高等数学：8-3 曲面及其方程

1、五、二次曲面五、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念四、旋转曲面四、旋转曲面 三、柱面三、柱面机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 曲面及其方程曲面及其方程 第八八章 二、平面及其方程二、平面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的222)3()2() 1(zyx07262zyx化简得化简得即说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例: :显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, , 不在此平面上的点的坐标不满足此方

2、程不在此平面上的点的坐标不满足此方程. .222)4() 1()2(zyx解解: :设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为, ),(zyxM,BMAM 则轨迹轨迹方程方程. . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足方程上的任意点的坐标都满足方程;则称则称F( x, y, z ) = 0 为曲面为曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形的图形.两个基本问题两个基本问题 :

3、 :(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2) 满足方程的任一解都在曲面满足方程的任一解都在曲面 S 上；上；求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求方程为故所求方程为例例1. 求动点到定点求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程方程. 特别特别, ,当当M0在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为解解: 设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上表示上

4、(下下)球面球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 研究方程研究方程042222yxzyx解解: : 配方得配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形.的曲面的曲面. . 表示表示怎样怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 5)2() 1(222zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面及其方程二、平面及其方程zyxo0Mn1.1.平面的点法式方程平面的点法式方程0)(

5、)()(000zzCyyBxxAM称称式式为平面为平面 的的点法式方程。点法式方程。 000,xxyyzz00nMMMM0则有则有 故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2 2 称垂直于平面的任一非零向量为平面的法向称垂直于平面的任一非零向量为平面的法向量，记为量，记为n 设一平面通过已知点设一平面通过已知点0000(,)Mxyz ,nA B C 求该平面求该平面 的的方程方程. .( , , ),M x y z 任任取取点点nMM0kji例例1.1.求过三点求过三点,1M又 14, 9,10)4() 1(9)2(14zyx015914zyx即即1M2M3M解解: 取该平面取该平面

6、的法向量为的法向量为),2,3, 1(),4, 1,2(21MM)3,2,0(3M的平面的平面 的方程的方程. 利用点法式得平面利用点法式得平面 的方程的方程346231nn3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：注：当平面与三坐标轴的交点分别为当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的此式称为平面的截距式方程截距式方程. . 123( ,0,0),(0, ,0),(0,0, )P aPbPc1xyzabc时时, ,)0,(cba平面方程为平面方程为 1Pozyx3P2P机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.平面的一般方程平面的一般方程设有三元一次方程设有三元一次方程 以

7、上两式相减以上两式相减 , 得平面的点法式方程得平面的点法式方程式式称为称为平面的一平面的一般方程般方程。0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数任取一组满足上述方程的数,000zyx则有则有0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程显然方程与此点法式方程等价与此点法式方程等价, , 的平面。的平面。 因此方程因此方程的图形是的图形是法向量为法向量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,nA B C 特殊情形特殊情形 当当 D = 0 时时, A x + B y + C z = 0 表示表示 过原点过原点的平面的平面; 当当 A = 0 时时, B y + C z

8、+ D = 0 的法向量的法向量平面平行于平面平行于 x 轴轴; 当当 B = 0 时，平面时，平面平行于平行于 y 轴；轴； 当当 C = 0 时，平面时，平面平行于平行于 z 轴；轴； 当当 A = B = 0 时时, C z + D = 0 表示表示 当当 B = C = 0 时，平面平行于时，平面平行于yoz 面面 ； 当当 A = C = 0 时，平面平行于时，平面平行于 zox 面面 ；0DCzByAx平行于平行于 xoy 面面 的平面的平面机动 目录 上页 下页 返回 结束 (0,),nB Ci例例2. 求通过求通过 y 轴和点轴和点( 2, 0, 3) 的平面方程的平面方程.解

9、解: 因平面通过因平面通过 y 轴轴 ,0BD故故设所求平面方程为设所求平面方程为0AxCz代入已知点代入已知点( 2, 0, 3)， 得得32AC 化简，得所求平面方程为化简，得所求平面方程为320 xz机动 目录 上页 下页 返回 结束 当当 A = D = 0 时时, 表示表示经过经过 x 轴的平面轴的平面.3.3.两平面的夹角两平面的夹角设平面设平面1的法向量为的法向量为 平面平面2的法向量为的法向量为则两平面夹角则两平面夹角 的余弦为的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA212121CBA两平面法向量的夹角两平面法向量的夹角( (常为锐角常为锐角) )称为称为两

10、平面的夹角两平面的夹角. .122n1n),(1111CBAn ),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2特别有下列结论：特别有下列结论：12(1) 1212120A AB BC C12(2)/ /111222ABCABC),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/ nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此有例例3. 一平面通过两点一平面通过两点垂直于平面垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程求其方程 .解解: 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为,020CB

