年新人教A版本数学必修一 幂函数及图象变换提高知识讲解

1、幂函数及图象变换【学习目标】1通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况.2掌握幂函数的图象和性质，并能熟练运用图象和性质去解题3掌握初等函数图象变换的常用方法 【要点梳理】要点一、幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中为常数.要点诠释：幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如：等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质1.作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)要点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，+)都有定义，并且图象都过点(1，1)

2、；(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴2.作幂函数图象的步骤如下:(1)先作出第一象限内的图象；(2)若幂函数的定义域为(0，+)或0，+)，作图已完成；若在(-，0)或(-，0上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象.3.幂函数解析式的确定(1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值

3、(2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征(3)如函数是幂函数，求的表达式，就应由定义知必有，即4.幂函数值大小的比较(1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较常称为“搭桥”法(2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小(3)常用的步骤是：构造幂函数；比较底的大小；由单调性确定函数值的大小要点三、初等函数图象变换基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数（三角函数、反三角函数待讲）由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数如：的图象

4、变换，（1）平移变换y=f(x)y=f(xa) 图象左（）、右（）平移y=f(x)y=f(x)b 图象上（）、下（）平移（2）对称变换y=f(x) y=f(x), 图象关于y轴对称y=f(x) y=f(x) , 图象关于x轴对称y=f(x) y=f(x) 图象关于原点对称y=f(x) 图象关于直线y=x对称（3）翻折变换： y=f(x) y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分关于y轴对称（注意：它是一个偶函数） y=f(x) y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 要点诠释：（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。（2）若f(a

5、x)f(ax)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。【典型例题】类型一、求函数解析式例1.已知是幂函数，求、的值【答案】【解析】由幂函数的概念易得关于、的方程组由题意得解得即为所求【总结升华】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样，是一种形式定义，对表现形式要求非常严格判定一个函数是否为幂函数，关键看它是否具有幂函数的三个特征：指数为常数，且为任意常数；底数为自变量；系数为1举一反三：【变式1】已知幂函数的图象过点，则= 【答案】【解析】设，则由图象过点，可得，即 ，所以，即类型二、幂函数的图象例2.给定一组函数的解析式：；，如右图的一组函数图象请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号

6、内【答案】【解析】根据幂函数的图象特征确定相应的图象由第一、二、三个图象在第一象限的图象特征可知，而第一个图象关于原点对称，即为奇函数；第二个图象关于轴对称，即为偶函数；第三个图象在轴左侧无图象，即在上无意义，因而这三个图象应分别填由第四、五、六个图象在第一象限的图象特征可知，而第四个图象关于轴对称，即为偶函数；第五个图象关于原点对称，即为奇函数；第六个图象在轴左侧无图象，即函数在上无意义，因而这三个图象应分别填最后一个图象对应的幂指数大于1，故填【总结升华】确定这类图象对应的函数解析式的顺序是：先根据幂函数在第一象限内的图象特征，确定幂指数的取值区间；再根据图象在轴左侧有无图象确定函数的定义

7、域，进而确定中分母“”的奇偶性；当图象在轴左侧有图象时，再研究其图象关于轴（或原点）的对称性，从而确定函数的奇偶性，进而确定幂指数中分子“”的奇偶性类似地，可作出幂函数的图象，即先作出第一象限的图象，再研究定义域在轴左侧有无图象，有图象时，再利用奇偶性作出图象即可举一反三：【变式1】幂函数在第一象限内的图象如图所示，已知分别取-1，四个值，则相应图象依次为： 【答案】【变式2】 已知幂函数的图象如图所示，则（ ）A.均为奇数，且 B.为偶数，为奇数，且C. 为奇数，为偶数，且 D. 为奇数，为偶数，且【答案】D由函数图象关于轴对称知，函数为偶函数，故为偶数，为奇数由函数图象在第一象限为减函数知

8、类型三、幂函数的性质例3有幂函数若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：（1）是奇函数；（2）是内的增函数；（3）函数的图象经过原点又已知同时具有性质（1）的共有15个，具有性质（2）的共有12个，具有性质（3）的共有18个，试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？【答案】21；3 【解析】充分考虑幂函数的性质，合理运用几何的理论解题由幂函数的性质知，在内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在上的增函数设这些幂函数中分别具备（1）（2）（3）的函数分别构成集合、，而幂函数小于零的构成集合，依题意得=15，=12, =18

