最新中考数学各种题型的突破方法

1、中考数学各种题型的突破方法一、阅读理解题型解题方法1 .联系教材法例1我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大 小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形，它们的边长，对 角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形.现给出下列4对几何图形：两个圆；两个菱形；两个长方形；两个 正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形解析：通过对材料的阅读，能称为相似图形的条件是边长， 对角线等元素对 应成比例.因为圆的周长等于2 r ,所以两的圆的周长比等于半径比，因此两个 圆是相似图形；两个菱形的各边长可以对应成比例，但其角度不一定对应相等， 从而导致

2、对角线不一定能与边长对应成比例，所以两个菱形不一定是相似图形； 两个长方形的边长与对角线也不一定对应成比例；正六边形的边长全部相等，并且其对角线等于边长的2倍，所以两个正六边形的边长与对角线对应成比例，即 两个正六边形是相似图形.答案：、方法点拨：有的阅读理解题所提供的材料也可从书本知识上找到相关原形， 因此在解决这类问题时，也可采用教材中的相关概念或性质等.相似图形根据定义要求各边对应成比例，各角对应相等，由此可推出各对角线也与各边对应成比 例.所以判断时，也可判断各角是否对应相等.2 .靠船下篙法例2阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：11+2+3+ +100=?经过

3、研究，这个问题的一般性结论是 1+2+3+- +n - n n 1 , 2其中n是正整数.现在我们来研究一个类似的问题：1X2+2X 3+- n n 1 =?观察下面三个特殊的等式11 2 -123012 312 3 - 2 3 4 1 2 3 313 43 4 5 2 3 431将这三个等式的两边相加，可以得到 1X2+2X 3+3X 4= - 3 4 5 20 3读完这段材料，请你思考后回答：(1) 1 2 2 3100 101 (2) 1 2 3 2 3 4n n 1 n 2 (3) 1 2 3 2 3 4n n 1 n 2 (只需写出结果，不必写中间的过程)“- 1,、1答案：(1 )

4、 - 100 101 102 或 343400; (2) -n(n 1)(n 2) ; (3) 3311n(n 1)(n 2)(n 3)4方法点拨：当有的阅读理解材料中，无法找到明显的书本知识进行解题时，一定要紧紧抓住试题中所提供的材料与信息， 靠船下篙，从题目本身去发现解题 方法.就本题而言，要有一定的数字感知能力，能从三个特殊的等式得到的式子 中发去发现式子的特征，从而找出规律，写出最终结果.例3姚明是我国著名的篮球运动员，他在 20052006赛季NBAa规赛中表 现非常优异.下面是他在这个赛季中，分期与“超音速队”和“快船队”各四场 比赛中的技术统计.场次对阵超音速对阵快船得 分籥 板

5、失 误得 分籥 板失 误第一场22r 102 12517r 2 :第二场2910229150第三场2414217124第四场261052272(1)请分别计算姚明在对阵“超音速”和“快船”两队的各四场比赛中， 平均每场得多少分？(2)请你从得分的角度分析，姚明在与“超音速”和“快船”的比赛中， 对阵哪一个队的发挥更稳定？(3)如果规定“综合得分”为：平均每场得分X1+平均每场篮板X 1. 5十平均每场失误X (-1. 5),且综合得分越高表现越好，那么请你利用这种评价 方法，来比较姚明在分别与“超音速”和“快船”的各四场比赛中，对阵哪一个 队表现更好？解析：(1)姚明在对阵“超音速”队的四场比

6、赛中，平均每场得分为=25.25姚明在对阵“快船”队的四场比赛中，平均每场得分为元=23. 25(2)姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中得分的方差为S2 =6. 6875姚明在对阵“快船”队的四场比赛中得分的方差为 S； = 19. 1875(3)姚明在对阵“超音速”队的四场比赛中的综合得分为p1=25. 25+11X1. 5+ X ( 1. 5) =37. 625姚明在对阵“快船”队的四场比赛中的综合得分为51p2 =23. 25+X 1. 5 + 2X ( 1. 5) =39. 375 4 P1 P2,；姚明在对阵“快船”队的比赛中表现更好.答案：(1)对阵“超音速”队平均每场得分 25.

