(完整版)黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

1、黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王些51 武相伶54 许小亭57 杨莉69 赵志阳9黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1 、黎曼积分定义：设f X在a,b上有界，对a,b做分割，T a x0为Xn bM，其中 yiyi 1ninf f x ,x xi , xixi 1 X ,smi xixi 1i 1bbSdx sdxaa:设在可测集E上可测，若记f x max f x ,0 ,其中令 M i sup f x , x xi , mi nS M i xi xi 1 ,若有 i 1则称f x在a,b

2、上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：，0,作 m y° ,yiyn和下界，令 Eix, yi i f x yi , i 1,2,3、一般的可测函数的积分定义为,M ,m分别为f x在E上的上界 nn若lim°yi 1mEi存在，则f x勒贝格可积.i 1f x min f x ,0，则有 f x f x ff x在E上的积分确定且x ,若 f x dx , f _ x dx不同时为，则EEf x dx f x dx f x dx .EEE4、简单函数的勒贝格积分定义：设f x是可测集E上的非负简单函数，于是有对E的n划分Ei ,i 1,2 n, f x在Ei上的取值为G ,则f

3、 xci日,定义f x的勒贝格积分为i 1 nf x dmcimEi,若 f x dm ，则称f x在E上勒贝格可积.Ei 1E5、非负可测函数的勒贝格积分定义fn x，对任意的:取E上的非负简单函数列x E , fn x都收敛于f x ,则f x在E上勒贝格可积其积分为lim fn x dm f x dm. n EE对一般的函数由于f x f x f x ,则f x dm f x dm f x dm.EEE若左端的两个积分值都有限时，称f x在E上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广，所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积，但勒贝格可 积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较

4、黎曼可积的条件黎曼可积的条件必要条件定义在a,b上的f x黎曼可积的必要条件是f x在a,b上有界.注 任何黎曼可积白函数必有界，但有界函数不一定黎曼可积黎曼可积的充分必要条件1、设f x是定义在a,b上的有界函数，则f x黎曼可积的充分必要条件为f x在a,b上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设f x在a,b上有界，T a x0 x1xn b为对a,b的任一分割，其中令M i sup f x , xxi , mi inf f x ,x xxixi 1 X ,smi xi i 1xi 1nS Mi xi xi 1 ,i 1,2, n 有 i 1 bbSdx sdx.aa2、设f x是定义在a,b

5、上的有界函数，则f x黎曼可积的充分必要条件为0, 总存在某一分割T ,使得Wi xWi Mi mi .i 13、设f x是定义在a,b上的有界函数，则f x黎曼可积的充分必要条件为0,总存在某一分割T ,使得ST sT成立.4、定义在a,b上的函数f x黎曼可积的充分必要条件为f x在a,b上的一切间断 点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的.勒贝格可积条件1、设f x是定义在可测集E上的有界函数，则f x在E上勒贝格可积的充要条件为0,总存在E的某一分割D,使得wimEi2、设f x是定义在可测集E上的有界函数，则f x在E上勒贝格可积的充要条件为f x在E上勒贝格可

6、测.3、设f x在a,b上的黎曼反常积分存在，则f x在a,b上勒贝格可积的充要条件 为f x在a,b上的黎曼反常积分存在，且有b f xdm f x dx. a,ba4、设fnx为E上的可测函数列，fnx在E上的极限函数几乎处处存在，且fn x dx M ,则f x在E上勒贝格可积. E5、设f x是是定义在可测集E上的连续函数，则f x在E上勒贝格可积的充要条件为f x在E上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若f x ,g X是定义在a,b上黎曼可积函数，则x g x , f x g x也在a, b上黎曼可积.bbf x g x dx f x dxaab

7、bbb2、（区域可加性）设有界函数f x在a,c , c,b上都黎曼可积，则f x在a,b上也黎曼可积，且有bf x dxacbf x dx f xdx.ac3、（单调性）若f x ,g x是定义在a,b上黎曼可积，且f x g x ,则bbf xdx g xdx.aa4、（可积必绝对可积）若f x在a,b上黎曼可积，则|f x在a,b上也黎曼可积，且有bf x dxaf x dx.gxdx,但 g x f x dx f x dx g x dx.其逆命题不成立.5、若f x在a,b上黎曼可积，则在a,b的任意内闭子区间a, b上也黎曼可积.且其积分值不会超过在a,b上的积分值.16、若f x是

8、a,b上非负且连续的函数，若有f xdx 0,则f x在a,b上恒等于零.07、若fx , g x是a,b上的黎曼可积函数，则M max f x , g x m min f x , g x 在a,b上也黎曼可积.118、若f x在a,b上黎曼可积,在a,b上有定义且有界，则也在a,b上黎曼 可积.勒贝格积分的性质Ek, Ek等均可测且两1、（有限可加性）设f x是有界可测集E上的可积函数,Ek 1两互不相交，则有f xdxf xdx f x dxf xdx.EEiE2En2、对于给定的可测函数f x , f x与f x的可积性相同且f x dxf x dx .EE3、（单调性）若f x , g

9、 x在E上勒贝格可积，且f x g x几乎处处成立，则f xdxg xdx .EE4、f x是E上的非负可积函数，则f x在E上是几乎处处有限的.5、f x是E上的非负可测函数，若f x在E上几乎处处等于0,则f xdx 0.E6、（零测集上的积分）若mE 0,则f xdx 0.E7、f x是E上的勒贝格可积函数，f x 0在E上几乎处处成立，则f xdx 0. E8、设f x在E上可测，若存在非负函数g x在可测集E上勒贝格可积，f x g x几乎处处成立，则f x在可测集E上勒贝格可积.9、f x在可测集E上勒贝格可积，人是E的可测子集，则f x在A上也勒贝格可积.且其积分值不会超过在E上

10、的积分值.10、设f x在E上可测，则f x dx 0的充要条件是f x 0在E上几乎处处成立. E11、设f x ,g x均在E上勒贝格可积，则M max f x , g x , m minfx,gx也在E上勒贝格可积.12、若f x与g x在E上几乎处处相等，则g x也可积，且f xdx g xdx .EE13、设f x在可测集E上勒贝格可积函数，则其不定积分是绝对连续函数14、设f x为可测集E上勒贝格可积函数，则存在绝对连续的函数g x，使得g x导函数在E上几乎处处等于f x .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理L若函数列fn X在区间I上一致收敛，且每一项都连续

11、，则其极限函数f X也在I上 连续.2 .（可积性）若函数列fn X在区间I上一致收敛，且每一项都连续,bblim fn x dx lim fn x dx . nnaa3 .（可微性）设fn X为定义在a,b上的函数列若Xoa,b为fn X的收敛点，且fn X的每一项在a,b上都有连续的导数，fn X在a,b上一致收敛，则ddlim fn x lim fn x .dx nn dx4 .有界收敛定理设fn x是定义在a,b上的黎曼可积函数.（1） fn x M n 1,2 , x a,b .f x是定义在a,b上的黎曼可积函数.且lim fn x f x .则有 nbblim fn x dx f x dx. n aa与勒贝格积分相关的定理1 .（勒维定理）设可测集E上的可测函数列fn X满足如下条件：0f1 x f2 x , lim fn x f x，则fn x的积分序列收敛于f x的积分nf xdx lim f n x dx . nEE2 .（勒贝格控制收敛定理）设可测集E上的可测函数列fn x满足如下条件：（1） fn x 的极限存在,lim fn x f x . n存在可积函数g X使得fn x g x , x E,n N那么f X可