第十五讲-椭球基本知识

1、控制测量计算理论控制测量计算理论 地球椭球的基本几何参数及相互关系地球椭球的基本几何参数及相互关系 椭球面上的常用坐标系及其相互关系椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径椭球面上的几种曲率半径 将地面观测的方向值归算到椭球将地面观测的方向值归算到椭球 将地面观测的长度归算到椭球面将地面观测的长度归算到椭球面本讲主要内容：本讲主要内容：控制测量计算理论控制测量计算理论一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 大地坐标系大地坐标系 空间直角坐标系空间直角坐标系（大地测量中两种基本坐标系）（大地测量中两种基本坐标系） 子午平面直角坐标系子午平面直角坐标系 大地极坐标系大地极坐标系

2、控制测量计算理论控制测量计算理论1 1、大地坐标系、大地坐标系 P 点的法线点的法线 与赤道面的夹角与赤道面的夹角B，叫做叫做P点的大地纬度。由赤道面起点的大地纬度。由赤道面起算，向北为北纬（算，向北为北纬（090）；向）；向南为南纬南为南纬(090)。 P点在椭球面上的位置用点在椭球面上的位置用L、B表示表示 。Pn一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 p 点的子午面点的子午面NPS 与起始子午面与起始子午面 NGS 所构成的二面角所构成的二面角L，叫做叫做p 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为东经点的大地经度，由起始子午面起算，向东为东经（0180），向西西经（），向西西经（018

3、0）。）。控制测量计算理论控制测量计算理论1 1、大地坐标系、大地坐标系 大地坐标系是用大地经度大地坐标系是用大地经度L、大地纬度、大地纬度B 和大地高和大地高H表示地面点位。表示地面点位。 在大地坐标坐标系中如果点不在椭球面上，点的位置在大地坐标坐标系中如果点不在椭球面上，点的位置用用 来表示。来表示。 从地面点从地面点P沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。它沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。它同正常高及正高有如下关系：同正常高及正高有如下关系：)()(大地水准面差距高程异常正正常NHHHH),(HBL一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 控制测量计算理论控制测量计算理论2 2、空间直角坐

4、标系、空间直角坐标系 空间直角坐标系的坐标原点位于地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），心坐标系），Z 轴指向地球北极，轴指向地球北极，x 轴指轴指向起始子午面与地球赤道的交点，向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂轴垂直于直于XOZ 面并构成右手坐标系。面并构成右手坐标系。一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 以椭球中心以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，轴，在赤道面上与在赤道面上与X轴正交的方向为轴正交的方向为Y轴，椭球体的旋转轴为轴，椭球体的旋转轴为Z轴，构

5、成右手坐标系轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，在该坐标系中，P点的位置点的位置用用X、Y、Z表示表示 。控制测量计算理论控制测量计算理论3 3、子午面直角坐标系、子午面直角坐标系 设设P点的大地经度为点的大地经度为L，在过，在过P点的子午面上，以子午圈椭圆中心点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立为原点，建立x，y平面直角坐标系。平面直角坐标系。在该坐标系中，在该坐标系中，P点的位置用点的位置用L，x，y表示。表示。 一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 控制测量计算理论控制测量计算理论4、大地极坐标系、大地极坐标系 M M为椭球体面上任意一点，为椭球体面上任意一点，MNMN

6、为过为过M M点点的子午线，的子午线，S S为连结为连结MPMP的大地线长，的大地线长，A A为大为大地线在地线在M M点的大地方位角。以点的大地方位角。以M M为极点、为极点、MNMN为极轴、为极轴、S S为极径、为极径、A A为极角，就构成了大为极角，就构成了大地极坐标系。地极坐标系。P P点位置用点位置用S S、A A表示。表示。 椭球面上点的极坐标（椭球面上点的极坐标（S,AS,A）与大地坐）与大地坐标标(L,B(L,B）可以互相换算，这种换算叫做大）可以互相换算，这种换算叫做大地主题解算。地主题解算。一、常用的四种坐标系一、常用的四种坐标系 控制测量计算理论控制测量计算理论二、坐标系

