线性代数 欧式空间ppt课件

1、本节主要从几何的角度来讨论向量组的性质本节主要从几何的角度来讨论向量组的性质对对n维向量空间维向量空间Rn中恣意两个向量中恣意两个向量 定义了上述内积的向量空间称为欧氏空间定义了上述内积的向量空间称为欧氏空间 1212,TTnn ,LL11( , )Tnn L( , ) 定义其内积定义其内积 为为1、内积的性质、内积的性质1 ( ,)( , ) 2(,)( ,)kk ,(, ),( , ) 3( , )0, 为向量为向量 的长度的长度长度：称长度：称 1221( , )nii 22221114( ,),()nnniiiiiiia bab 即 ( , )( , )cos( , ) ( , ) 夹

2、角：夹角：, 为向量为向量的夹角余弦，的夹角余弦，, 为其夹角为其夹角单位向量：长度为单位向量：长度为1的向量的向量.非零向量的单位化：非零向量的单位化： 01. 正交正交几何中垂直概念的推行几何中垂直概念的推行1、定义：设、定义：设 为欧氏空间中两个向量，为欧氏空间中两个向量，假设内积假设内积 ,那么称那么称 与与 正交或正交或相互垂直，记作相互垂直，记作 ,0 , . 注：注： 零向量与恣意向量正交零向量与恣意向量正交.,2 cos,0 222假设一个向量假设一个向量组组 12,m 中的向量两两正交，称该中的向量两两正交，称该向量组为正交向量组。假设每个向量的长度为向量组为正交向量组。假设

3、每个向量的长度为1，那么，那么称该称该向量组为规范规范正交向量组。向量组为规范规范正交向量组。注：注：22221212.mm LL 12,m L为规范正交向量组的充要条件是为规范正交向量组的充要条件是 1,0,ijijij 定理：假设正交向量定理：假设正交向量组组 12,m L中不含零向量，那中不含零向量，那么么 12,m L线性无关。线性无关。证明：对恣意的证明：对恣意的12,mk kkL思索如下等式：思索如下等式：11220mmkkk L等式两端与等式两端与j 作内积，且作内积，且 ,0,ijij 故有：故有： ,0,0jjjjjk 又因0,1,2,.jkjm 结论所所以以，成成立立. .

4、L注：注： Rn中不含零向量的正交组最多还有中不含零向量的正交组最多还有n个向量个向量 假设正交组含有假设正交组含有rrn个向量，可以将其扩个向量，可以将其扩展展为含为含n个非零向量的正交组个非零向量的正交组例：设例：设12,m L为为Rn中中mmn个非零正交向量，个非零正交向量，那么存在非零向量那么存在非零向量X，使，使X与与12,m L均正交均正交120,( )TTTmXAXAmnr Amn M为阵,的的矩矩且且提示：提示： ,0nTiiXRXX 且且，进一步可得，进一步可得故故A的列向量组线性相关，即存在非零的列向量组线性相关，即存在非零X满足满足0AX 满足满足0iAXX 的的 一一定

5、定与与正正交交 12,mX 组故故仍仍是是正正交交向向量量L规范正交基：规范正交基： 12,nnR 组，满的的一一基基足足：L 1,0,ijijij 12,nnR 称组标的的一一准准正正交交基基L设设1,2,m是一组线性无关的向量，是一组线性无关的向量，利用这组向量可构造出正交向量组。利用这组向量可构造出正交向量组。1、正交化、正交化(1)令令 1= 1；(2)求求2=211使使0=(2,1)=(211, 1 ) = (2, 1)1 (1, 1) .得得 1= ( 2, 1)/( 1, 1), 2122111(,);(,) (3)求求3=31122, 使使=(3,1)1(1, 1)+2(2,

6、1) 0=(3, 1)=(31122,1)=(3,2)1(1, 2)2 (2, 2)0=(3, 2) = (31122, 2)得得31111(,),(,) 32222(,)(,) 313233121122(,)(,)(,)(,) (4) 类似地，得：类似地，得：(i=1,2,m) 1, 2, , m 是一组正交向量组。是一组正交向量组。121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)iiiiiiiii 2、单位化：、单位化：那么那么 1, 2 , , m 是一组规范正交向量组。是一组规范正交向量组。取取1111,| 2221,| 1.|mmm 例：证明例：证明1=(1,2,1=(1

7、,2,1)T,1)T,2=(2=(1,3,1) 1,3,1) T,T,3=(4,3=(4,1,0) T,1,0) T,为为R3R3的一组基并用施密特的一组基并用施密特正交化方法构造正交化方法构造R3R3的一组规范正交基。的一组规范正交基。解：解：那么那么r(A)=3.r(A)=3.从而从而1,1,2,2,3 3 线性无关线性无关, , 构成构成R3R3的一组基的一组基. .令令123TA 121131410T 1 = 1= (1,2, 1) T,(,)(,)1222111 5( 1, 1, 1) ,3T(1)正交化正交化(,)(,)(,)(,)132333121122 1=(1,2, 1) T, 2=( 1,3,1) T, 3=(4, 1,0) T, 1=(1,2, 1) T,),1 , 1 , 1(352 3=(2,0,2) T.(2)单位化单位化|111 1(1, 2,1) ,6T 222|(, , ) ,11113T|333 1(1, 0, 1) .2T那么那么 1, 2 , 3 是一组规范正交基。是一组规范正交基。那么称那么称 A A 为一个正交矩阵为一个正交矩阵. .假设