抛物线的简单几何性质练习题

1、课时作业（十三）学业水平层次一、选择题1.已知点P（6 ,y）在抛物线 y2=2px（po）上，若点 P 到抛物线焦点 F 的距离等于8,则焦点 F 到抛物线准线的距离等于（）A.2 B.1 C.4 D.82P【解析】 抛物线 y=2px（po）的准线为 x=-2，因为P（6, y）为抛物线上的点，所以点 P 到焦点 F 的距离等于它到准线的距离，所 以6+ p=8,所以 p=4,即焦点 F 到抛物线的距离等于4,故选C.【答案】C2.（2014成都高二检测）抛物线 y2=4x 的焦点为 F,点 P 为抛物线上的动点，点 M 为其准线上的动点，当 FPM 为等边三角形时， 其面积为（）A.2;

2、3 B.4 C.6 D.4【解析】 据题意知，FPM 为等边三角形，|PF =|PM =|FM,2二 PML 抛物线的准线.设 Pm, m,则 M -1, m，等边三角形边长2 2为1+m，又由 F（1,0）,|PM =1FM，得1+m=1+12+ m,得m= 2.3,A等边三角形的边长为4,其面积为4 3，故选D.【答案】D3.已知抛物线 y2=2px（p0）,过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A B两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A. x=1B.x =1C.x=2D.x = 2【解析】设 A(xi, yi), B(x2, y2)，代入抛物线方程得:y2=2

3、pxi,y；=2px2,一得,(yi+ y2)(yi y?)=2p(xi X2).所求抛物线的准线方程为 x=i.【答案】B4.(20i4课标H)设 F 为抛物线 C: y2=3x 的焦点， 过 F 且倾 斜角为30的直线交 C 于 A, B 两点，则|AB =()B.6 C.i2 D.7、3【解析】 焦点 F 的坐标为4,0,直线 AB 的斜率为 f,所以又/ yi+ y2=4,yiy2p pxi X24k=i,p=2.E 1273得3x2x+命二，21设 A(xi, yi), B(x2,y，则 xi+ X2=2,3213所以|AE|= X1+ X2+2=2+2=12,故选C.【答案】C二、

4、填空题5.抛物线 y1 2 3 4 5 6 7= x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 点，【解析】 设抛物线上点的坐标为(x, -x)，此点到准线的距1_ _1离为 X +4，到顶点的距离为,X2+；X2，由题意有 X +4=X2+.X2,二 X=8，二 y =了，二此点坐标为8.【答案】8，6(2014临沂高二检测)直线 y= kx+2与抛物线 y2=8X有且只有一个公共点，贝 Sk=_.【解析】 当 k=时，直线与抛物线有唯一交点，当 心0时， 联立方程消 y 得 k2x2+4(k-2)x +4=0,由题意 =16(k-2)2-16k2=0,二 k=1.【答案】0或1直线 AB 的方

5、程为 y3即 y=33x-4x=-1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为 y2=4x.过点P(1,0)，斜率为 k 的直线为 y = k(x+1).ty2=4x,2由得 ky 4y+4k=0.y = kx+ k,当 k=0时，显然不符合题意；当 kM0时，依题意得 =(4)4k 4k0,解得 k1或 k0)，设 A(xo，yo)，由题知 MO，2 .T|AF=3，二 y+2=3，T|AM=, 17，2 |. P2.-x+ yo+2=17，7(2014湖南)平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x =-1的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为k 的直

6、线，则 k 的取值范围是_.【解析】 设机器人为 A(x, y)，依题意得点 A 在以 F(1,0)为焦 x0=8，代入方程 x2=2py。得，p8=2p3 ，解得 p=2或 p=4.所求抛物线的标准方程为 x2=4y 或 x2=8y.9.已知直线 I 经过抛物线 y2=6x 的焦点 F，且与抛物线相交于A,B 两点.(1)若直线 I 的倾斜角为60,求|AB 的值；若|AB =9,求线段 AB 的中点 M 到准线的距离.33又 F2，0,所以直线 I 的方程为 y=-. 3x2 .2y =6x,联立3y*3x 2,设 A(xi, yi), B(X2, y2)，贝 S xi+ X2=5,pp而

7、|AB =|AF|+1BF|= X1+3+ 冷 +2= X1+ X2+ p,所以|AB =5+3=8.(2)设 A(xi, yi), B(X2, y2)，由抛物线定义知|AE|=|AFJ +|BF|= Xi+ X2+ p= Xi+ X2+3,所以 Xi+ X2=6,于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是3.339又准线方程是 x= 2,所以 M 到准线的距离为3+2=2【解】(1)因为直线 I3.的倾斜角为60,所以其斜率 k=tan 609消去 y 得 x25x+4=0.能力提升层次i.(20i4湖南省长沙一中期中考试)已知抛物线 X2=2py(p0)的焦点为 F,过 F 作倾斜角为30的直

8、线与抛物线交于 A B 两点，IAFIA”若両*(0，i)，则両=()【解析】 因为抛物线的焦点为 F0,2，故过点 F 且倾斜角为x/3 p230的直线的方程为 y=x +2，与抛物线方程联立得 x pxp=o,解方程得XA=fp,XB=“3p,所以|AF=3，故选C.【答案】C2.(2013大纲卷)已知抛物线C:y2=8x 与点 M 2,2),过 C的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A B 两点，若 MA MB=0,则 k =( )D.2【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0)，则过焦点且 斜率为 k的直线的方程为 y= k(x2)， 与抛物线方程联立， 消去 y 化简得 k

9、2x2(4k2+8)x +4k2=0,设点 A(xi, yi), B(X2,对，则 xi8已82+ X2=4+2, XiX2=4, 所以yi+ y2= k(xi+X2)4k= ,y$2=kxiX2kk2(Xi+ X2)+4= 16，因为 MA，MB=0，所以(Xi+2)(X2+2)+(yi2)(y22)=0(*)，将上面各个量代入(*),化简得 k24k +4=0, 所以 k=2,故选D.【答案】D2 23.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线 春=i相交于A, B两点，若 ABF 为等边三角形，则 p=_.【解析】 由于 x2=2py(p0)的准线为 y = p,由y= Py 2，2 2X y =3,解得准线与双曲线 X8 9 y2=3的交点为A 3+1p2, P , B +1p2, P ,所以 AB=2123+4P.由厶 ABF 为等边三角形，得 乎人吐 p,解得 p=6.【答案】64.已知抛物线 x = y与过点（1,0）且斜率为 k 的直线相交于A,B两点，O 为坐标原点，当 OAB 勺面积等于.10时，求 k 的值. 【解】 过点（1,0）且斜率为 k 的直线方程为 y= k（x+1）,2x = y ,2由方程组 i 彳消去 x，整