7、 25分，对阵“快船”队平 均每场得分23. 25分；(2)对阵“超音速”队方差为 6. 6875,对阵“快船” 队方差为19. 1875; (3)对阵“超音速”队综合得分为 37. 625分，对阵“快 船”队综合得分为39. 375分.方法点拨：本题要根据题目中的问题，利用统计知识分析表格中的数据， 计算出相关的量，从而做出正确的决断.例4我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全 等.那么在什么情况下，它们会全等？(1)阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等.对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等 (证明略).对于这两个三角形均为锐角三角形，它们

8、也全等，可证明如下：已知：zABC zA 1B1G 均为锐角三角形，AB=AB, BC=BC , / C=/ C.求证：zXABCABG.(请你将下列证明过程补充完整.) 证明：分别过点B, Bi作BDL CA于D,图 10-2B i DC Ai于 D. 则/ BDCW BDG=90,. BC=BCi, /C=/ G, .BCDiAB iCD, .BD=BD.(2)归纳与叙述：由(1)可得到一个正确结论，请你 写出这个结论.解析：(1)由题目条件可知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形只有当它们是属于同一种三角形时， 两个三角形才能全等，因为对于直角三角形， 这一条件容易直接证明全等，

9、而对 于锐角三角形，则需要通过证明，使其具备一般三角形全等的判定条件， 顺其思 路，可转化为用AAS证明全等.(2)由(1)中的已知条件及证明过程不难理解，用两边及其中一边的对角 分别对应相等来判定两个三角形全等时，应具备前提条件两个三角形是同一种三 角形.答案：（1）又. AB= A1B1, /ADB= /A1D1B1=90 .ADB A1D1B1, / A= / A1又/ C= / C1 , BO B1cl. .AB赍 A1B1cl(2)若AABC A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB= A1B1, BO B1c1 , / C= C C1,则 AAB登 A1B1

10、C1方法点拨：本题所提到“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角 形”，在一般情况下是不可以直接判定为全等的，只有当特殊情况，如两个直角 三角形时，可直接判定全等，如果是两个锐角或钝角三角形时，需要证明.如果 不是同一种三角形则不能全等.二、归纳猜想题型解题方法1 .循序渐进法例1如图10-3,是五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形.照此规律闪烁, 下一个呈现出来的图形是（） A B C D图 10-3解析：观察上面三个正方形，可以看出每个五角星中有三个深色的三角形， 其中一个单独的与另两个相邻的三角形相对，闪烁一次，三个深色三角形作为一个整体，可看作是顺时针旋转144度（也就是与原来的隔一

11、角）.按此规律，容 易找出下一次闪烁后呈现出来的图形.答案：A方法点拨：归纳猜想题最忌讳毫无章法，胡乱猜测，归纳猜想题往往是有章 可循的，只要你循序渐进，仔细观察和分析，一定可以从题目的条件中发现重要 信息，从而实现轻松解题.本题要求从现有的三个图形中，找出规律，然后分析 出再一次闪烁后出现的图形.2 .数形结合法例2探索规律：根据图10-4中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006,A B C D图 10-4解析：仔细观察分析，本题是通过图形的方式反映数字重复出现的规律，通 过观察，可以看出，每隔4个数是一个循环，从图形上体现出相同的规律，并且 4既是终了位置同时又是下一个新的循环的

12、起始位置.要找出 2004至2005再到 2006的箭头方向，计算2004 4 501,说明第2004个数刚好是完成第501个循 环，同时又将开始下一个循环.答案：A方法点拨：在许多数学试题中，数形结合思想至关重要，在归纳猜想题里也不例外.有时单从数字中很难看出什么眉目，但如果能有意识的从“形”的角度 联系起来进行分析，往往会收到出奇制胜的效果.本题是数形结合反映规律，重复出现的图形反映出数字所具有的规律， 要求解数字问题，关键还在于找出图形 体现出的规律.例3如图10-5,已知矩形 ABCD的边长AB 3cm, BC 6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运

13、动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，4AMN的面积等于矩形ABCD面积的-?9（2）是否存在时刻t,使以A, M, N为顶点的三角形与4ACD相似？若存 在，求t的值；若不存在，请说明理由.解析：（1）设经过x秒后，zAMN一.，11则有：一（6 2x）x 3 6,即 x229 _一一， 1的面积等于矩形ABCD面积的193x 2 0 ,解方程，得x1 1, x22 .经检验，可知x1 1, x2 2符合题意，所以经过1秒或2秒后，4AMN的 _一一， 1面积等于矩形ABCD面积的.9（2）假设经过t秒时，以A, M, N为顶点的三角形

