高等数学下册电子教案设计

1、实用标准第四章常微分方程 41基本概念和一阶微分方程甲内容要点一基本概念1 常微分方程含有自变量、 未知函数和未知函数的导数（或微分） 的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程， 而未知函数是多元函数则称为偏微分方程， 我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。2 微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。4微分方程的初始条件要求自变量取某定值时， 对

2、应函数与各阶导数取指定的值， 这种条件称为初始条件， 满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。5 积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。6线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。 不含未知函数和它的导数的项称为自由项， 自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。文档实用标准二变量可分离方程及其推广1 变量可分离的方程（ 1）方程形式： dyP x Q yQ y0dx通解dyCP x dxQ y

3、（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式： M 1 x N1 y dxM 2 x N 2y dy 0通解M 1 x dxN 2 y dyCM 2 x0, N 1 y 0M 2 xN 1y2 变量可分离方程的推广形式（ 1）齐次方程 dyf ydxx令 y u ，x则 dyux dufudxdxdudxcln | x | cf uux（ 2） dyf axbyc a0,b0dx令 axbycu ，则 du a bf u dxdudxxcabf u（ 3） dya1 xb1 yc1fb2 yc2dxa2 xa1b1a1 x b1 y c10

4、当b20 情形，先求出的解 ,a2a2 x b2 y c20文档实用标准令 ux， vya1b1v则 dvfa1u b1 vfu 属于齐次方程情形dua2 u b2 va2b2va1b1当0 情形，a2b2令 a2b2 a1 b1则 dyfa1 x b1 y c1dxa1 x b1 y c2令 u a1 x b1 y ，dudy则 dxa1 b1 dx a1 b1 f属于变量可分离方程情形。三一阶线性方程及其推广1一阶线性齐次方程uu c1 u c2dydxP x y0它也是变量可分离方程，通解公式yCeP x dx ，（ c 为任意常数）2一阶线性非齐次方程dydxP x yQ x用常数变易

5、法可求出通解公式令 y C x e P x dx代入方程求出C x则得 yeP x dxQ x e P x dx dxC文档实用标准3贝努利方程dy0,1P x y Q x ydx令 zy1dz把原方程化为1P x z1Q x再按照一阶线性非齐次方程求解。4方程： dyQ y1dxP y x可化为 dxP y xQ ydy以 y 为自变量， x 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。四全微分方程及其推广（数学一）1 全微分方程P x, y dx Q x, y dy0，满足QPxy通解： u x, yC ，其中 u x, y 满足 du x, yP x, y dxQ x, y dy求 u x,

6、 y 的常用方法。第一种：凑全微分法P x, y dx Q x, y dydu x, y把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。（ 1）（ 2）xdxydydx 2y 2；2xdxydydx 2y 2；2（ 3） ydxxdyd xy ；文档实用标准（ 4） ydxxdyd ln xy ；xy（ 5） xdxydyd1 ln x 2y 2；x 2y 22（ 6） xdxydyd1 ln x 2y 2；x 2y 22（ 7） xdyydxdy；x2x（ 8） ydxxdydx；y2y（ 9） ydxxdydarctan x；x 2y 2y（ 10） xdyydxd arctan

7、y；x 2y2x（ 11） ydxxdyd1 ln xyx 2y22xy（ 12） xdyydxd1 ln xyx 2y22xy；（ 13） xdxydyd11；x2y 222x 2y 2（ 14） xdxydyd11；x2y 222x2y 2（ 15）xdxydy2d1arctan x2y2；1x 2y 22（ 16）xdxydy2d 1 arctan x 2y2；1x 2y 22第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）文档实用标准x, yu x, yu x0 , y0P x, y dx Q x, y dyx0 , y0xyu x0 , y0x0P x, y0dxQ x, y dyy0第

