B*BMATLAB(orthogonal)正正交交规规范范化化。例例将将矩矩阵阵 310130004A2021-12-20线性代数实验线性代数实验之之特征值与特征向量特征值与特征向量求矩阵特征值与特征向量的命令求矩阵特征值与特征向量的命令lV=eig(A) A的特征向量的特征向量l V,D=eig(A) A的特征值与特征向量的特征值与特征向量