14、与4ACD相似，由矩形ABCD ,可得/ CDA Z MAN 90o,因此有&M 匹或地 -DAAN DA AN DC即上3,或6.6 2t 66 2t 3，一一3一12解，得t3;解，得t25一一3 .12.一. 一一、 . . . . 3一，经检验，t 3或t上都符合题意，所以动点M, N同时出发后，经过8秒25212 一，或上秒时，以A, M, N为顶点的三角形与4ACD相似5答案：（1）经过1秒或2秒后；（2）,经过3秒或12秒时.25方法点拨：通过动点问题考查一元二次方程 （二次函数）是数学建模的一种 常见形式.这也是一种数形结合问题，几何图形中的点的运动情形可以通过代数 式来体现，

15、从形的角度无法解决的问题，从“数”的角度求解却显得很容易.（1） 本题中矩形ABCD面积已知，故解题关键在于找出 4AMN的底与高，通过设定经过的时间为未知数，把 4AMN面积用含未知数的式子表示出来，然后解方程即可.（2）利用相似得到比例式，从而得到相关方程并求解.3 .举一反三法例4如图10-6,将n个边长都为1cm的正 方形按如图所示摆放，点 A、4、A分别是 正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分 的面积和为（）A. cmB . ncm4 4n 121n 2C.cmD. （-） cm解析：通过观察，不难发现，每两个连续的这样摆放的正方形中互相重叠的 部分的面积刚好是一个正方形面积的四

16、分之一，而三个连续这样摆放的正方形有 两个这样的重叠的部分.所以 n个这样的正方形重叠部分的面积和为 ncm24答案：选择C方法点拨：归纳猜想题中，有许多试题是通过局部反映整体的.这时，要求 能通过观察，发现这种特点，然后只需分析或者解决其中部分问题， 再通过举一 反三，达到通盘解决问题的目标.利用旋转或三角形全等知识可证明每两个相邻 正方形重叠部分的面积等于一个正方形面积的四分之一，再通过观察，发现后面全部具有相同的规律，容易求出结果.三、方案设计题型解题方法1 .实践操作法例1印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数， 可按如下方 法操作：如图10-8,先将一张整版的纸，对折一次

17、为 4页，再对折一次为8页， 连续对折三次为16页，；然后再排页码. 如果想设计一本16页的毕业纪 念册，请你按图1、图2、图3 （图中的1, 16表示页码）的方法折叠，在图 4 中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码.1889161512134图 10-8解析：本题单凭想象完成有一定困难，但其实际操作较为简单，通过实际操 作容易得到答案.答案方法点拨：在考试时，完成这道题单凭想象完成比较困难，但却操作简单易行，建议考试时遇这类问题时，可进行实际操作.2 .直观作图法例1操作与探究：（1）图是一块直角三角形纸片.将该三角形纸片按如图方法折叠，是点 A 与点C重合，DE为折痕.试证

18、明 CBE等腰三角形；（2）再将图中的 CBE沿对称轴EF折叠（如图）.通过折叠，原三角形 恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合（指无缝无重叠） 所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形” .你能将图中的 ABC折 叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图中画出折痕；（3）请你在图的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：折成 的组合矩形为正方形；顶点都在格点（各小正方形的顶点）上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形（其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上 ）.请你进一步探究，一个非特殊 的四边形（指除平行四边形、梯形外的四边形）满足

19、何条件是，一定能折成组合矩 形？图图图 10-12解析：（1） :/EC由90 -Z DCE /B= 90 /A,又由对称性知，/ A = /DCE ；/EC氏 /B,. BCE等腰三角形.图1图2图 10-13（2）如图10-13中的图1所示（共有三种折法，折痕画对均可）（3）如图10-13中的图2所示（答案不唯一，只要体现出一条边与该边上 的高相等即可）（4）当一个四边形的两条对角线互相垂直时，可以折成一个组合矩形.答案：略（见解析）方法点拨：本题要求首先要能正确理解题中所介绍的“组合矩形”的概念， 同时能熟练运用从特殊到一般的学习方法， 由题目的已知图示，完成一般情形下 的相关操作.解题

