直线方程的几种形式(5种)

1、)(:11xxkyy点斜式bkxy:斜截式yolx121121:xxxxyyyy两点式1: byax截截距距式式0:CByAx一般式1.在平面内，你知道有哪些方法，能确定一在平面内，你知道有哪些方法，能确定一条直线的位置。条直线的位置。温故知新温故知新2.先画出先画出y=-2x直线，再画经过点直线，再画经过点A(-1,3)，斜率为斜率为-2的直线。的直线。Oxy.A(-1,3)B(0,1)分析：先找出特殊的分析：先找出特殊的一点一点B(0,y),根据两点根据两点的斜率公式可求出的斜率公式可求出B(O,1)问题二：问题二： 若直线若直线l过点过点A(-1,3)，斜率为，斜率为-2，点，点P(x,

2、y)在直线在直线l上运动，那么点上运动，那么点P的横坐标的横坐标x和纵坐和纵坐标标y之间满足什么关系？之间满足什么关系？分析：点分析：点P与定点与定点A(-1,3)所确定的直所确定的直线的斜率恒等于线的斜率恒等于-2，故有：故有：2) 1(3xy)1( 23xy即即 2 1yx Oxy.A(-1,3)P(x,y)探究新知探究新知21yx21yx 问问1.直线直线l上的点的坐标是否都满足方上的点的坐标是否都满足方程程 ？2.以此方程以此方程 的解为坐标的点是的解为坐标的点是 否在直线否在直线l上上 ？结论：如果一条直线结论：如果一条直线l上的任一点坐标上的任一点坐标（x,yx,y）都满足一个方程

3、，该方程的每）都满足一个方程，该方程的每个实数对（个实数对（x,yx,y）所确定的点都在直线）所确定的点都在直线l上，称这个方程为直线上，称这个方程为直线l的方程的方程 由此，我们得到经过点由此，我们得到经过点A(-1,3)A(-1,3)，斜率为斜率为-2-2的直线方程是的直线方程是21yx 问题三：直线问题三：直线l经过点经过点P1(x1,y1)，斜率为，斜率为k，点，点P在直线在直线l上运动，那么点上运动，那么点P的坐标的坐标(x,y)满足什么满足什么条件？条件？当点当点P(x,y)在直线在直线l上运动上运动时时,PP1的斜率恒等于的斜率恒等于k，即即 ，kxxyy11故故 .)(11xx

4、kyyoxy.P(x,y)P1(x1,y1)由此，这个方程由此，这个方程 就是过点就是过点P1 （x1,y1)，斜率为，斜率为k的直线的直线l的方程。的方程。)(11xxkyy可以验证：直线可以验证：直线l上的每个点（包括点上的每个点（包括点P1 ）的坐标）的坐标 都是这个方程的解；都是这个方程的解； 反过来，以这个方程的解为坐标的点反过来，以这个方程的解为坐标的点 都在直线都在直线l上。上。方程方程)(11xxkyy叫做直线方程的叫做直线方程的点斜式方程点斜式方程。答答 当直线的斜率不存在时，当直线的斜率不存在时，直线的方程是直线的方程是 x= x1 .oy.P1(x1,y1).P(x,y)

5、1)1)过过P1 （x1,y1)所有所有直线是否都能用直线是否都能用点点斜式方程表示斜式方程表示? ? 问2)那这个时候直线的方程是什么那这个时候直线的方程是什么？例例1：已知一直线经过点已知一直线经过点P(-2,3)，斜率为，斜率为2，求这条，求这条直线的点斜式方程。直线的点斜式方程。解：由直线的点斜式方程，得解：由直线的点斜式方程，得) 2( 23xy1.已知一直线经过点已知一直线经过点P(-1,2)，斜率为，斜率为0，求这条直线的方程。求这条直线的方程。练习1：特殊情况特殊情况:, 00)1(0 k时时斜斜率率当当直直线线的的倾倾斜斜角角为为)(1如图如图的方程为的方程为直线直线yyl

6、xyOl1P,90)2(0不不存存在在时时斜斜率率当当直直线线的的倾倾斜斜角角为为k)(1如图如图的方程为的方程为直线直线xxl xyOl1P例例1, 1),1 ,2(:)1(:1 kl过过点点直直线线求求下下列列直直线线的的方方程程解解:,1),1 ,2()1(1 kl 过过点点直直线线代入点斜式代入点斜式,得得).3, 3()1 , 2(:)2(2 和和点点过过点点直直线线l),2( 11xy03:1 yxl 的的方方程程为为整整理理得得,54)2(313)2(2 kl 的的斜斜率率直直线线由由点点斜斜式式方方程程得得又又因因为为过过点点),1 , 2( ),2(541 xy的的方方程程整