8、三种：不定积分法由 uP x, y 得xu x, yP x, y dxC y对 y 求导，uP x, y dx C y ，得 Q x, yyy求出 Cy 积分后求出 C y2 全微分方程的推广（约当因子法）设 P x, y dxQ x, y dy 0 不是全微分方程。不满足QPxy但是存在 R x, y使得 R x, y P x, y dxR x, y Q x, y dy0 为全微分方程，也即满足RQRPx y则 R x, y 称为约当因子，按全微分方程解法仍可求出R x, y P x, y dxR x, y Q x, y dydu x, y通解 u x, yC 。文档实用标准这种情形，求约当

9、因子是关键。乙典型例题5432 考研论坛（ ）友情提供下载一变量可分离方程及其推广例 1求下列微分方程的通解。（ 1） xy 2x dx y x2 y dy 0（ 2） ex yex dx ex yey dy 0例 2求下列微分方程的通解。（ 1） dyyyx2 dyxy dyex（ 2） y 2dxxdxdx（ 3） x dyy ln yln x（ 4） dyx 4 y 1 2dxdx解：（ 1）令 yu ，则 dyu x du ，原方程化为xdxdxu x dueuu ，dudxC1dxeuxe uln xC1ln Cxye xln Cxy（注：ex0,0Cx1）2y 2y（ 2） y 2

10、x2xy dy0 ； dyx2xdxdxxyy1x令 yu ，则 ux duu 2xdxu1udxx 1u du01 udxC1udux文档实用标准ln xuuC1yxueC1 uCe u ，y Ce x（ 3） dyy ln y ，令yu ，则 ux duu ln udxxxxdxdudxln ln u 1ln Cxu ln u1C1xln u 1Cx ， u e1Cx ， yxe1 Cx（ 4）令 x4 y 1 u，则dudx ，dudx C14u 214u 21x 1uC1 arctan2 x4y 1C2arctan22例 3求微分方程 x dyyx2y 2 的通解。dx例 4求微分方程

11、 dyydxxx2y2例 5求微分方程 y x 1 x2 dy1 y232的通解。dx例 6求微分方程dy2y 2xydxx2xyy2 的通解。2例 7求微分方程 dy2y2dxxy 1例 8求微分方程 dyyx1 的通解dxyx5二一阶线性方程及其推广文档实用标准例求下列微分方程的通解（ 1） dy2 y5（ 2） x dy2 y sin xx1 2dxx 1dx（ 3） dyyy4（4） xsin y dytan ydx 0dxx解：（ 1）直接用常数变易法对应的齐次线性方程为dy2 y，通解 y C x1 2dxx 1dy2y5x 1 2令非齐次线性方程x 1 2 的通解为 y C xd

12、xx1代入方程得 C x x 1 2x 112 x 1C xx 1 2 ， C x35232 C231 2272故所求方程的通解为yx 1 2Cxx 1 2 C x 133（ 2）直接用通解公式（先化标准形式dy2 ysin x ）2sin xdxxxP x， Q xxx2sin x2通解y edxdxCxexdxx1xsin xdx C1sin xxcos xCx2x2x 看作未知函数， y 看作自变量，（ 3）此题不是一阶线性方程，但把所得微分方程dxxy 4即 dx1 xy 3dyydyy是一阶线性方程P y1， Q yy3y1dy11 y4x e ydyy3e y dy CCy3（ 4

13、）此题把 x 看作未知函数，y 看作自变量所得微分方程为dxcot y xcos y ， P ycot y ， Qycos ydyxcot ydycos yecot ydydy C11 sin 2yCesin y2文档实用标准4 2特殊的高阶微分方程（数学四不要）甲内容要点一可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式yn通解 yf x dx nC1 xn 1C2 x n 2Cn 1 x Cnf xn 次令 yp ，则 yp ，原方程yfx, ypf x, p 一阶方程，设其解为pg x, C1 ，即 yg x, C1 ，则原方程的通解为yg x, C1 dxC2 。令 yp ，把 p 看作

