电工学课件：第四章 交流电路分析

1、 第一节第一节 正弦交流电路的基本概正弦交流电路的基本概念念t ii)sin(mutUuiuut Oiui、2T)sin(imtIi有效值：有效值：与交流热效应相等的直流定义。与交流热效应相等的直流定义。幅值：幅值：Im、Um则有则有 TtiTI02d1dtRiT20RTI2 TttIT1022mdsin2mI 同理：同理：2mUU 瞬时值：瞬时值：i、u交流设交流设备名牌标注的备名牌标注的电压、电流均电压、电流均为有效值为有效值fT22Tf1t O)sin(mutUu)(ut)sin(imtIi)(itiuut Oiui、2T电流电流i初相位初相位电压电压u初相位初相位幅值、角频率、初相位称

2、为正弦量的三要素。幅值、角频率、初相位称为正弦量的三要素。tIi sinmI Im m 2 Tit O)sin(1mtUu如：如：)()(21tt21若若021 )sin(2mtIi四、同频率正弦量的相位差四、同频率正弦量的相位差uiu i tO902190021 02118021uituiOtuiuiOuitui90Ouitui O 不同频率的正弦量比较无意义。不同频率的正弦量比较无意义。 两同频率的正弦量之间的相位差为常数，两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。与计时的选择起点无关。 ti2i1iO+j+1Abar0设设A为复数为复数:A =a + jbabarcta

3、n22baAr复数的模复数的模复数的辐角复数的辐角式中式中:cosra sinrb )sinj(cossinjcosrr rA由欧拉公式由欧拉公式:2jsinjjee,ee2cosjj jerA sinjcosje可得可得: rrrjrbaAjsincosjerA 瞬时值表达式瞬时值表达式)sin(mtUu波形图波形图ut O相量相量: 表示正弦量的复数称相量表示正弦量的复数称相量 UUeUj)(sinmtIi？= 非正弦量不能用相量表示。非正弦量不能用相量表示。只有只有同频率同频率的正弦量才能画在同一相量图上。的正弦量才能画在同一相量图上。 IU mjmmUeUU或：或：mjmIeI 模模用

4、最大值表示时用最大值表示时 ，则用符号：，则用符号：mmI U、 相量图相量图: 把相量表示在复平面的图形把相量表示在复平面的图形 实际应用中，模多采用有效值，符号：实际应用中，模多采用有效值，符号：I U、IU如：已知如：已知)V45(sin220 tuVe220j45m UVe2220j45 U则则或或)jsincos(jUUUUe相量式相量式:j90sinj90cosej90 jerA C90je 旋转旋转 因子：因子：90 90je相量相量 乘以乘以 ， 将逆时针旋转将逆时针旋转 ，得到，得到ABA90 -j90e相量相量 乘以乘以 ， 将顺时针旋转将顺时针旋转 ，得到，得到CAA90

5、A+1+joBV452220 U？)V45(sin220 tuVe22045m U？)A30(sin24 t？Ae4j30 Ij45 )A60(sin10ti？V100 U？ej15100VU？ 2.已知：已知：A6010 IV15100 U1U 202U 452U1U 落后于落后于1U2U超前超前落后落后？V)45(sin21102tuV)20(sin22201tu+1+jV202201 UV451102 U例例2: 2: 已知已知)A60sinj60cos11()A30sinj30cos12.7( 有效值有效值 I =16.8 A)A 30 (314sin2.7 12 1ti )A 60

6、(314sin211 2ti。 iii21A) 10.9 314(sin216.8 ti求：求：A3012.7 1 IA60112 IA6011A3012.721 IIIA10.916.8j3.18)A-16.5( 例例3:3: 图示电路是三相四线制电源，图示电路是三相四线制电源， 已知三个电源的电压分别为：已知三个电源的电压分别为：)V120(314sin2220BtuV314sin2220Atu )V120(314sin2220Ctu试求试求uAB ，并画出相量图。，并画出相量图。解解:(1) 用相量法计算：用相量法计算： V0220A UV120220B UV120220C UNCANB

7、+-+AUBUCUABU)V30(sin2380AB tu所所以以AUBUCUB-UABU30V120220V0220BAAB UUU V)120(sinj)120(cos220V220AB U)V0.866j0.51(220 V301.73220 V30380 相量形式的相量形式的KCL和和KVL： 0I 0U说明：说明：与直流电路中的基尔霍夫定律表现形式相似。与直流电路中的基尔霍夫定律表现形式相似。直流电路中介绍的所有分析方法都可以应用到交流电路中。直流电路中介绍的所有分析方法都可以应用到交流电路中。是相量的代数和，而不是数值的代数和。是相量的代数和，而不是数值的代数和。 设设tUusin

