电磁场与电磁波第章

1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波第一章第一章 矢量分析矢量分析矢量分析矢量分析v 标量和矢量标量和矢量 v 矢量的运算矢量的运算v 标量的方向导数、标量的方向导数、梯度梯度 v 矢量的通量、矢量的通量、散度散度、散度（高斯）定理散度（高斯）定理 v 矢量的环量、矢量的环量、旋度旋度、旋度（斯托克斯）定理旋度（斯托克斯）定理 v 无散场与无旋场无散场与无旋场v 格林定理格林定理v 矢量场惟一性定理矢量场惟一性定理v 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理标量与矢量标量与矢量v标量：只有大小而没有方向的量标量：只有大小而没有方向的量Scalar Scalar v矢量：不但有大小而且有方向特征的量矢量：不但有大小而且

2、有方向特征的量VectorVectorv单位矢量：矢量模为单位矢量：矢量模为1 1的矢量的矢量v矢量描述：有向线段、单位矢量、分量表示矢量描述：有向线段、单位矢量、分量表示v常矢量：大小和方向均与空间坐标常矢量：大小和方向均与空间坐标无关无关的矢的矢量量 单位矢量是常矢量吗？单位矢量是常矢量吗？矢量代数矢量代数v矢量的矢量的“和差和差”计算：作图法、分量法计算：作图法、分量法)()(zzyyxxzzyyxxeBeBeBeAeAeABA矢量代数矢量代数v 矢量的矢量的“乘积乘积”计算：点积、叉积计算：点积、叉积 点积点积标量积标量积(Scalar Product(Scalar Product）

3、大小、符号：大小、符号： “ “模模”： “ “正交正交”：ABBABAcosAAA0 BA矢量代数矢量代数v例题：利用矢量运算证明三角形余弦定理例题：利用矢量运算证明三角形余弦定理 矢量代数矢量代数v思路：思路：1.C长度长度矢量矢量C的的“模模”：2.矢量矢量C是矢量是矢量A和和B的矢量和：的矢量和：解：解：CCCCBACBABBAABABACC2)()(cos)cos(BABABA矢量代数矢量代数v 叉积叉积矢量积矢量积(Vector Product(Vector Product） “ “模模”： 方向：方向：“右手螺旋法则右手螺旋法则” 含义：含义：“平行四边形面积平行四边形面积”、“

4、右手法则右手法则”ABBAsinABBABAsinABe(sin)xyzABABxyzxyzeeeABeA BAAABBB标量场的等值面标量场的等值面v等值面：标量等于常数的空间曲面称为标量场的等值面：标量等于常数的空间曲面称为标量场的等值面等值面等高线等高线v记忆记忆“爬山爬山”v等值面等值面沿什么方向最沿什么方向最“陡陡”？标量场的方向导数标量场的方向导数v方向导数：方向导数：标量场在某标量场在某点点的方向导数表示标量场的方向导数表示标量场自该点沿自该点沿某一方向某一方向上的变化率。上的变化率。 例如标量场例如标量场 在在 P 点沿点沿 方向上的方向导数方向上的方向导数 定义为定义为lPl

5、 PlPllPPllP)()(lim0标量场的梯度标量场的梯度v梯度：梯度：标量场在某点梯度的大小等于该标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向，梯度的方向具有最大方向导数的方向，梯度的方向与等值面垂直，且指向标量场数值增大与等值面垂直，且指向标量场数值增大的方向。的方向。v梯度是矢量梯度是矢量梯度的表示梯度的表示v若引入哈密顿算符若引入哈密顿算符 ，则，则梯度可表示为梯度可表示为：v直角直角坐标系中：坐标系中：v柱面坐标系中：柱面坐标系中：v球面坐标系中：球面坐标系中：zeyexezyxzererezr1sin11

6、rererergrad课堂作业课堂作业v例题：例题： 已知已知 令令 求求cos),(0rVrVV梯度梯度v解法一：直接法解法一：直接法梯度公式梯度公式v解法二：分析法解法二：分析法找规律找规律 利用直角坐标系中利用直角坐标系中v例例1 14 42 2sin11rerererzVrVrVV00cos),(0VeVEz0)sincos(VeeVErzeyexezyx矢量场的通量矢量场的通量v通量：通量：矢量沿某一有向曲面的面积矢量沿某一有向曲面的面积分称为该矢量通过该有向曲面的通量，分称为该矢量通过该有向曲面的通量，以标量以标量 表示，即表示，即 当有向（当有向（外法线方向外法线方向）曲面闭合时