11、A即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0) 1() 1() 1(2CzCyCxC约去C , 得0) 1() 1() 1(2zyx即02zyx0) 1() 1() 1(zCyBxA)1, 1, 1(1M, )1, 1,0(2M和和则所求平面故, ),(CBAn方程为 n21MMn且且机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 一平面通过原点及点一平面通过原点及点 P (6, -3, 2)，且垂直于平面，且垂直于平面4x - y - 2z = 8，求其方程。，求其方程。)5,15,10(0) 1(5) 1(15) 1(10zyx0632zyx备用题备用题求过点 且垂直于二平面 和 的平面

12、方程.) 1 , 1 , 1 (7zyx051223zyx解解: 已知二平面的法向量为取所求平面的法向量 则所求平面方程为化简得),1, 1, 1 (1n)12,2,3(2n21nnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz三、柱面三、柱面引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .的坐标也满足方程的坐标也满足方程222Ryx解解: :在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆C, 222Ryx222Ryx沿圆沿圆C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为圆圆故在空间中故在空间中222Ryx过此点作过此点作柱面柱面. .对任意对任意 z ,平行

13、平行 z 轴的直线轴的直线 l ,表示表示圆柱面圆柱面oC在圆在圆C上任取一点上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程, ,机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义3. 平行于定直线平行于定直线 L并沿定曲线并沿定曲线成的轨迹叫做成的轨迹叫做柱面柱面. 叫做叫做准线准线, 动曲线动曲线 l 叫做叫做母线母线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 如：圆柱面、椭圆柱面、抛物柱面、平面如：圆柱面、椭圆柱面、抛物柱面、平面设曲线设曲线( , )0:,0 x yz 求以求以 为准线，为准线，母线平行于母线平行于 z 轴的柱面方

14、程。轴的柱面方程。 移动的直线形移动的直线形L解：所求柱面方程为解：所求柱面方程为( , )0 x y xzy2l注意：注意：柱面柱面平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线：xoz 面上的曲线 l3.母线：柱面准线：xoy 面上的曲线 l1.母线：准线：yoz 面上的曲线 l2. 母线：表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz1l（缺少（缺少z）（缺少（缺少x）（缺少（缺少y）xyzxyzo 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy22122

15、22byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 (且 z 轴在平面上)表示母线平行于xyzoo机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如：220 xz表示母线平行于 y 轴的抛物柱面抛物柱面.定义定义4. . 一条平面曲线一条平面曲线四、旋转曲面四、旋转曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 . .例如例如 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立建立 yoz 面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为, ),(zyx

16、M当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,), 0(111CzyM若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有22(, )0fxyz则有该点转到0( , )0 xf y z ozyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：0( , )0 xf y z 曲曲线线绕绕z z轴旋转所得曲面方程是轴旋转所得曲面方程是z 不变，不变，另一变量变为正负根号下自身平方加第三个变量的平方另一变量变为正负根号下自身平方加第三个变量的平方22xy即即，得旋转曲面得旋转曲面22(, )0fxyz思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何

17、？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L), 0(zyM机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy例例6. 求坐标面 xoz 上的双曲线12222czax分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为

18、z机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：反之，我们也要知道曲面是由哪条曲线绕哪个轴反之，我们也要知道曲面是由哪条曲线绕哪个轴旋转得到，有二种情况：旋转得到，有二种情况：例如：222221xyzac 曲曲面面可看作可看作222201yxzac 绕绕x轴旋转得到；轴旋转得到；222201zxyac 或或绕绕x轴旋转得到；轴旋转得到；四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本类型有：椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面。 2220AxByCzD

19、xyEyxFzxGxHyIzJ(二次项系数不全为 0 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 即用平行于坐标面的三组平面去截曲面，观察截口形状即用平行于坐标面的三组平面去截曲面，观察截口形状zyx1 1. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax机动 目录 上页 下页 返回 结束 1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆(4) 当 ab 时为旋转椭球面;同样，与)(11byyy的截痕也为椭圆.）（axxx11及当abc 时为球面.(3) 截痕截痕:cba,(为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 z2. 抛物面抛物面zqypx2222(1) 椭圆抛物面( p , q 同号)(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p = q 时,( p , q 同号)zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 221()2xyzp为绕为绕 z z 轴的旋转抛物面轴的旋转抛物面3. 双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1) 11zz 在在平平面面上上的的截截痕痕为为椭圆椭圆.时, 截痕为zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 在平面在平面