最新力学漆安慎第二版答案09章

1、第九章 振动第九章一、基本知识小结物体在线性回复力F = - kx，或线性回复力矩= - c作用下的运动就是简谐振动，其动力学方程为 （x表示线位移或角位移）；弹簧振子：02=k/m，单摆：02=g/l，扭摆：02=C/I.简谐振动的运动学方程为 x = Acos(0t+)；圆频率、频率、周期是由振动系统本身决定的，0=2/T=2v；振幅A和初相由初始条件决定。在简谐振动中，动能和势能互相转换，总机械能保持不变；对于弹簧振子，。两个简谐振动的合成分振动特点合振动特点方向相同，频率相同与分振动频率相同的简谐振动=±2n 合振幅最大=±(2n+1) 合振幅最小方向相同，频率不同

2、，频率成整数比不是简谐振动，振动周期等于分振动周期的最小公倍数方向相同，频率不同，频率较高，又非常接近出现拍现象，拍频等于分振动频率之差方向垂直，频率相同运动轨迹一般为椭圆=±2n 简谐振动（象限）=±(2n+1)简谐振动(象限)方向垂直，频率不同，频率成整数比利萨如图形，花样与振幅、频率、初相有关阻尼振动的动力学方程为 。其运动学方程分三种情况：在弱阻尼状态（0），振动的方向变化有周期性，对数减缩 = T.在过阻尼状态（0），无周期性，振子单调、缓慢地回到平衡位置。临界阻尼状态（=0），无周期性，振子单调、迅速地回到平衡位置受迫振动动力学方程 ；其稳定解为 ，是驱动力的频

3、率，A0和也不是由初始条件决定,当时，发生位移共振。二、思考题解答9.1 什么叫做简谐振动？如某物理量的变化规律满足，均为常数，能否说作简谐振动？答：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫做简谐振动。如果质点运动的动力学方程式可以归结为 的形式，其中 决定于振动系统本身的性质，则质点做简谐振动9.2 如果单摆的摆角很大，以致不能认为，为什么它的摆动不是简谐振动？答：因为当单摆的摆角很大不能认为时，单摆的动力学方程不能化为简谐振动的动力学，所以它的摆动不是简谐振动。9.3 在宇宙飞船中，你如何测量一物体的质量？你手中仅有一已知其劲度系数的弹簧答：用秒表测出物体做在竖直放置时的简谐振动周期，利

4、用公式可以算出弹簧的劲度系数将弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动频率将如何变化？9.4 将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子，当有乘客时，其固有频率会有怎样的变化？答：周期将变大9.5、简谐振动的动力学特征为何？，若质点同时参与上述二振动，且，质点将沿什么样的轨道怎样运动？合振动的轨迹为以和为轴的椭圆。这里又可分为两种情况，时方向的振动比方向的振动超前，质点沿椭圆逆时计方向运动。9.7、同方向同频率的简谐振动的合成后是简谐振动吗？为什么？其合成的振幅有何特点？答：同方向同频率的两个间谐振动合成后仍为一间谐振动，其频率与分振动频率相同。，合振动的振幅与初相位A , 由分振动的振幅和初

5、相位，9.8、什么是阻尼振动？尼振动有几种？答：振动系统的振动能总要逐渐减少，因此实际发生的一切自由振动振幅总是逐渐减少以至于0的这种振动称为阻尼振动。（1.）欠阻尼振动状态（2）.过阻尼振动状态（3）.临界阻尼振动状态9.9、什么是拍现象？答：振动方向相同，频率之和运大于频率之差的两个间谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍。9.10、什么是共振现象？其发生的条件为何？答：振动系统受迫振动时其振幅达极值的现象叫位移共振。共振时驱动力的原频率为是当时，发生位移共振；9.11 试说明下列运动是不是简谐运动： （1）小球在地面上作完全弹性上下跳动。 （2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度

6、的摆动。 （3）曲柄连杆机构是活塞作往复运动。 （4）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移（角位移）随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力（合力矩）与物体偏离平衡位置的位移（角位移）成正比而反向。 从能量角度看，物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动。所以： （1）不是简谐运动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征。 （2）是简谐振动。小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。 （3）不是简谐振动。活塞所受的力与位移成非线性关系，不满足上述动力学特征。 （4）是简谐振动。小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。 9