8、mRUI 根据欧姆定律根据欧姆定律:Riu tRU2RtURuisinsinmtI2tIsinsinm0iu相位差相位差 ： IU相量图相量图相量式：相量式：0II RIUU 0iRu+_iup(1) 瞬时功率瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积瞬时电压与瞬时电流的乘积tIU2mmsin)2cos(121mmtIU结论结论: （耗能元件）（耗能元件）, ,且随时间变化。且随时间变化。0ptUutIisin2sin2 pituOtpOiuTTtiuTtpTP00d1d1UIttUITT0)dcos2(11ttIUTTd)2cos(12110mmUIP 单位单位:瓦（瓦（W） 2RI P RU2

9、pptOiRu+_)90(sin2 tLI 基本基本关系式：关系式： U =I L 90iu相位差相位差90ddiuLt设：设：tIisin22d(sin)dItuLt)90(sin2tUutu iiOiu+-L)90(sin2tLIutIisin2LUI LXIU 则则: : 电感电感L具有通直阻交的作用具有通直阻交的作用f = 0, XL =0，电感，电感L视为视为短路短路LfLXL2 fLXL2 L IUfXLLfLXL2LX)(jjLXILIUfLUI 2UI相量图相量图90IU超前超前)90(sin2tLIutIisin2根据：根据： 0II 9090LIUULIUIU j90 则：

10、则：LXI,fO0d)(2sind1oo ttUIT1tpTPTT)90(sinsinmmttIUuiptUI2sintIUttIU2sin2cossinmmmm)90(sin2tLIutIisin2p 0分析：分析：瞬时功率瞬时功率 ：uiptUI2sin+p 0p 0p 0p XC 时时， 0 ，u 超前超前 i 呈呈感性感性当当 XL XC 时时 ， 0 感性感性)XL XC由电压三角形可得由电压三角形可得:cosUURsinUUxURUCLUU XUCUIRU( 0 容性容性)XL C时，时，u超前超前i，当当LC时，时，u滞后滞后i，这样分析对吗？这样分析对吗？RLCRu+_Lu+_

11、Cu+_u+_i+u-RCLiCiLiRitUusin2设：设：)90(sin2)90(sin2sin2tCUttRUiLU则则根据根据KCL可得：可得：CLRiiiitutddCd1uLRu为同频率为同频率正弦量正弦量+U-RCLICILIRI111jR+ jjLCLCUUUIRXXUXXCLRIIII0UU设设CCXI jULjXULI 则则 RUIR总电压与总电流总电压与总电流的相量关系式的相量关系式若用有效值的形式表示，则若用有效值的形式表示，则 2222RLCLC111()()()IUIIIRXX电压、电流的相位差为电压、电流的相位差为LCLCR11arctanarctan1XXII

12、IRCLXXUI111jR由式由式 知知 CL11XX0当当时，时， 电压超前于电流，电路呈感性；电压超前于电流，电路呈感性；，CL11XX0电压滞后于电流，电路呈容性；电压滞后于电流，电路呈容性；当当时，时，CL11XX0，总电压与总电流同相。总电压与总电流同相。 当当时，时，RLC并联电路电流相量图并联电路电流相量图: 2121ZUZUIII IZZZI21122121ZZZZZ ZUI 对于阻抗模一般对于阻抗模一般21111ZZZ21111ZZZ IZZZI2121通式通式:k11ZZ+U1Z-I2Z1I2I+UZ-I解解:同理：同理：26.54.4710.511.81650j68j43

13、37105352121 ZZZZZA5344A535022011 ZUIA3722A3701022022 ZUIj431Z有两个阻抗有两个阻抗j682Z它们并联接在它们并联接在V0220 U的电源上的电源上;求求:I和和21II、并作相量图。并作相量图。+U1Z-I2Z1I2I 21III相量图相量图1IUI2I533726.5 21III注意：注意：A26.549.226.54.470220 ZUI或或A26.549.2A3722A53-44 21 III思考思考 下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确下列各图中给定的电路电流、阻抗是否正确？21111ZZZ两个阻抗并联时两个阻抗并联时,在什