14、y 的函数，则 ydpdpdyp dpdxdydxdy把 y， y 的表达式代入原方程，得dp1 fy, p 一阶方程，yfy, ydyp设其解为 p gy,C1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为dxdyxC 2 。g y, C1二线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构， 其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程yp x yq x y0（ 1）二阶非齐次线性方程yp x yq x yfx（ 2）1 若 y1 x ， y2x 为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合文档实用标准C1 y1 xC 2 y2 x （ C1 ，C 2 为任

15、意常数） 仍为同方程的解， 特别地， 当 y1 xy2 x （为常数），也即 y1 x 与 y2 x 线性无关时，则方程的通解为yC1 y1 xC2 y2 x2若 y1 x ， y2 x 为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1 xy2 x 为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3若 y x 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而y x 为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则y xy x 为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4若 y 为二阶非齐次线性方程的一个特解，而 C1 y1 xC 2 y2 x 为对应的二阶齐次线性方程的通解（C1 ， C 2 为独立的任意常数）则yy xC1 y1 xC 2 y2

16、 x 是此二阶非齐次线性方程的通解。5设 y1 x 与 y2 x 分别是 yp x yq x yf 1 x 与yp x yq x yf 2 x 的特解，则y1 xy2 x 是yp x yq x yf1 xf 2 x 的特解。三二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1 二阶常系数齐次线性方程ypyqy 0其中 p ， q 为常数，特征方程2pq0特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（ 1）当p24q0，特征方程有两个不同的实根1 ， 2则方程的通解为yC1e 1 xC 2 e 2 x（ 2）当p24q0，特征方程有二重根12则方程的通解为yC1C2 x e 1 x（ 3）当p24q 0 ，特

17、征方程有共轭复根i ，则方程的通解为ye xC1 cos x C2 sinx文档实用标准2 n 阶常系数齐次线性方程y np1 y n 1p2 y n 2pn 1 ypn y 0其中 pii1,2, n 为常数。相应的特征方程nn1p2n2pn 1pn 0p1特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（ 1）若特征方程有 n 个不同的实根1,2 ,n则方程通解 yC1e 1xC2 e 2 xCn e n x（ 2）若0 为特征方程的k 重实根kn则方程通解中含有C1C 2 xC k xk 1e 0 x（ 3）若i 为特征方程的 k 重共轭复根2kn则方程通解中含有e x C1C2 xC k xk

18、 1 cosxD1D 2 xD k xk 1 sinx由此可见， 常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。四二阶常系数非齐次线性方程方程： ypyqyf x其中 p,q 为常数通解： yyC1 y1 xC 2 y2 x其中 C1 y1 xC 2 y2 x 为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y 如何求？我们根据f x 的形式，先确定特解y 的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y

19、 ，常见的f x 的形式和相对应地y 的形式如下：1 f x Pn x ，其中 Pn x 为 n 次多项式（1）若 0不是特征根，则令 y Rn x a0 xna1 x n 1an 1 x an其中 ai i0,1,2, , n 为待定系数。文档实用标准（ 2）若0是特征方程的单根，则令yxRn x（ 3）若0 是特征方程的重根，则令yx2 Rnx2 f xPnx e x 其中 Pnx 为 n 次多项式，为实常数（ 1）若不是特征根，则令yRn x e x（ 2）若是特征方程单根，则令yxRn x e x（ 3）若是特征方程的重根，则令yx2 Rnx e x3 f xPnx e x sinx或

20、f xPn x e x cosx其中 Pnx为 n次多项式，, 皆为实常数（ 1）若i不是特征根，则令ye x Rnx cosxTnx sinx其中 Rn x a0 xna1x n 1an 1 x anaii0,1,n 为待定系数Tn x b0 x nb1 xn 1bn 1x bnbi i0,1, n 为待定系数（ 2）若i是特征根，则令 yxe x Rn x cosxTnx sinx五欧拉方程（数学一）xn y np1 xn 1 y n 1pn1 xypn y0 ，其中 pi i 1,2,n 为常数称为 n 阶欧拉方程。令 xet代入方程，变为t 是自变量， y 是未知函数的微分方程，一定是