7、.12 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的？在什么情况下是异号的？加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小？ 答：简谐振动物体速度的相位超前加速度，加速度与位移反向，利用旋转矢量法分析，图像更为直线。 在振动物体沿位移的正方向向平衡位置运动时，对应的旋转矢量位于第一象限，振动物体的速度和加速度同号，都为负；当振动物体沿位移的负方向向平衡位置移动时，对应的旋转矢量位于第三象限，振动物体的速度和加速度同号，都为正。 加速度为正值时，对应的旋转矢量位于第二象限和第三象限。当物体由平衡位置沿位移的负方向运动（第二象限）时，振动物体的速率在减小；当物

8、体沿位移的负方向向平衡位置运动（第三象限）时，振动物体的速率在增大。 加速度为负值时，对应的旋转矢量位移位于第一象限和第四象限。当物体由平衡位置沿位移的正方向运动（第四象限）时，振动物体的速率在减小；当物体沿位移的正方向向平衡位置运动（第一象限）时，振动物体的速率在增大。 的弹簧和一质量为的物体组成一振动系统，若弹簧本生的质量不计，弹簧的自然长度为，物体与平面以及斜面间的摩擦力不计。在如图所示的三种情况中，振动周期是否相同。 （a） (b) 答：对如图（a）所示的三种情况分别对作受力分析可知：振动系统的平衡位置不同，振动周期相同（系统固有性质不变，）。 以图示斜面上的弹簧振子为例作受力分析。取

9、坐标系沿斜面向下为正，坐标原点取在弹簧原长处，设连接物体后弹簧的净伸长量为，时刻物体的位移为如图（b）所示，有 ， 得，其中，为振动的角频率，令，即有 可见，斜面上弹簧振子系统的平衡位置相对弹簧的原长有一平移，而作简谐振动的角频率不变。 9.14 三个完全相同的悬挂着的弹簧振子，在下列各种情况，它们的周期是否相同？如不相同，哪个大，哪个小？ （1）第一个在教室里，第二个在匀速前进的火车上，第三个在匀加速水平面前进的火车上。 （2）第一个在匀速上升的升降机中，第二个在匀加速上升的升降机中，第三个在匀减速上升的升降机中。 （3）第一个在地球上，第二个在绕地球的同步卫星上，第三个在月球上。 答：弹簧

10、振子的周期，为振子质量，与参考系的运动无关，为轻弹簧的劲度系数。 (1)三个弹簧振子的周期相同，第三个弹簧振子沿方向振动，平衡位置不在弹簧原长处。 (2)三个弹簧振子的周期相同，因参考系的加速度不同，它们的平衡位置不同。 (3)三个弹簧振子的周期相同，因重力加速度大小不同，它们的平衡位置不同。 三、习题解答 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。解：规定转轴正方向垂直纸面向外，忽略一切阻力，则刚体所受力矩= - mghsin 因为是微小摆动，sin,= -

11、mgh，即刚体是在一线性回复力矩作用下在平衡位置附近运动，因而是简谐振动。由转动定理：即， 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面为理想光滑面，求系统振动的固有频率。解：以平衡位置为原点建立坐标o-x。设m向右偏离平衡位置x，则弹簧1被拉长x，弹簧2被压缩x，m所受的合力（即回复力）.由牛顿第二定律： 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1.若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是k1的多少倍？m解：以两个弹簧串联后m的平衡位置为原点建立图示坐标o-x,设m向下偏离平衡位置x，弹簧1伸长L

12、1，弹簧2 伸长L2，L1+L2 = x (1)；由于忽略弹簧质量,两个弹簧连接点处所受的两个弹力等大反向，即k1L1 = k2L2 (2)；由、解得：， 所以m所受的回复力 ， 由牛顿二定律； ，即 ，未串联前频率 ，令 ，即，可求得： 单摆周期的研究：单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内；单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内；单摆悬挂于以加速度a（a<g）下降的电梯内。求此三种情况下单摆的周期，摆长为l.f*=maTmga解：以车为参考系，单摆受力如图示，设平衡位置与竖直线成角，由平衡条件：设单摆偏离平衡位置角位移为(<5°)，单摆所受回复力矩：由转动定理：，