14、么情况下在什么情况下:成立。成立。2ZI=8A ?2ZI=8A ?(c)4A4 4A4 A2A1I(d)4A4 4A4 A2A1I2. 如果某支路的阻抗如果某支路的阻抗6)j8( Z , 则其导纳则其导纳)S61j81( Y对不对对不对?+U-CL3. 图示电路中图示电路中,已知已知CLXX则该电路呈感性则该电路呈感性,对不对对不对?1. 图示电路中图示电路中,已知已知2RXXCL电流表电流表A1的读数为的读数为3A,试问试问(1)A2和和A3的读数为多少的读数为多少?(2)并联等效阻抗并联等效阻抗Z为多少为多少?A1+U-RA2A3CLt It Uiupsin)(sinmm2m mcos s

15、insin sin2coscos(2U I t UI t=UI -UI t )(sinsinmmt Uut Ii设：设：RLCRu+_Lu+_Cu+_u+_i cosUIP 所所以以 cos)d(2coscos1d100UIttUIUITtpTPTT 单位单位: W总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角coscos 称为功率称为功率因数，用来衡因数，用来衡量对电源的利量对电源的利用程度。用程度。单位：单位：varsinUIQ 总电压总电压总电流总电流u 与与 i 的夹角的夹角根据电压三角形可得：根据电压三角形可得：RIIUUIPR2cos电阻消耗电阻消耗的电能的电能)()(2CLC

16、LCLXXIIUUIUIUQ根据电压三角形可得：根据电压三角形可得：URU XU电感和电电感和电容与电源容与电源之间的能之间的能量互换量互换 电路中总电压与总电流有效值的乘积。电路中总电压与总电流有效值的乘积。2IZUIS单位：单位：VA 注：注： SNUN IN 称为发电机、变压器称为发电机、变压器 等供电设备等供电设备的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最的容量，可用来衡量发电机、变压器可能提供的最大有功功率。大有功功率。22QPS QPS阻抗三角形、阻抗三角形、电压三角形、电压三角形、功率三角形功率三角形SQP22)(CLXXRZ sincosZXZR2)(CL2RUUUUsinc

17、osUUUUXR22QPSsincosSQSPRUUCLUU将电压三角形的有效值同除将电压三角形的有效值同除I得到阻抗三角形得到阻抗三角形将电压三角形的有效值同乘将电压三角形的有效值同乘I得到功率三角形得到功率三角形RCLXX Z1.功率因数功率因数:。scoUIZRXjXRZ的的意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角意义：电压与电流的相位差，阻抗的辐角sinUIQ 1cos功率功率+U-ZIAkV1000NNNIUS若用户：若用户： 则电源可发出的有功功率为：则电源可发出的有功功率为： 1cos若用户：若用户： 则电源可发出的有功功率为：则电源可发出的有功功率为： 0.6cos800kvars

18、inNNIUQ而需提供的无功功率为而需提供的无功功率为:600kWcosNNIUPcos1000kWcosNNIUP无需提供的无功功率。无需提供的无功功率。(费电费电)设输电线和发电机绕组的电阻为设输电线和发电机绕组的电阻为 :r要求要求:(、定值定值)时时cosIUP cosUPI rIP2cos( (导线截面积导线截面积) )IS 日常生活中多为日常生活中多为感性负载感性负载-如电动机、日光灯，如电动机、日光灯，其等效电路及相量关系如下图。其等效电路及相量关系如下图。 IURULU相量图相量图A0.182A22040 UPI 1cos例例cosIUP A0.364A0.522040co s

19、UPI40W220V日光灯日光灯 0.5cos 。 0.85coscosL LI感性等效电感性等效电路路+U-RLXI+RU-+-LU+0)(R-L-)9090(纯纯)90( 日光灯日光灯 （R-L串联电路）串联电路）1cos0.30.2cos0cos0co1s0.90.7cos0.60.5cos1ICIIU1 必须保证必须保证原负载的工作状态不变。原负载的工作状态不变。即：即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。加至负载上的电压和负载的有功功率不变。 在感性负载两端并电容在感性负载两端并电容cosIcosCIC+U-RLI1I1IIU1CI(1) 电路的总电流电路的总电流 ，电路总功率因数

20、，电路总功率因数Icos电路总视在功率电路总视在功率S1cos感性支路的感性支路的功率因数功率因数不变不变不变不变感性支路的电流感性支路的电流1I1IIU1CIsinsin11IIICCUIC 所所以以11sinIsinICI即即:sinsin11IICUCIC+U-RLI1I)tan(tan12 UPC sincossincos11UPUPCU 思考题思考题:例例1:1:解：解：(1)F656F)tan18(tan53220314101023 C所所以以（2）如将）如将 从从0.95提高到提高到1，试问还需并多，试问还需并多 大的电容大的电容C。（1）如将功率因数提高到）如将功率因数提高到

