三角形的内心

1、直线与圆的位置关系（四）直线与圆的位置关系（四） 如图是一块三角形木料，木工师傅要如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？的圆的面积尽可能大呢？ABC三角形的内切圆的定义：三角形的内切圆的定义：ABC和三角形各边都相切的圆叫和三角形各边都相切的圆叫三角三角形的内切圆形的内切圆 三角形叫三角形叫圆的外切三角形圆的外切三角形问题：问题：作圆的关键是什么？作圆的关键是什么？问题：问题：怎样确定圆心的位置？怎样确定圆心的位置？问题：问题：圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？圆心的位置确定后怎样确定圆的半径？ABC（确定

2、圆心和半径）（确定圆心和半径）（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）（作两条角平分线，其交点就是圆心的位置）（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）（过圆心作三角形一边的垂线，垂线段的长就是圆的半径）例例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：已知： ABC（如图）（如图）求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆问题问题: :在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗在这块三角形材料上还能裁下更大的圆吗? ?（不能）（不能）任何一个三角形都只有一个内切圆任何一个三角形都只有一个内切圆3、以、以I为圆心，为圆心，ID为半径作为半径作 I

3、， I就是所求的圆就是所求的圆.例例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切作圆，使它和已知三角形的各边都相切已知：已知： ABC（如图）（如图）求作：和求作：和ABC的各边都相切的圆的各边都相切的圆ABCMNID作法：作法：1 1、作、作ABCABC、 ACBACB的平分线的平分线BMBM和和CNCN，交点为，交点为I.I.2 2、过点、过点I I作作IDBCIDBC，垂足为，垂足为D.D.三角形内切圆的圆心叫三角形的三角形内切圆的圆心叫三角形的内心内心三角形的内心到三边的距离相等三角形的内心到三边的距离相等三角形的内心是三角形角平分线的交点三角形的内心是三角形角平分线的交点三角形的内心一定在

4、三角形的内部三角形的内心一定在三角形的内部三角形内心的性质三角形内心的性质定义：和多边形各边都相切的圆定义：和多边形各边都相切的圆叫做叫做 ，这个，这个多边形叫做多边形叫做 。 多边形的内切多边形的内切 圆圆圆的外切多边形圆的外切多边形内切内切外切外切如上图，四边形如上图，四边形DEFG是是 O的的 四边形，四边形， O是四边形是四边形DEFG的的 圆，圆，DEFG.O思考思考:我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方我们所学的平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？形，等腰梯形中，哪些四边形一定有内切圆？( (菱形，正方形一定有内切圆菱形，正方形一定有内切圆) )例

5、例2 如图，在如图，在ABC中，点中，点O是内心，是内心， （1）若）若ABC=50， ACB=70，求，求BOC的度数的度数ABCO（2 2）若）若A=80 A=80 , ,则则BOC=BOC= 度。度。（3 3）若）若BOC=100 BOC=100 ，则，则A=A= 度。度。 BOC=180 -（ABC ACB）12 = 180 60 =120 同理同理 OCB= OCA=12ACB=35 解解（1）点点O是是ABC的内心，的内心，ABC= 25 OBC= OBA=12试探讨试探讨BOC与与A之间存在怎样的数量关系？之间存在怎样的数量关系？请说明理由请说明理由ABCO名称名称确定方法确定方

6、法图形图形性质性质 ABCO 内内 心心（三角形（三角形内切圆的内切圆的圆心）圆心）三 角 形 三三 角 形 三边 中 垂 线边 中 垂 线的交点的交点三角形三条三角形三条角平分线的角平分线的交点交点(1)OA=OB=OC(2)外心不一定在外心不一定在三角形的内部三角形的内部（1）到三边的）到三边的距离相等；距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三）内心在三角形内部角形内部外外 心心( (三角形三角形外接圆的外接圆的圆心圆心) )直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆已知已知: :如图如图, ,OO是是RtRtABCABC的内切的内切圆圆,C,C是直