13、以上求解较为麻烦，我们可以用另外一种简捷的思路和方法：在重力场中单摆的周期为，g是重力场强度现在单摆在力场中振动，力场强度：以电梯为参考系，平衡位置仍然在铅直方向，由转动定理：同样可以认为单摆在力场 中振动，力场强度：与前面分析完全相同， 在通常温度下，固体内原子振动的频率数量级为1013/s，设想各原子间彼此以弹簧连接，1摩尔银的质量为108g，且包含6.02×1023个原子，现仅考虑一列原子，且假设只有一个原子以上述频率振动，其它原子皆处于静止，计算一根弹簧的劲度系数。解：利用题的结果：kk 一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k=9.8N/m,物体的质量为200g,现将弹簧自平衡位置拉

14、长cm并给物体一远离平衡位置的速度，其大小为/s,求该振子的运动学方程（SI）。解：弹簧振子的圆频率.设振子的运动学方程为 .据题意,t=0时，,代入、中，有 由'、'可解得：A=3×10-2m；,= - 19.47º= - 0.34rad. 代入（1）中，振子的运动学方程为：x = 3×10-2 cos (7t - 0.34).质量为1.0×103g的物体悬挂在劲度系数为1.0×106dyn/cm的弹簧下面，求其振动的周期；在t=0时，物体距平衡位置的位移为+，速度为+15cm/s，求运动学方程。Ox解：以平衡位置为坐标原点，

15、建立图示坐标o-x设运动学方称为 ，将t=0时，x=0.5×10-2,v=15×10-2代入，有 2+2，可求得 A2=0.475×10-4，A=6.89×10-3m，将A值代入、中得：所以，运动学方程为：一简谐振动的规律为x=5cos(8t+/4),若计时起点提前0.5s，其运动学方程如何表示？欲使其初相为零，计时起点应提前或推迟若干？一简谐振动的运动学方程为x=8sin(3t-),若计时起点推迟1s，它的初相是多少？欲使其初相为零，应怎样调整计时起点？画出上面两种简谐振动在计时起点改变前后t=0时旋转矢量的位置。解：设计时起点提前t0秒，则t'

16、;=t+t0，将t=t'-t0代入原方程得 x=5cos(8t'-8t0+/4).当t0=0.5s时，x=5cos(8t'-4+/4)=5cos(8t'-184º)=5cos(8t'+176º)若使初相为零，令 -8t0+/4=0，得 t0=/32，即计时起点提前/32秒可使初相为零。原方程x=8sin(3t-)=8cos(3t-3/2). 设计时起点推迟t0秒，则t'=t-t0，将t=t'+t0代入原方程得 x=8cos(3t'+3t0-3/2).当t0=1s时，x=8cos(3t'+3-3/2)=8

17、cos(3t'-98º),t0=1s时，初相=（3-3/2）rad=-98º若使初相为零，令 3t0-3/2=0，得t0=/2，即计时起点推迟/2秒可使初相为零。 t=0 t=0 t=0 176º 45º o x o -98º x t=0 画出某简谐振动的位移-时间曲线，其振动规律为x=2cos2(t+1/4) (SI制).解：由运动学方程可知：A=2m,0=2,T=2/0=1s,=/2.方法一：根据余弦函数图像规律：相位=0,/2,3/2,2时，其对应的位移为A,0,-A,0,A.因此只要求出对应的时间t即可画出x-t图像。令2(t+

18、1/4)=0,/2,3/2,2;可求得对应的时间为-1/4,0,1/4,2/4,3/4.找出这些特殊点，即可画出x-t曲线。方法二：令t'=t+1/4得x=2cos2t',以1/4秒为t轴的时间单位，先画出它的x-t'图像。然后根据t=t'-1/4,将o-x轴右移1/4即得到x-t图像。 x (m) 2 -1 0 1 2 3 4 5 6 t (1/4 s ) -2 半径为R得薄圆环静止于刀口O上，令其在自身平面内作微小的摆动。求其振动的周期。求与其振动周期相等的单摆的长度。将圆环去掉2/3而刀口支于剩余圆环的中央，求其周期与整圆环摆动周期之比。 解：如图示,o=