20、关键：要能拼合（即无缝无重叠），根据（1）问的证明，第一次折叠时 必须沿其中一条中位线，然后再沿着与这条中位线平行的边的垂直方向进行折叠 即可.3.图表分析法例1某服装厂现有A种布料70m, B种布料52m,现计划用这两种布料生产 MN两种型号的时装80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6m1 B种布料0.9m,可获利45元，做一套N型号的时装需要A种布料1.1 m B种布料0.4m5 可获利50元。若设生产N型号的时装套数为x,用这批布料生产这两种型号的 时装所获的总利润为y元。(1)求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值 范围；(2)该服装厂在生产这批时装中，当生产 N型号的时

21、装多少套时，所获利 润最大？最大利润是多少？解析：虽然题目看起来与前面的调运问题联系不大，但这道题中同样也出现了较多量及数据，因而同样可利用图表来整理数据，而且也方便易行。对于第一个问题的函数关系，根据题中已设好的未知数及相关条件易得“y 45(80 x) 50x，化简即“ y 5x 3600”。这道题的难点在于确定自变 量x的取值范围，对于这个问题，可用两种方法进行分析。分析方法一：列表法每套时装用料(80-x)套M型时装x套N型时装总用料量A种布料(共70m)0.61.10.6 (80-x) +1.1xB种布料(共52m)0.90.40.9 (80-x) +0.4x上表格形式简单，内容清晰

22、，完成表格并不困难，重要的是让学生理解求x范围的关键在于两种型号的时装每种布料用量和不能超过所提供的布料，由此得出两个不等式 “ 0.6 (80-x) +1.1x70, 0.9 (80-x) +0.4x52 解两个不等 式即可求出x的取值范围为“40&x&44”。其实到这里问题也就基本解决了，因为第二个问题可由刚才的结论直接求得分析方法二：画图法和例 1 相比， 这个示意图在结构上更为简洁， 每种型号的时装都用到两种布料，图中箭头指向是该布料的使用情况，如：由 A 种布料引出的两根箭头表示A种布料分别用于M型时装每套0.6m1用于N型时装每套1.1m,而M型时装共生产(80-x)套，这样A种布

23、料一共使用了 0.6 (80-x) +1.1xm同理可得，B种布料一共用了 0.9(80 x) 0.4xm。 通过这个示意图也很容易求出 x 的取值范围。具体解题过程如下：答案： ( 1)由题意得y 45(80 x) 50x化简可得y 5x 3600又 0.6(80 x) 1.1x 700.9(80 x) 0.4x解之得40 & x & 44(2)当 x=44 时，y=5X 44+3600=3820.当生产N型号的时装44套时，所获利润最大，最大利润是3820元。方法点拨： 通过图表将题目中的各数据间的关系更为简洁的体现出来， 使得题意更加明朗， 各个量之间的关系也变得国家更加清晰， 从而降低

24、了解题的难度。再结合问题，设出未知数后， 利用图表所反映出来的关系， 可以把各个相关量全部表示出来，最后根据相等关系，不难列出方程，完成解题。拓展演练1我国劳动法对劳动者的加班工资作出了明确规定， “五一”长假期间，前3 天是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资300支付加班工资，后 4 天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休， 不能安排补休的，按照不低于劳动本人日工资或小时工资的200支付加班工资小朱由于工作需要，今年5 月 2 日、 3 日、 4 日共加班三天，已知小朱的日工资标准为 47元，则小朱“五一”长假加班三天的加班工资应不低于 元2 1883 年，康托尔构

25、造的这个分形，称做康托尔集从数轴上单位长度线段开始， 康托尔取走其中间三分之一而达到第一阶段； 然后从每一个余下的三分之一线段中取走其中间三分之一而达到第二阶段 无限地重复这一过程， 余下的无穷点集就称做康托尔集 上图是康托尔集的最初几个阶段， 当达到第八个阶段时，余下的所有线段的长度之和为( )1111 111111111111IlliIlli IlliIlliIlliIlliIlliIlliA.3 .小明受乌鸦喝水故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操 作：有水溢出则称这个图形是自相请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量桶中水面升高 cm；（2）求放入小球后量桶