7、整理理得得2l0354 yx练习练习.)1,3(,4113的直线方程的直线方程且过点且过点的倾斜角的的倾斜角的求倾斜角是直线求倾斜角是直线 xy解解:,313 kxy的斜率的斜率直线直线,1200 倾斜角倾斜角,301204100 角角依题意所求直线的倾斜依题意所求直线的倾斜3330tan01 k斜率斜率)1,3( 又所求直线过点又所求直线过点所求直线方程为所求直线方程为0633 yx)3(331 xy.), 0(,求求直直线线的的方方程程轴轴的的交交点点是是与与的的斜斜率率为为已已知知直直线线bykl解解: 由直线的点斜式由直线的点斜式,得得)0( xkbybkxy 即即方程叫做直线方程的斜

8、截式方程.bkxy.轴轴上上的的截截距距在在叫叫做做直直线线ylbyolxb斜斜-斜率斜率截截-y轴上的截距轴上的截距直直线线的的斜斜截截式式方方程程二二.例例2解解:),1 , 0()1( 因因为为直直线线过过点点.21),1 , 0(的的直直线线的的方方程程斜斜率率为为求求过过点点 , 1轴轴上上的的截截距距为为所所以以直直线线在在 y,21 k又又因因为为直直线线的的斜斜率率由由直直线线的的斜斜截截式式方方程程得得, 121 xy022 yx即即为所求为所求练习练习.by轴轴上上的的截截距距在在和直线求斜率直线方程kyx0623. 1解解:0623 yx由由323 xy. 3,23 bk

9、,0623. 2的截距相同的截距相同求与直线求与直线 yx.3的直线方程式的直线方程式斜率为斜率为 解解:,3, 3 kb依题意依题意33 xy所求直线方程为所求直线方程为.,21求求直直线线的的方方程程且且xx ),(),(222111yxPyxPl经经过过两两点点已已知知直直线线三三.直线的两点式直线的两点式解解:).(,211212xxxxyyk 依依题题意意代入点斜式代入点斜式,得得)(112121xxxxyyyy 可可以以得得时时当当,12yy 121121xxxxyyyy 叫叫做做直直线线的的两两点点式式方方程程121121xxxxyyyy 练习练习)3, 0(),1 , 2(21

10、 PP已知直线经过两点已知直线经过两点则直线的方程为则直线的方程为202131 xy032 yx即即四四.直线的截距式方程直线的截距式方程轴的交点为轴的交点为与与轴的交点为轴的交点为与与已知直线已知直线yaxl),0 ,(., 0, 0), 0(的方程的方程求直线求直线其中其中lbab 解解:得得代代入入两两点点式式方方程程把把点点,), 0(),0 ,(baaaxby 0001 byax称称直直线线方方程程式式的的截截距距式式1 byax轴轴上上的的截截距距xa 轴轴上上的的截截距距yb 例例3)2 , 0(),3, 3(),0 , 5(CBA三角形的顶点是.的直线方程的直线方程求这个三角形

11、三边所在求这个三角形三边所在)5(3)5(030 xy01583 yx0635 yx解解:得代入两点式把,BA得代入两点式把,CB303323xy例例3)2 , 0(),3, 3(),0 , 5(CBA 三角形的顶点是三角形的顶点是.的直线方程的直线方程求这个三角形三边所在求这个三角形三边所在解解:得得代入两点式代入两点式把把,CA)5(0)5(020 xy01052 yx另解另解:轴轴在在两两点点的的坐坐标标得得直直线线由由yxACCA,. 2, 5 ba上上的的截截距距为为由截距式得由截距式得125yx01052 yx五五.直线方程的一般式直线方程的一般式 都都有有一一对对于于任任何何一一

12、条条直直线线在在平平面面直直角角坐坐标标系系中中,., 的的二二元元一一次次方方程程个个表表示示这这条条直直线线的的关关于于yx证明证明:形式为形式为的二元一次方程的一般的二元一次方程的一般关于关于yx,)0,(0不同时为BACByAx.的直线方程的直线方程轴上的斜距为轴上的斜距为在在BCy ,0)1(BABCxBAyB 这是斜率为这是斜率为有有时时当当., 0, 0,0)2(ACxABAB 故故不同时为不同时为因因时时当当.轴平行或重合的直线轴平行或重合的直线它表示一条与它表示一条与y.,线线一次方程都表示一条直一次方程都表示一条直的二元的二元任何关于任何关于在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中yx叫做直线方程的一般式叫做直线方程的一般式(A,B不同时为不同时为0) 0CByAx.式式方方程程求求直直线线的的点点斜斜式式和和一一般般,34),4, 6(. 4 斜斜率率为为已已知知直直线线经经过过点点例例A解解:)6(344: xy点点斜斜式式方方程程式式为为01234: yx化化成成一一般般式式得得.,0632轴轴上上的的截截距距求求出出它它的的斜斜率率和和它它在在式式截截距距化化成成斜斜截截式式把把直直线线方方程程yxy