特殊行列式及行列式计算方法总结

1、.特殊行列式及行列式计算方法总结一、几类特殊行列式1.上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7 例 5、例 6）2. 以副对角线为标准的行列式a11a12a1n000a1n0a1n00a2, n0a21a2201a2na2, n 1000an 1,2an 1,n000ann00 01an 1,n00an1an 2an ,n 1an1annn ( n1)(1) 2a1n a2,n 1an13. 分块行列式（教材 P14 例 10）一般化结果：AnCn mAn0n mAnBm0m nBmCm nBm0n mAnCn mAn( 1)mnAn BmBmCm nBm0m n4. 范德蒙行列式（教材 P1

2、8 例 12）注： 4 种特殊行列式的结果需牢记！以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！ ！二、 低阶行列式计算二阶、三阶行列式对角线法则 （教材 P2、P3）三、 高阶行列式的计算【五种解题方法】1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素， 并且非零元素的代数余子式很容易计算；4) 递推法或数学归纳法；5) 升阶法（又称加边法）.【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例 1 （ 2001 年考研题

3、）0001000200D019990002000000000002001分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素，因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算。解法一：定义法D(1) (n 1,n 2,.,2,1, n) 2001! ( 1)0 1 2 . 1999 0 2001! 2001!解法二：行列式性质法利用行列式性质 2 把最后一行依次与第 n-1,n-2,2,1 行交换（这里 n=2001），即进行 2000 次换行以后，变成副对角行列式。00002001000102001 100200200112001(20011)D (1)( 1)22001! 2001!(1)01999000

4、20000000解法三：分块法0001000200D199900002000000000002001利用分块行列式的结果可以得到.000100202000(2000-1)D =2001=2001 (-1)22000!=2001！01999002000000解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式例 21 a11111 a11D11 b111111 b分析：该行列式的特点是1 很多，可以通过 r1r2 和 r3r4 来将行列式中的很多 1化成 0.解：aa00110011 00D11 a 1111 a 11r2r10

5、a 11abab00bb0011r4r100 111111 b1111 b00 11 b1100r4r30a112b2ab001a1000b例 3a13a12b1a1b12b13a23a22b2a2 b22b23， (ai 0)Da32b3a3 b32b33a33a43a42b4a4 b42b43分析：该类行列式特点是每行a 的次数递减， b 的次数增加。特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将D 化成范德蒙行列式。解：.1( b1 )( b1 )2a1a11( b2 )( b2 )2D a13a23a33 a43a2a2( b3 )( b3 )21a3a31( b4 )( b4 )

6、2a4a43333V (b1,b2b3,b4)a1 a2a3 a4a2,a4a1a33333(bibj)a1 a2a3 a4aia j1 ji4( b1 )3a1( b2 )3a2( b3 )3a3( b4 )3a4练习：（11-12 年 IT 专业期末考试题）111若实数 x, y, z 各不相等，则矩阵 Mxyz 的行列式 M _x 2y 2z 23. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算例 4ab0000ab00Dn000abb000a分析：该行列式特点是a 处于主对角线， b 在 a 后的一个位置，最后一行中b 是第一个元素， a 是最后一个元素。解：按第

7、一列展开：ab000b0ab00a bD n a ( 1)1 1( 1)n 1b000aba b0000aa an 1( 1)n 1b bn 1an( 1) n 1 bn练习：（11-12 年期中考试题）.xy0000xy0000x00D n000xyy000x4. 行（列）和相等的行列式例 5abbD nbabbba分析：该行列式的特点是主对角线上元素为a ，其余位置上都是 b 。可将第 2,3，n 列加到第 1 列上。（类似题型：教材P12 例 8，P27 8(2)）解：1bb1bbDn1ab1a b0 a ( n 1)b a ( n 1)b1ba10a b a(n 1)b( a b)n

8、15. 箭头形（爪行）行列式例 601111200D 1030100n分析：该类行列式特点是第一行、第一列及主对角上元素不为0，其余位置都为0.解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。解：分别从第 2,3, ,n 列提出因子 2,3，n，然后将第 2,3,n 列分别乘以 -1，再加到第 1 列上。.0111n111123ni2i23n111000100nD n! 10 10n!0010n! i 2(i )10010001注：爪形行列式非常重要， 很多看似复杂的行列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算！练习：1) 教材习题 P28: 8(6)2) （11-12 年期末考试题）a2

9、3(n 1)n2a00030a00Ann 100a0n000a3) （11-12 年 IT 期末考试题）xa1a 2a n 1a nx1000x0200D n 1x00n 10x000n例 7x1a2a3ana1x2a3anD a1a2x3ana1a2a3xn分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同。解：.x1a2a3ana1x1x2 a200D a1x10x3 a30a1x100xnanx1a2a3anx1a1x2 a2x3 a3xn an( x1a1) ( x2a2 )( xn an )110010101001naia2an1aix2 a2xn ani 1 xi(

10、x1 a1) ( x2 a2 ) ( xn an )010001nnai( xi ai )1i 1 xiaii 16. 递推法或数学归纳法该方法用于行列式结构具有一定的对称性，教材P15 例 11 就是递推法的经典例题。利用同样的方法可以计算教材P27 8(4)。7. 升阶法通常计算行列式都采用降阶的方法，是行列式从高阶降到低阶， 但是对于某些行列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算。例 8 （教材 P28 8(6)）1+a11111+a21Dn =, (ai 0)111+an分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多1，因此可以增加一行 1，使得行

11、列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列式是方形的，因此在增加一行以后还要增加一列，以保持行列式的形状。 为了使行列式的值不改变，因此增加的列为1,0,0,0.1111111101+a111-1a100定理 3ri -r1n1Dn = 011+a21= -10a20 =a1a2 .an (1+)i =1ai0111+an-100an例 9（教材 P27 6(4)）1111abcdD=b2c2d 2a2a4b4c4d 4分析：此行列式可以应用性质 6 将行列式化为上三角行列式， 也可以对比范德蒙行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计算。解法一：ra2 r1111430b ac ad ar3 ar2D0b(ba)c(ca)d (da)r2ar10 b2 (b2a2 ) c2 (c2a2 ) d 2 (d 2a2 )按第一111=(ba)( ca)( da)bcd列展开b2 (bc2 (c a)d 2 (da)a)c2c1100c3(ba)(ca)(da)bcbd bc1b2 (b a) c2 ( c a) b2 (b a) d 2 (d a) b2 (b a)按第一cbd b行展开 (ba)( ca)( da)2(c a) b2(b a) d