26、中水面的高度 y （cm）与小球个数x （个）之间的一次 函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）（3）量桶中至少放入几个小球时有水溢出?4 .定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形, 似图形.探究：（1）如图甲，已知 ABC中/C=90,你能把 ABC分 割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请 在图甲中画出分割线，并说明理由.（2） 一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点， 则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把DEF（图乙）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）;把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边

27、中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）依次规则操作下去.n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn.若 DEF的面积为10000,当n为何值时，2S1时，请写出一个反映 S-1, S, Sn+1之间关系的等式（不必证明）5.下图是R C两市到A市的公路示意图，小明和小王提供如下信息：小明：普通公路EA与高速公路DA的路程相等；小王：A、B两市的路程（B-D-A）为240千米，A、c两市的路程（C-E-A）为 290千米，小明汽车在普通公路BD上行驶的平均速度是30千米/时，在高速公路 DA 行驶的平均速度是90千米/时；小王汽车在高速公路CE行驶的

28、平均速度是100千米/时，在普通公路EA上 行驶的平均速度是40千米/时；小明汽车从B市到A市不超过5时；小王：汽车扶C市到A市也不超过5时.若设高速公路AD的路程为x千米.（1）根据以上信息填表:路程 （单位千米）行驶速度（单位千米/时）所需时间 （单位时）高速公路AD普通公路BDI普通公路AE1高建公路CE（2） 试确定高速公路AD的路程范围.6 . 100个数排成一行，其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两个数的和，如果这100个数的前两个数依次为1, 0,那么这100个数中“0”的个数为 个.7 .如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方案摆下去，当每边上摆200曲艮火

29、柴棒时，共需要摆 根火柴棒.8 .有规律排列的一列数：2, 4, 6, 8, 10, 12,它的每一项可用式子 2n （n 是正整数）来表示.有规律排列的一列数：1, 2,3,4,5,6,7,8,（1）它的每一项你认为可用怎样的式子来表示？（2）它的第100个数是多少？（3） 2006是不是这列数中的数？如果是，是第几个数？9 .尝试如图，把一个等腰直角 ABC&斜边上的中线CR裁剪线）剪一刀，把分 割成的两部分拼成一个四边形A BCD如示意图（1） .（以下有画图要求的，工具 不限，不必写画法和证明）（1）猜一猜：四边形A BCA定是;（2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图（1）不同

30、的四边形，并在图（2） 中画出示意图.探究在等腰直角 ABCK请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两 部分拼成一个特殊四边形.（1）想一想：你能拼得的特殊四边形分别是 ;（写出两种）（2）画一画：请分别在图（3）、图（4）中画出你拼得的这两个特殊四边形的 示意图.拓广在等腰直角 ABCK请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀， 把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.（1）变一变：你确定的裁剪线是 （写出一种）拼得的特殊四 边形是;（2）拼一拼：请在图（5）中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图.10 .如图1, 一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形 ABCD勺两条边分别 重合在一

31、起.现正方形 ABC贽持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点。（点O 也是BD中点）按顺时针方向旋转.（1）如图2,当EF与AB相交于点M GF与BD相交于点N时，通过观察或 测量BM FN的长度，猜想BM FN满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延 长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.11 .在图1至图3中，已知 ABC的面积为a .（1）如图1,延长ABC勺边BC到点D,使CD=BQ连结DA若 ACD勺面积为S ,则S1=（用含a的代数式

32、表示）；（2）如图2,延长ABC勺边BC到点D,延长边CAgJ点E,使CDBC AE=C/ 连结DEL若 DEC勺面积为S,则S=（用含a的代数式表示）；（3）在图122的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连结FD, FE,得到DEF（如图3）.若阴影部分的面积为S3,则&=（用含a的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由.EE发现像上面那样，将 ABC各边均顺次延长一倍，连结所得 端点，得到 DEF（如图3）,此时，我们称ABCO外扩 展了一次.可以发现，扩展一次后得到的 DEF的面积 是原来 ABC面积的 倍.应用要在一块足够大的空地上栽种花卉，工程人员进行了如下 的图案设计：首先在ABC勺空地上种红花，然后将 ABC 向外扩展三次（图4）已给出了前两次扩展的图案）.在 第一次扩展区域内种黄花，第二次扩展区域内种紫花，第 三次扩展区域内种蓝花.如果种红花的区域（即 AB