9、.又，,所以,则=15+18-12=21，即共有幂函数21个又幂指数小于零的幂函数一定不经过原点反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21-18=3（个）【总结升华】本题把幂函数知识与集合知识综合在一起，构思新颖，需充分考虑幂函数的性质，合理运用集合理论解题幂函数的性质与的不同取值相对应，本题中的道理一定要体会清楚，幂函数中有些函数具备这三个性质中1个，有的具备2个，甚至3个，这与的取值范围有关，因此一定要利用图象的位置、形状掌握这些性质例4.比较下列各组数的大小.(1) 与； (2)与，（3）和.【答案】(1)>；(2)<；(3)< <【解析】(1) 由于幂函数()单调

10、递减且，.(2)由于这个幂函数是奇函数. f(-x)=-f(x)因此，而(x>0)单调递减，且， .即.（3），【总结升华】(1)各题中的两个数都是“同指数”的幂，因此可看作是同一个幂函数的两个不同的函数值，从而可根据幂函数的单调性做出判断.(2)题(2)中，我们是利用幂函数的奇偶性，先把底数化为正数的幂解决的问题.当然，若直接利用x<0上幂函数的单调性解决问题也是可以的.(3)题中，引进数“1”和“0”，三个数分别与“1”和“0”比较，得出结论举一反三：【变式1】比较，的大小.【答案】【解析】先利用幂函数的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小.在上单调递增，且，.作

11、出函数与在第一象限内的图象，易知.故.类型四、求参数的范围例5. 讨论函数在时，随着的增大其函数值的变化情况【解析】（1）当即或时，为常数函数；（2）当，即或 时，此时函数为常数函数；（3）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小；（4）当即或时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；（5）当即时，函数为增函数，函数值随的增大而增大；（6）当即时，函数为减函数，函数值随的增大而减小【总结升华】当所研究的函数中含有参数时，要对参数进行讨论，此题中系数和指数上都含有参数，要分别进行讨论，除特殊情况外，要对参数和指数分为同号和异号讨论【变式1】若，求实数a的取值范围.解法1：， 考察的图象，得以下四

12、种可能情况:(1) (2) (3) (4)分别解得:(1). (2)无解. (3). (4).a的取值范围是.解法2：画出的图象，认真观察图象，可得:越接近y轴，y值越大，即|x|越小，y值越大，要使， 即， 解得:.【总结升华】以上两种方法都是运用函数的单调性，但显然第二种方法更好.而这种方法的应用，必须对图象的特征有深刻的认识.可见，能很好地运用数形结合是解决函数问题的重要途径.类型五、幂函数的应用高清课程：幂函数及图象变换 例3例6. 求出函数的单调区间，并比较与的大小【答案】在上是增函数，在上是减函数 【解析】=，因此将幂函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得带函数的图象，

13、由此可知，在上是增函数，在上是减函数在上找出点关于直线的对称点由，【总结升华】以内函数或外函数为幂函数构成的复合函数，来考查幂函数的图象和性质以及数形结合的思想方法，是考试命题的热点题型解答这类问题的关键在于寻求相应的基本幂函数，再利用其图象与性质解决问题当一个函数的图象有对称轴时，对于定义域内的任意两个值、，要比较和的大小，需要把、两个数值转化到同一个单调区间内例7. 设mN*，已知函数在(0,+)上是增函数 （1）求函数f(x)的解析式； （2）设，试讨论g(x)在(-,0)上的单调性，并求g(x)在区间(-,0)上的最值【答案】（1）；（2）【解析】（1）依题意，或解得：或再由mN* ，

14、即 （2）任取且，则= （*）当，即时，由于，得（*）<0，即故在上单调递增当，即时，得（*）>0，即故在上单调递增综上，在上，举一反三：【变式1】已知幂函数 （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；（2）若该函数还经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围【答案】（1）定义域，单调递增；（2）【解析】解决此题的突破口就在于挖掘出隐含条件：为偶数（1），与中必定有一个为偶数，为偶数，函数的定义域为，并且函数在其定义域上为增函数（2）函数经过点，即，即由，得解得故的值为1，满足条件的实数的取值范围为类型六：基本初等函数图象变换例8作出下列函数的图象：(1) y=lgx， y=lg(-x)， y=-lgx； (2) y=lg|x|； (3) y=-1+lgx.【解析】(1)如图(1)； (2)如图(2)； (3)如图(3).【总结升华】要作出由对数函数组成的复合函数的图象，仍应注意变换作图法的灵活性，即先作出基本函数（对数函数）图象，再用平移、对称、旋转、伸缩等变换作图法来作出函数图象即可一般地，函数（为实数）的图象是由函数的图象沿轴向右（或向左）平移个单位（此时为的图象），再沿轴向上（或向下）平移个单位而得含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，的图象是关于直线对称的轴对称图形；函