简单的三角恒等变换(含答案)

1、简单的三角恒等变换基础知识1二倍角的正弦、余弦、正切公式2降幂公式3.半角公式基础练习1已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinAsinB()A有最大值和最小值0 B有最小值，无最大值C既无最大值也无最小值 D有最大值，无最小值2若，则cossin的值为()A B C. D.3若0，0，cos（），cos（），则cos（）()A. B C. D4已知函数f(x)cosxsinx(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间，上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称，其中为真命题的是()A B C D5若函数f(x)sin2x2sin2

2、xsin2x(xR)，则f(x)是()A最小正周期为的偶函数 B最小正周期为的奇函数C最小正周期为2的偶函数 D最小正周期为的奇函数6定义运算adbc.若cos，0，则等于()A. B. C. D.7已知f(x)sinxcosx(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值，并指出此时x的值典型例题例1.求证：sin2.练1. (1)已知tan.求tan及的值(2)若tan22tan21，求证：sin22sin21.例2.已知f(x)且x2k，kZ.且xk，kZ.(1)化简f(x)；(2)是否存在x，使得tanf(x)与相等？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由练2

3、.化简：(2)例3已知向量a(cosx3，sinx)，b(cosx，sinx3)，f(x)ab.(1)若x2，3，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若x(，)且f(x)1，求tan2x的值练3 函数ysin2xsin2x，xR的值域是（ ）A， B， C， D，例4已知A，B，C是ABC的三个内角，向量m (1，)，n(cosA，sinA)，且mn1.(1)求角A；(2)若2，求角B.练4.若sin2，则cos的值为（ ）A. B. C D例5.集合a1，a2，a3，an和常数a0，定义：为集合a1，a2，a3，an相对于a0的“余弦方差”，试问集合，相对于常数a0的“余弦方差”是否会随着a

4、0的变化而变化？练5形如的符号叫二阶行列式，现规定a11a22a21a12，如果f()，0，求的值简单的三角恒等变换活页作业一、选择题1(2011湖北八校)已知x(，0)，cosx，则tan2x()AB C. D.2已知450540，则的值是()Asin Bcos Csin Dcos3已知是第三象限的角，且sin4cos4，那么sin2的值为()A. B C. D4已知函数f(x)sinxcosx且f(x)2f(x)，f(x)是f(x)的导函数，则()A B. C. D5若，则sincos的值为()A B C. D.6已知函数f(x)cosxsinx(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(

5、x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间，上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称，其中为真命题的是()A B C D7（2011课标全国卷） 设函数f(x)sincos，则() Ayf(x)在单调递增，其图像关于直线x对称Byf(x)在单调递增，其图像关于直线x对称Cyf(x)在单调递减，其图像关于直线x对称Dyf(x)在单调递减，其图像关于直线x对称8若0，0，cos（），cos），则cos（）()A. B C. D二、填空题9设是第二象限的角，tan，且sincos，则cos_.10已知1，tan()，则tan(2)等于_11.定义运算ab为ab，如121，则f(x)

6、sinxcosx的值域为_12设为第四象限的角，若，则tan2_.三 解答题13设函数f(x)sin()2cos21(1)求f(x)的最小正周期(2)若函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x1对称，求当x0，时yg(x)的最大值14已知函数f(x).(1)求f()的值；(2)当x0，时，求g(x)f(x)sin2x的最大值和最小值15(1)已知tan，求cos2的值(2)已知sincos，(0，)，求cos.16已知0，且tan，sin().(1)分别求cos与cos的值；(2)求tan的值17已知角A、B、C为ABC的三个内角，(sinBcosB，cosC)，(sinC，sinBcosB

7、)，.(1)求tan2A的值；(2)求的值简单的三角恒等变换基础知识1二倍角的正弦、余弦、正切公式2降幂公式3.半角公式基础练习1已知A、B为直角三角形的两个锐角，则sinAsinB()A有最大值和最小值0 B有最小值，无最大值C既无最大值也无最小值 D有最大值，无最小值解析：AB，BA.sinAsinBsinAsin(A)sinAcosAsin2A.0A，2A(0，)0sin2A1.sinAsinB有最大值，无最小值答案：D2若，则cossin的值为()A B C. D.解析：(sincos)cossin.答案：C32011浙江卷 若0，0，cos（），cos，则cos()A. B C. D