21、常系数齐次线性微分方程。注意下面变换公式：dydydte t dy1 dy ，x dydy ，dxdtdxdtx dtdxdtd 2 y dt ddye t de t dye 2t d 2 ye 2t dydx2dx dtdxdtdtdt 2dt1 d 2 y dy，x2 d 2 y d2 y dy，x 2dt 2dtdx 2dt 2dt文档实用标准 。乙典型例题一可降阶的高阶微分方程例 1求下列微分方程的通解（ 1） x2 y2xyy 20（2） 1x yylnx1解：（ 1）令 yp ，则 yp ，原方程化为x 2 p2xpp 20p2 p1p 2属于贝努里方程xx2dz2 z1再令 z

22、p 1则有dxxx22121xx通解： zedxedxdx Cx C1x2x2p1x 2zC1xyx 2dx C21 x C12C12 ln x C1 C2C1x2（ 2）令 yp ，则 yp ，原方程化为x1 pplnx1p1plnx1属于一阶线性方程x1x11dx1 dxp e x 1ln x 1 e x 1 dxC1x1文档实用标准1C1ln x 1 dx C1ln x 1 1x 1x 1yln x 1C1dx C21x1xC1 ln x1 2xC 2例 2求下列微分方程的通解（ 1） yyy 2 1 0（ 2） 2yyy 21二常系数齐次线性微分方程例 1求下列微分方程的通解。（ 1）

23、 y7 y6 y 0（ 2）（ 3） y6 y13y 0（ 4）y6 y9 y0y4y4 y2 y 0解：（ 1）特征方程2特征根11，2760，即1606微分方程通解yC1exC 2e6 x（ 2）特征方程特征根微分方程通解2690，即3203 二重根yC1C 2 x e3 x（ 3）特征方程26130特征根32微分方程通解ye3xC1 cos2xC 2 sin 2x（ 4） 特征方程342420即122 0特征根11二重根，22文档实用标准微分方程通解yC1C 2 x exC3 e2x例 2设方程 y3 y 4 y 0 ，求满足 y0 ， y5 的特解。x0x 0三二阶常系数非齐次线性微分

24、方程例 1求微分方程y2 y3 yx1 ex 的一个特解。解 ： 这 是 二 阶 线 性 常 系 数 非 齐 次 方 程 ， 其 自 由 项 呈 Pm x e x 的 形 状 ， 其 中Pm xx1 m1 ，1。而该微分方程的特征方程是：2230特征根是11，23 。由于1不是特征根，故设特解为yb1xb0 ex为了确定 b1 和 b0 ，把 y 代入原方程，经化简，可得4b1 x4b0x1令此式两端同次幂系数相等，有4b114b01由此解得 b111， b0，因此特解为441 xy1 ex4例 2求微分方程y5 y6 yxe2 x的通解。答案：最后得原方程通解为 y Y yc1e2 xc2e

25、3x 1 x22x e2 x2文档实用标准例 3求 y 4y 4ye2x 的通解。答案：因此原方程的通解为y c1e2xc2 xe2 xx 2 e2 x2例 4求方程y3 y2 y2x 2x1的通解。答案：原方程的通解为y C1e 2 xC2e xx 25 x 1324例 5求 y2y3y2ex 的通解。答案：原方程的通解为yC1 e 3xC2ex1 xex2例 6求方程yy2 y2 cos2x 的通解。答案：原方程的通解为y C1 e 2xC2 ex 3cos2x1sin 2 x1010例 7求微分方程yysin x 的通解。答案：原方程的通解为：yC1C2ex1 cos x sin x 。

