线性代数试题库

1、1对任意 n 阶方阵 A, B 总有（）A. AB BAB. ABBAC. ( AB)TATBTD. ( AB)2A2B2答案： BABBAAB2在下列矩阵中，可逆的是（）000110A.010B.220001001110100C.011D.111121101答案： D3设 A 是 3阶方阵，且 A2,，则 A 1（）1B.2C. 12答案： B1114设矩阵 A121的秩为 2，则（）231答案 :B提示：显然第三行是第一行和第二行的和1015设A020 ，矩阵 X满足方程 AXEA2X，求矩阵 X.101201答案：X030102解：AXEA2X(AE)XA2E101001A 020A E

2、010101100显然 AE可逆，所以： ( AE) 1(A E)X X (A E) 1(A2E)(AE) 1(AE)(AE)AE201X 0 3 01 0 26求下列矩阵的秩0111202220A1111011011答案： 37设矩阵 P14, D10，矩阵 A 由矩阵方程 P1APD 确定，试求 A5.1021511/ 3127/3答案：31/ 3127/ 3P1AP DAPDP 1A5PD5P 114P 11/ 31/ 3, D510P14/ 31/ 30321所以： A5PD5P 114.101/ 31/ 3511/ 3127/ 3110324/ 31/ 3127/ 331/ 38设矩

3、阵 A 可逆，证明 (A* ) 1A 1 A证明：因为 AA*A* A A E ，矩阵 A 可逆，所以A 0A A*A* AEAA又因为A11，所以： ( A*) 1A 1AA9若 A是()，则 A必为方阵 .A.分块矩阵B.可逆矩阵C. 转置矩阵D. 线性方程组的系数矩阵答案 ：B10. 设 n 阶方阵 A ，且 A0，则 (A*) 1( ).A.AB. A*AAC.A 1AAD.A*答案：A11若()，则 A: BA.ABB.秩(A)秩 (B)=C. A 与 B 有相同的特征多项式D. n 阶矩阵 A 与 B 有相同的特征值，且 n 个特征值各不相同答案： B112.设 A2，则 AAT_

4、.31 2 3答案：24 636 913. 设 mn 矩阵 A ，且秩 ( A)r ， D 为 A 的一个 r1阶子式，则 D_.答案：014已知 P 1 APB ，且 B0 ，则 A _.B答案： 1203115. 已知1X，求矩阵 X 。10120203120113解：矩阵1可逆，所以由1X1X10111011/ 20313/ 21/ 2X1013/ 21/21/ 216. 若对称矩阵A 为非奇异矩阵，则A1 也是对称矩阵 .证明：因为矩阵A 为非奇异矩阵，所以 AA 1A 1 AE( AA 1)T( A 1A)TET ，即： ( A 1)T ATAT(A 1)TE因为矩阵 A 为对称矩阵

5、，所以ATA，则有： (A 1)T AA( A 1)TE所以： ( A 1)TA 1，即 A 1 也是对称矩阵 . 。17. 设 A 是 mn 矩阵， B 是 sn 矩阵， C 是 m s 矩阵，则下列运算有意义的是（）A.ABB.BCC.ABTD. ACT答案： C18. 设 A ， B 均为 n 阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（）A.(A B)TATBTB. (A B)1A 1B 1C. (AB) 1B1A1D. (AB )TBT AT答案： B19. 设 A 为 n 阶矩阵，秩 ( A)n1，则秩 ( A* )（）C. n 1D.n答案： A因为 A* 是由矩阵 A 的代数 余子式组

6、成，但是秩 ( A)n 1，所以其代数余子式全部为0，所以： A*0101020矩阵 A0234的秩为（）0005答案： 321.设 A为2阶方阵 ,且 A1,则 2A*_.2答案： 222.设 A 是 3阶矩阵 , 秩 A =2, 则分块矩阵AA0的秩为 _.E答案：522123. 设矩阵 A110,求矩阵 B,使 A2BAB123021解：由 A2BAB 得： ( A 2E)BA ， A2E110，121021 221100 302(A 2E,A)110 1 1 0 r 0 1 0 212121123001245302所以： B21224524.设三阶方阵 A 的行列式 det( A)3