8、解析：cos，0，sin.又cos，0，sin，coscoscoscossinsin. 答案：C4已知函数f(x)cosxsinx(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间，上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称，其中为真命题的是()A B C D解析：f(x)sin2x，由f(x)的周期性知，不正确又f(x)的周期T，不正确当x，时，2x，f(x)为增函数正确当x时，f(x)，为最小值x是f(x)的对称轴，正确答案：D5(2011年北京市高三复习练习试题(九月)若函数f(x)sin2x2sin2xsin2x(xR)，则f(x)是

9、()A最小正周期为的偶函数 B最小正周期为的奇函数C最小正周期为2的偶函数 D最小正周期为的奇函数解析：f(x)(12sin2x)sin2xcos2xsin2xsin4x，显然f(x)是最小正周期为的奇函数答案：D6定义运算adbc.若cos，0，则等于()A. B. C. D.解析：依题设得：sincoscossinsin().0，cos().又cos，sin.sinsin()sincos()cossin()，.答案：D7已知f(x)sinxcosx(xR).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最大值，并指出此时x的值.解析：(1)f(x)sinxcosx2(sinxco

10、sx)2(sinxcoscosxsin)2sin(x)T2.(2)当sin(x)1时，f(x)取得最大值，其值为2.此时x2k(kZ)，即x2k(kZ)典型例题例1.求证：sin2.解析：左边cossincossincossin2右边，故原式成立练1. (1)已知tan.求tan及的值(2)若tan22tan21，求证：sin22sin21.解析：(1)解tan.由tan()，有.解得tan.tan.(2)【证明】由已知得21，即21，即，即sin2sin2sin2sin21sin2sin2sin2.sin22sin21，即等式成立例2.已知f(x)且x2k，kZ.且xk，kZ.(1)化简f(

11、x)；(2)是否存在x，使得tanf(x)与相等？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由解析：(1)，同理得f(x)，且x2k，kZ；(2)若tanf(x)，则，1，即sinx1，此时x2k，(kZ)，即为存在的值练2.化简：(2)解析：原式，2，.cos0.原式cos.例3已知向量a(cosx3，sinx)，b(cosx，sinx3)，f(x)ab.(1)若x2，3，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若x(，)且f(x)1，求tan2x的值解析：(1)f(x)ab(cosx3，sinx)(cosx，sinx3)13(cosxsinx)13sin(x)由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ

12、)又x2，3，函数f(x)的单调递增区间是，3(2)由(1)知f(x)13sin(x)1，sin(x)，cos2(x)12sin2(x).sin2x.x(，)，2x.cos2x.tan2x.练3 函数ysin2xsin2x，xR的值域是（ ）A， B， C， D，解析：ysin2xsin2xsin2xcos2xsin(2x)，故选C.答案：C 例4已知A，B，C是ABC的三个内角，向量m (1，)，n(cosA，sinA)，且mn1.(1)求角A；(2)若2，求角B.解析：(1)mn(1，)(cosA，sinA)cosAsinA2sin(A)1，sin(A)，0A，A，故2k22k，kZ，从而

13、kk(kZ)，即终边在第一象限或第三象限，所以cossin.答案：D 例5.集合a1，a2，a3，an和常数a0，定义：为集合a1，a2，a3，an相对于a0的“余弦方差”，试问集合，相对于常数a0的“余弦方差”是否会随着a0的变化而变化？解析：=.= ，集合，相对于常数a0的“余弦方差”不会随着a0的变化而变化练5形如的符号叫二阶行列式，现规定a11a22a21a12，如果f()，0，求的值解析：，f()cossinsincoscossinsin()，.本课小结三角函数式的恒等变形，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的办法二倍角公式的正用、逆用、变形是公式的三种使用方法，特别是二倍角的