7、间的转换关系二、坐标系间的转换关系 椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐椭球面上的点位可在各种坐标系中表示，由于所用坐标系不同，表现出来的坐标值也不同。标系不同，表现出来的坐标值也不同。1 1）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系）子午面直角坐标系同大地坐标系的关系 过过p 点作法线点作法线 ，它与，它与x 轴之夹角为轴之夹角为B，过，过p点作子午圈点作子午圈的切线的切线TP，它与，它与x 轴的夹角为（轴的夹角为（90+B）。子午面直角坐标）。子午面直角坐标x,y 同大地纬度同大地纬度B 的关系式如下：的关系式如下： nPWBaBeBaxcossin1cos22VBbBeWaBeBea

8、ysinsin)1 (sin1sin)1 (2222控制测量计算理论控制测量计算理论2 2）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系）空间直角坐标系同子午面直角坐标系的关系 空间直角坐标系中空间直角坐标系中 的相当于子午平面直角坐的相当于子午平面直角坐标系中的标系中的y，前者的，前者的 相当于后者的相当于后者的x，并且二者，并且二者的经度的经度L相同。相同。 PP22OPyZLxYLxXsincos二、坐标系间的转换关系二、坐标系间的转换关系 控制测量计算理论控制测量计算理论3 3）空间直角坐标系同大地坐标系的关系）空间直角坐标系同大地坐标系的关系 同一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大同

9、一地面点在地球空间直角坐标系中的坐标和在大地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换地坐标系中的坐标可用如下两组公式转换 BHeNzLBHNyLBHNxsin1sincoscoscos221sin22sin2arctanarctaneNBzHyxBNezBxyL式中：式中：e e子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按子午椭圆第一偏心率，可由长短半径按式式 算得。算得。2222abae/N N法线长度，可由式法线长度，可由式 算得。算得。BeaN221sin/二、坐标系间的转换关系二、坐标系间的转换关系 控制测量计算理论控制测量计算理论三、地球椭球及其定位三、地球椭球及其定位1、椭球的几何参数及其关系、椭

10、球的几何参数及其关系 椭圆的长半轴：椭圆的长半轴： a椭圆的短半轴：椭圆的短半轴： b椭圆的扁率：椭圆的扁率： abaf椭圆的第一偏心率：椭圆的第一偏心率： abae22椭圆的第二偏心率：椭圆的第二偏心率： bbae22 五个基本几何参数五个基本几何参数 控制测量计算理论控制测量计算理论克拉索夫斯基椭球1975国际椭球WGS-84系椭球a637824563781406378137b6356863.01877304736356755.28815752876356752.3142c6399698.90178271106399596.65198801056399593.6258 f1/298.31/

11、298.2571/298.257223563e20.0066934216229660.0066943849995880.0066943799013e20.0067385254146830.0067395018194730.00673949674227 我国所采用的的我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而国际椭球参数；而GPS应用的是应用的是WGS-84系椭球参数。系椭球参数。 三、地球椭球及其定位三、地球椭球及其定位几种地球椭球参数

12、几种地球椭球参数控制测量计算理论控制测量计算理论2222abaeeabb22221222eba1222eab并得：并得：()()11122ee推得：推得： eee22212221 eee同理可得：同理可得：abebae1122 221 1ecaeaceeeeee1122 221 1eVWeWVfffe22221、椭球的几何参数及其关系、椭球的几何参数及其关系三、地球椭球及其定位三、地球椭球及其定位控制测量计算理论控制测量计算理论 以上图中的半圆为基础作一单位半径的半圆球，图中OZ1为过O点的铅垂线，Z1为天文天顶，ZOZ1 ，此即O点处的垂线偏差。三、垂线偏差和它的基本公式 垂线偏差：地面上一