7、，则 A的伴随矩阵 A*的行列式 det( A* ) _.答案： 9提示： det( A* )det( A)3125.设 Aabadbc0，则 A1_.c，且 det(A)d答案：dbcaad bc26.设 A12， B21， C(2,1)，则 (AB)CT_.31031答案：811111127. (5 分)设 A022 B110且满足 XAB，求 X110211111解：A022A可逆110由 XAB，得 XBA 1111100022010A110001CB11 1ur1/ 34 / 31/ 31102 / 31/ 31/ 32111/ 35/ 64 / 31/ 31/ 34 / 3所以：

8、X BA12 / 31/ 31/ 31/ 35 / 64 / 328. 设矩阵 CA( A 1)2A*BA 1A110123其中，A 011, B456 .111789A* 为 A 的伴随矩阵 . 计算 det(C )解： CA( A 1)2A*BA 1ACE A B110110A011A 0111111111223CEB4667810显然： det(C )029设 A, B 是两个 n 阶方阵，若 AB0 则必有（）ACA0且B0BA 0或B 0A0且B0DA 0或B 0答案： D30A2,B1A1B（）若 A, B 都是方阵，且，则A -2CB 2112D2答案： C31矩阵 A12的伴随

9、矩阵 A*（）344243A1B13242D42C1313答案： C32设 A 为34矩阵，若矩阵 A的秩为 2，则矩阵 3AT 的秩等于（）A 1B 2C 3D 4答案： B33设 A 为 4阶矩阵，A 3，则A.答案： 320034设 A001，则 A5.010答案： 32123121，则 ABT.35设 A21， B2311814答案：68150036031=.0211005答案：011023提示：用分块对角矩阵做。100337设 A010，求满足关系式A 1BA6 ABA 的 3阶矩阵 B40017A1BA 6A BA (A1E)BA 6A B 6(A 1E) 110033002001

10、A 00A 10 4 0A 1E 03040070060017100200121( A 1E) 10 3 000 ，00631006300所以： B6(A 1E) 102000112a138设矩阵 A2310 的秩为 2，求 a, b.41ab1 2a 112a112a1解： A231007 1 2a207 1 2a241ab07a 2 b00a 1 b 2因为：矩阵 A 的秩为2 ，所以 a1 0,b 20a1,b2已知 n 阶方阵A满足关系式A23A2E0，证明 A 是可逆矩阵，并求出其逆矩阵 .39证明： A23A2E0 A(A3E)2EA ( A3E)E2所以 A 是可逆矩阵，且其其逆

11、矩阵为：A 3E240设 A 是 3阶方阵，且A1，则 2A（）A 8B 2C 2D 8答案：A20041设矩阵 A011 ，则A1（）01210010022A 021B 021011011210210C 110D1100010022答案： A42设 A 是 n 阶方阵，A0，则下列结论中错误的是（）A秩 ( A)nB A 有两行元素成比例C A 的 n 个列向量线性相关D A 有一个行向量是其余n 个行向量的线性组合答案： B43设 A, B 均为 n 阶矩阵，且秩 ( A) 秩 ( B) ，则必有（）A A与 B相似 B A与 B等价C A与 B合同 D AB答案： B211301 _.4

12、410140425答案：17445若 A, B 均为 3阶矩阵，且A2, B3E ，则 AB_.答案： 54a1b1a1b2a1b346设矩阵 Aa ba ba b，其中 a b0(i 1,2,3)则秩( A) _.212 22 3i ia3 b1a3b2a3b3答案： 111210047设 A223， B211 ，矩阵 X 满足方程 AXBT，求 X .433122381答案：4 124012100121解： B21 1BT0 12 ，AX BTX A1BT122012A, BT rE, X48设 A 是 n 阶方阵，A0，证明 A*An 1证： AA*AEAA*nA A*nA E AA因为