14、余弦公式，其变形公式在求值、化简、证明中有着广泛的应用解题时，应灵活选取(1)二倍角是相对的，如：2，42(2),32()，2()；(2)二倍角公式的逆向变换及其有关变形：1sin2(sincos)2；1cos2cos2；1cos2sin2；cos2；sin2.其中cos2，sin2称为降幂公式，而1cos22sin2，1cos22cos2称为升幂公式简单的三角恒等变换活页作业一、选择题1(2011湖北八校)已知x(，0)，cosx，则tan2x()AB C. D.答案：A解析：方法一因为x(，0)，sinx0，sinx，sin2x2sinxcosx，cos2x2cos2x1，tan2x.方法

15、二由方法一知：sinx，tanx，tan2x.2已知450540，则的值是()Asin Bcos Csin Dcos答案：A解析：原式|sin|.450540，225270.原式sin.3已知是第三象限的角，且sin4cos4，那么sin2的值为()A. B C. D答案：A解析：sin2cos21(sin2cos2)2sin42sin2cos2cos412sin2cos2，(sin2)22k2k，4k220，sin2.4已知函数f(x)sinxcosx且f(x)2f(x)，f(x)是f(x)的导函数，则()A B. C. D答案：A解析：f(x)cosxsinx，由f(x)2f(x)即cos

16、xsinx2(sinxcosx)，得tanx3，所以.5若，则sincos的值为()A B C. D.答案：C解析：2cos()2(sincos)(sincos).所以sincos.6已知函数f(x)cosxsinx(xR)，给出下列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间，上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称，其中为真命题的是()A B C D解析：f(x)sin2x，由f(x)的周期性知，不正确又f(x)的周期T，不正确当x，时，2x，f(x)为增函数正确当x时，f(x)，为最小值x是f(x)的对称轴，正确答案：D7（2011课标全国卷）

17、设函数f(x)sincos，则() Ayf(x)在单调递增，其图像关于直线x对称Byf(x)在单调递增，其图像关于直线x对称Cyf(x)在单调递减，其图像关于直线x对称Dyf(x)在单调递减，其图像关于直线x对称解析：f(x)sinsincos2x，所以yf(x)在内单调递减，又fcos，是最小值所以函数yf(x)的图像关于直线x对称答案：D8（2011浙江卷）若0，0，cos（），cos），则cos（）()A. B C. D解析： cos，0，sin.又cos，0，sin，coscoscoscossinsin.答案：C二、填空题9设是第二象限的角，tan，且sincos，则cos_.解析：是

18、第二象限的角，可能在第一或第三象限，又sincos，为第三象限的角，cos0.tan，cos，cos.答案：10(2010南通调研)已知1，tan()，则tan(2)等于_解析：由1得1，tan ，从而tan(2)tan()1.答案：111.定义运算ab为ab，如121，则f(x)sinxcosx的值域为_解析：解法一：由已知得f(x).当x2k，2k，kZ时，f(x)sinx1，；当x(2k，2k)，kZ时，f(x)cosx(1，)f(x)1，解法二：数形结合：如图，f(x)的图象为图中实线部分显然，f(x)的值域为1，答案：1，12(2011杭州)设为第四象限的角，若，则tan2_.解析.

19、2cos2cos2，2cos21cos2.cos2.2k2k，4k20，2为第四象限的角。sin2，tan2.答案：三 解答题13设函数f(x)sin()2cos21(1)求f(x)的最小正周期(2)若函数yg(x)与yf(x)的图象关于直线x1对称，求当x0，时yg(x)的最大值解析：(1)f(x)sincoscossincosxsinxcosxsin(x)，故f(x)的最小正周期为T8.(2)解法一：在yg(x)的图象上任取一点(x，g(x)，它关于x1的对称点(2x，g(x)由题设条件，点(2x，g(x)在yf(x)的图象上，从而g(x)f(2x)sin(2x)sinxcos(x)，当0x时，x，因此yg(x)在区间0，上的最大值为g(x)maxcos.解法二：因区间0，关于x1的对称区间为，2，且yg(x)与yf(x)的图象关于x1对称，故yg(x)在0，上的最大值为yf(x)在，2上的最大值，由(1