7、：）曲面闭合时：v通量为正，表明通量为正，表明矢量矢量穿出穿出闭合面，该闭合面中存在闭合面，该闭合面中存在产生该矢量场的产生该矢量场的源（正源）源（正源）；v通量为负，表明通量为负，表明矢量矢量进入进入闭合面，该闭合面中存在闭合面，该闭合面中存在汇聚该矢量场的汇聚该矢量场的洞（负源）洞（负源）；v通量为零，表明通量为零，表明进入闭合面的通量与穿出闭合面的进入闭合面的通量与穿出闭合面的通量通量相等相等。 例：真空中的高斯定律例：真空中的高斯定律S d SA矢量场的散度矢量场的散度v通量仅能表示闭合面中通量仅能表示闭合面中源的总量源的总量，它不能显示源，它不能显示源的的分布分布特性。特性。v散度：

8、散度：当闭合面向某点无限收缩时，矢量通过该当闭合面向某点无限收缩时，矢量通过该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场在该点的散度，即称为矢量场在该点的散度，即v散度是标量，可视为通过包围单位体积闭合面的散度是标量，可视为通过包围单位体积闭合面的通量。通量。VSVd limdiv 0SAA散度定理散度定理v散度定理（高斯定理）散度定理（高斯定理）v数学数学角度：角度： 建立了面积分和体积分的关系建立了面积分和体积分的关系v物理物理角度：角度： 建立了区域中的场和包围区域的闭合面建立了区域中的场和包围区域的闭合面上的场之间的关系上的场之间的关

9、系SVVd d div SAA)d d ( SVVSAA散度的表示散度的表示v引入哈密顿算符引入哈密顿算符 ，则，则散度可表示为散度可表示为：v直角直角坐标系中：坐标系中：v圆柱坐标系中：圆柱坐标系中：v圆球坐标系中：圆球坐标系中：v例例152ArArArrrArsin1)sin(sin1)(122AAdiv矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度v环量：环量：矢量场沿一条闭合有向曲线的线积分称为矢矢量场沿一条闭合有向曲线的线积分称为矢量场沿该曲线的环量，以量场沿该曲线的环量，以 表示，即表示，即v环量为正，表明环量为正，表明矢量矢量 的方向与的方向与 同向同向；v环量为负，表明环量为负，表明矢量

10、矢量 的方向与的方向与 反向反向；v环量为零，表明闭合曲线包围的环量为零，表明闭合曲线包围的总的源强度总的源强度为零。为零。v环量可用来描述矢量场的环量可用来描述矢量场的旋涡旋涡特性。特性。 例：真空中的安培环路定律例：真空中的安培环路定律l l dAneSlAAll矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度v环量代表的是闭合曲线包围的环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度总的源强度，它不能显示源的它不能显示源的分布分布特性。特性。v环量强度环量强度v旋度：旋度的方向是使矢量具有最大环量强旋度：旋度的方向是使矢量具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大

11、环量强度环量强度，即，即v旋度是矢量，旋度是矢量，其大小可视为包围单位面积的其大小可视为包围单位面积的闭合曲线的最大环量。闭合曲线的最大环量。SlSd limcmax 0nlAAurleSlSd lim 0lA旋度定理旋度定理v旋度定理（斯托克斯定理）旋度定理（斯托克斯定理）v数学数学角度：角度： 建立了面积分和线积分的关系建立了面积分和线积分的关系v物理物理角度：角度： 建立了区域中的场和包围区域的闭合曲建立了区域中的场和包围区域的闭合曲线上的场之间的关系线上的场之间的关系lSSc d durl lAA)d d)( lSlASA旋度的表示旋度的表示v引入哈密顿算符引入哈密顿算符 ，则，则旋度

12、可表示为旋度可表示为：v直角直角坐标系中：（行列式表示）坐标系中：（行列式表示）v圆柱坐标系中：圆柱坐标系中：v圆球坐标系中：圆球坐标系中：)()()(yAxAexAzAezAyAeAxyzzxyyzx)1)(1()()1(rzzrzrArrrArerAzAezAAreA)()(sin1)sin(sinrrrArrArerrAAreAAreAAAurlc梯度、散度、旋度的点特性梯度、散度、旋度的点特性v无论梯度、散度或旋度都是无论梯度、散度或旋度都是微分微分运算，它们运算，它们表示场在某表示场在某点点附近的变化特性，场中各点的附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，梯度、梯度