13、 A0 ，所以：A*An 149. 设 A 是 3阶方阵，且A2，则 A（）A -6B -2C 2D 6答案： B02050设 A003，则 A 的伴随矩阵 A*（）4000060120A 1200B 0080806000120006C 008D 1200600080答案： A32211510101_。240653答案：01042252设 A14，则A1_ 。0334答案： A101303353设 A110且 ABA2B ，求 B。123033答案：123110解： ABA2B( A 2E)BA233A 2E110，很容易得到： A2E 是可逆的。所以： B ( A 2E) 1 A121233

14、033100033(A 2E,A)110 11 0 r 0 1 0 12 312112300111054设方阵A满足 A2A2E0 ，证明 A 可逆，并求其逆阵。证： A2A 2E0A( AE)2E A(A E)E2所以： A 可逆，且其逆阵为AE 。255设 n 阶方阵 A, B,C 满足 ABCE ，则必有（）A ACBEB CBAEC BACED BCAE答案： D56设 n 阶方阵 A 中有 n2n 个以上元素为零，则A 的值（）A大于零B等于零C小于零D不能确定答案： B56设3阶矩阶 A=（，），B=（ ，），且A2， B1，则 AB （）12A 4B 2C1D -4答案： A57

15、设 A是4阶方阵， A2 ，则A*_.答案： -8000158设矩阵 A0020_.030，则 A104000000141000答案：301002100042359设 A110，且矩阵 X 满足 AXA2X,求X。123解：AX A 2X(A 2E)X A223223A2E110，容易证明 A2E110 可逆，所以121121X(A2E) 1A223423100386(A 2E,A)110 11 0 r 0 1 0 2961211230012123386所以：X296212361设 A, B 均为 n 阶方阵，则必有（）A ABBAB ABABC (A B)TA B D (AB)TAT BT答

16、案： A20062设A0 1 1 ，则A1（）0021001002211A 010B 02210100122100100221C 01D 0102110010222答案： C63若方阵 A 与方阵 B 等价，则（）A R( A)R( B)B EAEBC ABD存在可逆矩阵 P ，使 P 1 APB答案： A64 A(1,0, 1) ， BEAT A,C E2 AT A ，（ E 为 3阶单位矩阵），则BC22_。答案：E133165已知 A2，且A1404，则 A*_。45131331404答案：251380266设 A020， A* 为 A 的伴随矩阵，则 A*_。301答案： 161016

17、7已知 A020 ，则(A3E) 1( A29E) _ 。001201答案 ：01000268设 A, B 为 n 阶方阵，满足 AB AB130若 B210 ，求矩阵 A。002ABABA( BE)B030BE200BE 可逆。所以：A B(B E)10011102BEE110BC，得 A3urA00269设 A 是 4阶矩阵，则A（）A4 ABAC AD 4 A答案： C70设 A 为 n 阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（）A (2 )T2TB11AA(3A)3AC ( A)T )T 1( A 1) 1TD (A 1)TA答案： A71设 A 是 2阶方阵可逆，且A 137，则 A（）12

18、A272713B31C273713D21答案： B72设 A, B 均为 3阶矩阵，若 A 可逆，秩 ( B)2 ，那么秩 (AB)（）A 0B 1C 2D 3答案： CAAXb73A为 n阶矩阵，若与 n 阶单位矩阵等价，那么方程组（）设A无解B有唯一解C有无穷多解D解的情况不能确定答案： B74设矩阵 Aa，则 AAT_.b答案：a2ababb275设矩阵 A12，则行列式A2_.34答案： 411176矩阵011的秩等于 _.001答案： 3500100177设矩阵 A012 BXAB的解 X.202，求矩阵方程0371500解： A012，很容易得到A 是可逆的。所以：XABX BA1037500100A012010231037C001，所以： XBur411310012312021411378设 A, B 为同阶对称矩阵，证明ABBA 也为对称矩阵 .证： A, B 为同阶对称矩阵，所以：T,TBAA B( ABBA)TBT ATAT BTBAAB ABBA所以： ABBA 也是对称矩阵。10079.设矩阵 A020 ，则 A 1等于（）0031001003A.010B.010220010013100100231C. 010D.0031000012答案：