26、2第五章向量代数与空间解析几何（数学一）51向量代数文档实用标准甲内容要点一空间直角坐标系从空间某定点O 作三条互相垂直的数轴，都以O 为原点，有相同的长度单位，分别称为 x 轴， y 轴， z 轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称O 为坐标原点。1两点间距离设点 M 1 x1 , y1, z1， M 2x2 , y2 , z2为空间两点，则这两点间的距离可以表示为d M 1 M 2x2 x1222y2y1z2 z12中点公式设 Mx, y, z 为 M 1x1 , y1, z1， M 2 x2 , y2 , z2联线的中点，则xx1x2 , yy1y2, zz1 z2222二向量

27、的概念1向量既有大小又有方向的量称为向量。方向是一个几何性质，它反映在两点之间从一点A 到另一点 B 的顺序关系，而两点间又有一个距离。常用有向线段AB 表示向量。 A 点叫起点，B 点叫终点，向量AB 的长度叫做模，记为AB 。模为 1的向量称为单位向量。文档实用标准2 向量的坐标表示若将向量的始点放在坐标原点O ，记其终点M ，且点 M 在给定坐标系中的坐标为x, y, z 。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为i , j , k ，则向量 OM 可以表示为OMxi yjzk称之为向量 OM 的坐标表达式，也可以表示为OMx, y, z称 xi , yj , zk 分别为向量 OM在

28、 x 轴， y 轴， z 轴上的分量。称x, y, z 分别为向量 OM在 x 轴， y 轴， z 轴上的投影。记 OM 与 x 轴、 y 轴、 z 轴正向的夹角分别为, ,，则cosxx 2y2z2cosyx2y2z2coszx 2y 2z2方向余弦间满足关系cos2cos2cox 21, ,描述了向量 OM 的方向，常称它们为向量的方向角。OM 的模可以表示为OMx2y 2z 2与向量 OMx, y, z 同方向的单位向量可以表示为1OM 。与向量 OM 平行的单OM位向量可以表示为1 OM。OM向量 a 同方向上的单位向量常记为 a 。三向量的运算a a1i a2 j a3 ka1 ,

29、a2 , a3b b1i b2 j b3 kb1 ,b2 ,b3文档实用标准c c1 i c2 j c3kc1 , c2 , c31加法。 aba1b1 ,a2b2 , a3b3减法。 aba1b1 , a2b2 , a3b32数乘。a1 ,a2 , a3（ 是常数）向量的加、减和数乘运算统称线性运算。3 数量积。 a b a b cosa, ba1b1a2 b2a3b3其中a, b 为向量 a,b 间夹角a b 为数量也称点乘。a b 0 表示向量 a 在向量 b 上的投影，即a b0Pr j b a4 向量积 a b 也称为叉乘。aba b sin a, bab 的方向按右手法则垂直于a,

30、b 所在平面，且ijkaba1a2a3b1b2b3ab 是向量， abba 。 ab 等于以 a, b为邻边的平行四边形的面积。文档实用标准a1a2a35 混合积：定义a, b,ca b c ，坐标公式 a, b, c b1b2b3c1c2c3几何意义 a,b,c表示以 a, b,c 为棱的平行大面体的体积。四两向量间的关系设 aa1 , a2 , a3 , bb1 , b2 ,b3关系向量表示向量坐标表示a bcosa1b1a2 b2a3b3a22a32b12b22b32a,b 间夹角cosa12a ba 与 b 垂直a b 0a1b1a2b2b3b3 0a 与 b 平行a b 0a1a2a

31、3b1b2b3乙典型例题例设 a,b 为两个非零向量，为非零常数，若向量 ab 垂直于向量 b ，则 等于（）。（ A）a b（ B）a b（C） 1（ D） a b22bb分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果ab 垂直于向量 b ，因此应有 ab b 0即a bb b02a bb0由于 b 为非零向量，因而应有a 2b ，故应选（ B）。b文档实用标准52平面与直线甲内容要点一空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题（ 1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程。（ 2）已知坐标x, y 和 z 间的一个方程（组） ，研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2距离公式空间两点 A x1 , y1 , z1与 B x2 , y2 , z2间的距离 d 为dx2 x12y2