19、-mgRsin-mgR 由平行轴定理，Io=mR2+mR2=2mR2；据转动 定理o=Io, ,即 单摆的周期为与薄圆环振动周期相等的单摆的摆长L=2R. 设剩余圆环的质心在c处，质量为 m/3.据平行轴定理：Io=Ic+mr2/3;Io = mR2/3=Ic+m(R-r)2/3,Ic=mR2/3-m(R-r)2/3=2mRr/3-mr2/3代入前式得 Io=2mRr/3. 设余环摆角为，则oo=Ioo，有 mgr/3=(2mRr/3)d2/dt2,即 . 由于和剩余环的大小无关，可知，无论剩余环多大，只要刀口支于剩余环的中央，其振动周期就和整个圆环的振动周期相等。9.2.11 1m长的杆绕过

20、其一端的水平轴作微小的摆动而成为物理摆。另一线度极小的物体与杆的质量相等，固定于杆上离转轴为h的地方。用T0表示未加小物体时杆子的周期，用T表示加上小物体以后的周期。求当h=50cm和h=100cm时的比值T/T0.是否存在某一h值，可令T=T0,若有可能，求出h值并解释为什么h取此值时周期不变。解：为简便起见，借用题中求得的结果，物理摆的周期，其中hc为摆质心到转轴的距离。未加小物体时：，代入（1）中 .加小物体后：，,代入（1）中 当l=1m,h=时， 当l=1m,h=l=1m时，令T=T0，即，解得：h=0, h=2l/3.在h=0处加小物体，即把物体放在转轴处，对摆的摆动毫无影响，故周

21、期不变。由可知，此物理摆的等效单摆长度为，因此，在处加小物体，相当于只增加单摆的质量，没有改变单摆的长度，故周期不变。 天花板下以长的轻线悬挂一个质量为的小球。最初小球静止，后另一质量为的小球沿水平方向以/s的速度与它发生完全非弹性碰撞。求两小球碰后的运动学方程。解：设m1=,m2=,碰前m2的速度为v20=/s,碰后两球的共同速度为v0.由动量 守恒，有 碰后两球构成一个单摆,圆频率.设运动学方程 将t=0时,x=0,v=0.1代入,得：0=Acos , 0.1= - 3.3Asin 要同时满足 ，只有取=-/2；代入得A0.03.所以运动学方程为： 质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，

22、使弹簧伸长10cm，今有一质量为200g的铅块在高30cm处从静止开始落进框架，求铅快落进框架后的运动学方程。解：设a为弹簧自由伸长时框架的位置，b为碰前框架的平衡位置，o为碰后平衡位置并取作坐标原点。据题意：ammboxab=, k=mg/ab=0.2×9.8/0.1=19.6N/m,设碰后铅块与框架获得的共同速度为v'，由动量守恒:碰后框架与铅块振动的圆频率，设振动的运动学方程为 ，将振动的初始条件：t=0时, x = -0.1, v = v'=1.21代入，有：2+2，得：，将A值代入、中得：cos= -0.5, sin= -0.865, = -120°

23、;= -2/3所以，运动学方程为： 质量为200g的框架，用一弹簧悬挂起来，使弹簧伸长10cm，框架下方有一质量为20g的小球竖直向上飞来，与框架发生完全弹性碰撞，已知小球碰前速度为10m/s，求碰后框架的运动学方程。解：以框架平衡位置为坐标原点，据题意： 设小球质量为m'，小球碰前速度为v0'，小球碰后速度为v'，框架碰前静止，碰后速度为v0由动量守恒：，由牛顿碰撞公式：m'mv0'ox由此可求得：设运动学方程代入初始条件：由知=±/2，为满足式，取=/2，代入所以，运动学方程为： 质量为m的物体自倾角为的光滑斜面顶点处由静止而滑下，滑行了l远后与一质量为m的物体发生完全非弹性碰撞。m与劲度系数为k的轻弹簧相连。碰撞前m静止于斜面上，如图所示。问两物体碰撞后作何种运动，并解出其运动学方程。已知m=m=5kg,k=490N/m,=30º,l=.解：设a为弹簧自由伸长处，b为只有m时的平衡位置, o为m与m粘在一起时的平衡位置.以o为原点，建立图示o-x坐标。由平衡条件有：.设m与m碰前速度为v1，由能量守恒，.设m与m碰后共同速度为v0,由动量守恒 显然，碰撞后两小球在平衡位置o附近作简谐振动