21、,需要需要 并多大的电容并多大的电容C,求并求并C前后的线路的电流。前后的线路的电流。一感性负载一感性负载,其功率其功率P=10kW, ，接在电压接在电压U=220V , =50Hz的电源上的电源上。0.6cos0.95coscos)tan(tan12UPC1cos0.6即即1530.95cos即即18并并C前前:A75.6A0.62201010co311 sUPIF213.6)Ftan0(tan18220314101023 CA47.8A0.952201010cos3 UPI并并C后后:(2)从从0.95提高到提高到1时所需增加的电容值时所需增加的电容值cos例例2:2:解：解：(1)电源提

22、供的电流为：电源提供的电流为：54.54AA0.5220106cos3 UPI电源的额定电流为：电源的额定电流为：0.5cosN已知电源已知电源UN=220V , =50Hz，SN=10kVA向向PN=6kW,UN=220V， 的感性负载供电，的感性负载供电，cos45.45AA22010103NNN USI例例2:2:NII 所以所以（2）如将）如将 提高到提高到0.9后，电源提供的电流为：后，电源提供的电流为：cos30.3AA0.9220106cos3 UPINII 所所以以 在同时含有在同时含有L 和和C 的交流电路中，如果总电压和的交流电路中，如果总电压和总电流同相，称电路处于谐振状

23、态。此时电路与电总电流同相，称电路处于谐振状态。此时电路与电源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。源之间不再有能量的交换，电路呈电阻性。L 与与 C 串联时串联时 u、i 同相同相L 与与 C 并联时并联时 u、i 同相同相 研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利研究谐振的目的，就是一方面在生产上充分利用谐振的特点，用谐振的特点，(如在无线电工程、电子测量技术等如在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应用许多电路中应用)。另一方面又要预防它所产生的危。另一方面又要预防它所产生的危害。害。IU、同相同相 由定义，谐振时：由定义，谐振时：或：或：CLoo 1 0arctanRXXCL即即谐振条件

24、：谐振条件：CLXX串联谐振电路串联谐振电路根据谐振条件：根据谐振条件：CLoo1RLCRu+_Lu+_Cu+_u+_iLC10 LCf 210 或或电路发生谐振的方法：电路发生谐振的方法：(1)电源频率电源频率 f 一定一定，调调参数参数L、C 使使 fo= f；(2)电路参数电路参数LC 一定一定，调调电源频率电源频率 f，使使 f = fo 或：或：CfLf00212RXXRZCL 22)(可得可得为：为：当电源电压一定时：当电源电压一定时： RUII 0电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗，电路呈电阻性，能量全部被电阻消耗， 和和 相互相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。补偿。即电源

25、与电路之间不发生能量互换。LQCQIU、0arctanRXXCL电阻电压：电阻电压：UR = Io R = U 00CCLLXIUXIU 电容、电感电压：电容、电感电压：CLUUUC 、UL将大于将大于电源电压电源电压URX XCL当当 时：时：有：有：UUU URCL由于由于UU UCL可能会击穿线圈或电容的可能会击穿线圈或电容的绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐绝缘，因此在电力系统中一般应避免发生串联谐振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到振，但在无线电工程上，又可利用这一特点达到选择信号的作用。选择信号的作用。RCRLUUUUQCL001 令：令：QQUUUCL 有有：所以串

26、联谐振又称为所以串联谐振又称为电压谐振。电压谐振。注意注意QUUCRXIUCC 001 QUURLXIULL 00 ILUCUUUR如如Q=100,U=220V,则在谐振时则在谐振时22000VQUUUCL与与相互抵消，对外呈现短路的特征，相互抵消，对外呈现短路的特征，但但 不为零，而是电源电压的不为零，而是电源电压的Q倍。倍。LUCU与与LUCU与与LUCU 阻抗随频率变化的关系。阻抗随频率变化的关系。 22 1 CLRZ RZ 0 Z0 LXZ0fCXLfXL 2fcXC 21容性容性)(0感性感性)(0f0R)( jCLXXRZ )1-()(22CLRUZUI 0I Q大大Q小小0I分析