7、角是直角,AC=3,BC=4.,AC=3,BC=4.求求OO的半径的半径r r. . . 12543rABCOODEFw这个结论可叙述为这个结论可叙述为“直角三角形内切圆的直角三角形内切圆的直径等于两直角边的和减去斜边直径等于两直角边的和减去斜边”. .直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆已知已知: :如图如图, ,OO是是RtRtABCABC的内切圆的内切圆,C,C是直角是直角, ,三边长分别是三边长分别是a,b,c.a,b,c.求求OO的半径的半径r r. . ABCODEF.2cbar三角形的内切圆三角形的内切圆已知已知: :如图如图, ,ABCABC的面积的面积S=4cmS=4cm2

8、2, ,周长等于周长等于10cm.10cm.求内切圆求内切圆OO的半径的半径r r. .ABCOODEFw老师提示老师提示: :wABCABC的面积的面积= =AOBAOB的面积的面积 + +BOCBOC的面的面 积积+ +AOCAOC的面积的面积. .三角形的内切圆三角形的内切圆已知已知: :如图如图, ,ABCABC的面积为的面积为S,S,三三边长分别为边长分别为a,b,c.a,b,c.求内切圆求内切圆OO的半径的半径r r. .2cbaSrABCOODEF这个结论可叙述为这个结论可叙述为: :三角形的面积等于其周三角形的面积等于其周长与内切圆半径乘积的一半长与内切圆半径乘积的一半. .2

9、1cbarS三角形的内切圆三角形的内切圆已知已知: :如图如图,O,O是是RtRtABCABC的内切的内切圆圆,C,C是直角是直角,BC=5,r=2.,BC=5,r=2.求求ABCABC的周长的周长. .ABCODEF三角形的内切圆三角形的内切圆已知已知: :如图如图,O,O是是RtRtABCABC的内切的内切圆圆,C,C是直角是直角,AO,AO的延长线交的延长线交BCBC于于点点D,AC=4,CD=2.D,AC=4,CD=2.求求O O的半径的半径r r. .ABCODFE三角形的内切圆三角形的内切圆已知已知: :如图如图, ,在在ABC中中,A=60,AB=10,AC=8, OO与与ABC

10、ABC的边的边AC,ABAC,AB相切于点相切于点D,E.D,E.1.1.求求O O的面积的面积s s与与EAEA的长的长x x之间的函数关系式之间的函数关系式; ;2 2. .当当OO与与ABCABC的三边都相切时的三边都相切时, ,求求O O的面的面积积. .ABCOED如图如图, ,在在ABCABC中中,A=60,A=60,AB=10,AC=8, O,AB=10,AC=8, O与与AB,ACAB,AC相切相切, ,设设OO与与ABAB的切点为的切点为E,E,且圆的半径为且圆的半径为R,AE=x,R,AE=x,若若O O 在变化过在变化过程中程中, ,都是落在都是落在ABCABC内内,(,

11、(含相切含相切),), 则则x x的取值范围的取值范围_ _._ _.ABCOED拓展拓展ABCOEDF0 x9-21 1 1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法法 . 2 2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。内切圆、圆的外切多边形的概念。 3 3、学习、学习 时要明确时要明确“接接”和和“切切”的含义、弄清的含义、弄清“内心内心”与与“外心

12、外心”的区别，的区别， 4 4、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运、利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。（A）梯形）梯形 （B）菱形）菱形 （C）矩形）矩形 （D）平行四边形）平行四边形1、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（、下列图形中，一定有内切圆的四边形是（ ）2、如图，、如图，ABC中，中，E是内心，是内心，A的平分线和的平分线和ABC的外接圆相交于点的外接圆相交于点D.求证：求证：DEDB3、如图，菱形、如图，菱形ABCD中，周长为中，周长为40，ABC=120，则，则内切圆的半径为（内切圆的半径为（ ）（A） （B） （C） （D） 332232225325ABCDEFO4、如图，、如图， O是是ABC的内切圆，的内切圆，D、E、F是切点，是切点，A=50，C=60，则，则DOE=（ ）（A）70 （B）110 （C）120 （D）130 5、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径