13、、散度或旋度可能不同。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的散度及旋度描述的是场的点特性点特性或称为或称为微分微分特性特性。v函数的连续性是可微的必要条件，因此在场函数的连续性是可微的必要条件，因此在场量发生量发生不连续处不连续处，也就，也就不存在不存在前面定义的梯前面定义的梯度、散度或旋度。度、散度或旋度。 小结小结v梯度：矢量、大小、方向、物理意义梯度：矢量、大小、方向、物理意义v散度：标量、大小、物理意义散度：标量、大小、物理意义 发散源发散源v旋度：矢量、大小、方向、物理意义旋度：矢量、大小、方向、物理意义 旋涡源旋涡源无散场与无旋场无散场与无旋场v一切矢量场的源只有两种类型（惟一性定理证

14、明一切矢量场的源只有两种类型（惟一性定理证明之）：之）： 产生发散场的产生发散场的散度源散度源 产生漩涡场的产生漩涡场的旋度源旋度源v散度处处为零的矢量场称为散度处处为零的矢量场称为无散场无散场（旋度场旋度场）v旋度处处为零的矢量场称为旋度处处为零的矢量场称为无旋场无旋场（散度场散度场/ /梯度梯度场场）v在全空间中，散度及旋度均处处为零的场是不存在全空间中，散度及旋度均处处为零的场是不存在的。在的。0)(A0)(格林定理格林定理v前提：任意两个标量场前提：任意两个标量场 及及 或矢量场或矢量场 及及 ，在区域在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，则有如下格中具有连续的二阶偏导数，则有如下格林定

15、理成立：林定理成立：v第一标量格林定理第一标量格林定理v第二标量格林定理第二标量格林定理v第一矢量格林定理第一矢量格林定理v第二矢量格林定理第二矢量格林定理SdPQQPdVQPSVPQSdQPdVQPSVPQSddVSV22SddVSV2PQ格林定理格林定理意义：意义：v建立了区域中的场与边界上的场之间的关系建立了区域中的场与边界上的场之间的关系 区域中场的求解问题与边界上场的求解问题可以相区域中场的求解问题与边界上场的求解问题可以相互转化；互转化；v给出了两种标量场或矢量场之间应满足的关系给出了两种标量场或矢量场之间应满足的关系 已知其中一种场可求解另一种场。已知其中一种场可求解另一种场。矢

16、量场的惟一性定理矢量场的惟一性定理v位于某一区域中的矢量场，当其位于某一区域中的矢量场，当其散度散度、旋度旋度以及以及边界边界上场量的上场量的切向分量切向分量或或法向分量法向分量给定后，则该给定后，则该区域中的矢量场被区域中的矢量场被惟一惟一地确定。地确定。v已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其性定理表明，矢量场被其源源及及边界值边界值共同决定的共同决定的。v推论：推论： 无限大自由空间中的矢量场被其散度和旋度惟一无限大自由空间中的矢量场被其散度和旋度惟一 确定；确定； 局部无源空间中的矢量场被边界值惟一确定。局部无源空间中

17、的矢量场被边界值惟一确定。亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理v若矢量场若矢量场 在在无限区域无限区域中处处是单值的，中处处是单值的，且其导数连续有限，源分布在有限区域且其导数连续有限，源分布在有限区域 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场量场 可以表示为可以表示为 式中式中 rArrF rF rFV 41dVrrrFrV 41dVrrrFrAV亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理v对于对于有限空间有限空间中的矢量场，中的矢量场，仍可表示为仍可表示为 式中式中 rArrF SdrrrFdVrrrFrSV)(4141 SdrrrFdVrrrFrASV)(4141亥姆霍兹定理亥

18、姆霍兹定理定理的本质：定理的本质：v给出了场与源之间的定量关系。给出了场与源之间的定量关系。v表明无限空间的矢量场被其散度（散度源）以表明无限空间的矢量场被其散度（散度源）以及旋度（旋度源）惟一确定。及旋度（旋度源）惟一确定。v有限空间中的矢量场被其散度、旋度及其边界有限空间中的矢量场被其散度、旋度及其边界条件惟一确定。条件惟一确定。v表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。无散场之和。本章小结本章小结v本章提供了描述本章提供了描述矢量场矢量场的主要的主要数学工具数学工具：矢量代数、：矢量代数、标量场的梯度、矢量场的散度和旋度等；标量场的梯度、矢量场的散度和旋度等；v本章介绍了矢量场惟一性定理和阐明矢量场重要特本章介绍了矢量场惟一性定理和阐明矢量场重要特性的亥姆霍兹定理，该定理不仅给出矢量场的性的亥姆霍兹定理，该定理