27、：分析： RLQ0 谐振电流谐振电流RUI 0 f0f0ZIZ ,R 0I接收机的输入电路接收机的输入电路1L：接收天线：接收天线LC：组成谐振电路：组成谐振电路321eee、 为来自为来自3个不同电台个不同电台(不同频率不同频率)的电动势信号；的电动势信号；调调C，对，对所需信号所需信号频率产生频率产生串联谐振串联谐振QUUIICmax0最大最大则则1LLC电路图电路图CLR1e2e3e1f2f3f等效电路等效电路+-Cu已知：已知：16H0.3mRL、640kHz1f解：解：LC2ff110 204pF100.31064021323 C若要收听若要收听 节目，节目，C 应配多大？应配多大？

28、1eLfC2021则：则：当当 C 调到调到 204 pF 时，可收听到时，可收听到 的节目。的节目。1e(1)CLR1e2e3e1f2f3f+-Cu V21E已知：已知：120021LfLXXCLV1561CCIXU 信号在电路中产生的电流信号在电路中产生的电流 有多有多大？在大？在 C 上上 产生的电压是多少？产生的电压是多少？1e(2)已知电路在已知电路在解：解：640kHz1f时产生谐振时产生谐振A0.1316/1 EI这时这时7821561C1EUQCLR1e2e3e1f2f3f+-CuCLXXUI111jRCLXX11或：或：CLoo 1 谐振条件：谐振条件：0100LC：谐谐振振

29、条条件件可得出：可得出：+U-RCLICILIRI1I或或LCff210LC10RZ0RUZUII000SZIU 能量全部被电阻消耗，能量全部被电阻消耗， 和和 相互补偿。即电源与相互补偿。即电源与电路之间不发生能量互换。电路之间不发生能量互换。LQCQCfUCfUII00C221L+U-RCLICILIRI1I01CLIIICIILRUIIRLC并联谐振时，并联谐振时，对外呈现开路的特征对外呈现开路的特征电流谐振电流谐振 IZZI,00Z0I相量图相量图0002RCRf CRQLRUCfUZUCfUIIC)2()2(0000UCII1ILICL001CULUII00CL谐振时由于谐振时由于，

30、 RL 00LII所以当所以当时，有时，有即电感和电容支路的电流将远远大于电源的总电流。即电感和电容支路的电流将远远大于电源的总电流。已知：已知：85pF25Hm250CRL、.解：解：rad/s106.8610850.25116150LCOOZQ、试求：试求：68.625100.25106.86360RLQ117K 108525100.25-1230RCLZ+U-RCXLXI1ICI 电路如图：已知电路如图：已知 R=10 、IC=1A、 1 =45 （ 间的相位角）、间的相位角）、=50Hz、电路处于谐振状态。、电路处于谐振状态。1I,U试计算试计算 I、I1、U、L、C之值，并画相量图。

31、之值，并画相量图。解：解：(1) 利用利用相量图求解相量图求解UI相量图如图相量图如图:1Asin11 CCIII因因为为 由相量图可知由相量图可知电路谐振，则：电路谐振，则：1I45A21.41445sin1 CII所所以以A1CIIRULUCI+U-RCXLXI1ICIV20V2102221 LXRIU所所以以201202 IUXCF159 21 CfXC所所以以H0.0318H314102 fXLL10451R、又：又：10 RXL所所以以解：解：图示电路中图示电路中U=220V,(1)当电源频率当电源频率1000rad/s1 时时,UR=0试求电路的参数试求电路的参数L1和和L2(2)

32、当电源频率当电源频率2000rad/s2 时时,UR=UF1CCL1111故故:1H10110001162211HCL所以(1)0 RU因因为为即即:I=0CL1所所以以并联电路产生谐振并联电路产生谐振,CRLZ110即即:+U-R2LI1LC(2)U,U R因因为为所以电路产生串联谐振所以电路产生串联谐振,CL1并联电路的等效阻抗为并联电路的等效阻抗为:1-j)j(j1)(jj1122121221221CLLLCLCZ串联谐振时串联谐振时,阻抗阻抗Z虚部为零虚部为零,可得可得:0.33HH11012000111621222 LCL)1-( jj1221222122CLLLRZLRZ总阻抗总阻抗+U-R2LI1LC2.1) 电路中有非线性元件；电路中有非线性元件；2) 电源本身是非正弦；电源本身是非正弦；3) 电路中有不同频率的电源共同作用。电路中有不同频率的电源共同作用。+-iu+-0uiut O0ut O示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波计算机内的脉冲信号计算机内的脉冲信号OOT tO周期函数周期函数傅里叶级数傅里叶级数基波（或基波（或一次谐波）一次谐波）二次谐波二次谐波（2 2倍频）倍频）直流分量直流分量高次谐波高次谐波)