13、点的铅垂线方向和相应的椭球面法垂线偏差：地面上一点的铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角，称为该点的垂线偏差。线方向之间的夹角，称为该点的垂线偏差。cos)(LBsecLB垂线偏差基本公式垂线偏差基本公式控制测量计算理论控制测量计算理论 在测站在测站O观测观测M时以铅垂线时以铅垂线OZ1为基准，测得天顶距为基准，测得天顶距为为Z1，视准面，视准面OZ1M与水平面交于与水平面交于R1。三、垂线偏差和它的基本公式 当不存在垂线偏差观测当不存在垂线偏差观测M时，时，视准面视准面OZM与水平面交于与水平面交于R。故。故（R1R）即为垂线偏差对方向）即为垂线偏差对方向观测值的影响。观测值的影响。控

14、制测量计算理论控制测量计算理论四、椭球的定位 椭球定位：将具有一定参数的椭球与大地体的相关位置椭球定位：将具有一定参数的椭球与大地体的相关位置确定下来，从而确定出测量计算基准面的具体位置和大地测确定下来，从而确定出测量计算基准面的具体位置和大地测量起算的具体数据。量起算的具体数据。 一般通过大地原点的天文观测来实现。若测得大地原点一般通过大地原点的天文观测来实现。若测得大地原点的天文经度的天文经度 、天文纬度、天文纬度 和某一方向的天文方位角和某一方向的天文方位角 , ,以及大地原点的正常高以及大地原点的正常高 。00常0H00000000000000tansec常HHaALB椭球定位主要是确

15、定以上这些定椭球定位主要是确定以上这些定位参数，若定位参数确定，大地位参数，若定位参数确定，大地测量的起算数据也就确定下来了。测量的起算数据也就确定下来了。0控制测量计算理论控制测量计算理论一般在大地测量初期取00,0000常00000000HHaALB四、椭球的定位于是于是 在大地原点处，铅垂线与椭球面法线重合，大地水准面与在大地原点处，铅垂线与椭球面法线重合，大地水准面与椭球面相切，天文子午面和大地子午面重合，且两个起始子午椭球面相切，天文子午面和大地子午面重合，且两个起始子午面平行。面平行。 这样椭球位置便完全被固定下来，达到定位目的。（一点这样椭球位置便完全被固定下来，达到定位目的。（

16、一点定位）一点定位难以保证椭球面与大地水准面最佳吻合。当天定位）一点定位难以保证椭球面与大地水准面最佳吻合。当天文大地测量完成后，按文大地测量完成后，按 经弧度测经弧度测量计算求出原点的量计算求出原点的 再按上式确定出大地测量的起算再按上式确定出大地测量的起算数据。数据。 （多点定位）（多点定位） 多点定位在在布设的天文大地网整个区域内，椭球面与大多点定位在在布设的天文大地网整个区域内，椭球面与大地水准面最佳吻合。地水准面最佳吻合。niiinii12212min)(min或000,控制测量计算理论控制测量计算理论五、椭球面上法截线曲率半径法截面：包含曲面上一点法线的平面叫法截面。法截线：法截面

17、与曲面的截线叫法截线。1、卯酉圈曲率半径卯酉圈：与椭球面上一点的子午圈相垂直的法截线，称为该点的卯酉圈。梅尼埃定理：若通过曲面上一点引两条截线，一条为法截线，一条为斜截线，且在该点上这两条截线有同一公共切线，则斜截线的曲率半径等于法截线曲率半径乘以两截线平面间夹角的余弦。控制测量计算理论控制测量计算理论 P P点处平行圈平面与卯酉圈平面间的夹角点处平行圈平面与卯酉圈平面间的夹角P P点的大地纬度点的大地纬度B B，根据梅尼埃定理，过，根据梅尼埃定理，过P P点的平行圈半径点的平行圈半径r r与卯酉圈半径与卯酉圈半径N N的的关系为关系为 由图可知，由图可知， 上式表明，卯酉圈的曲率半径上式表明

18、，卯酉圈的曲率半径等于法截线介于椭球面和短轴等于法截线介于椭球面和短轴之间的长度。之间的长度。 卯酉圈曲率半径可用下列卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：两式表示： 1、卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径BNrcosBPnrcos五、椭球面上法截线曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径WaN VcN 控制测量计算理论控制测量计算理论BN说明B=00N0=a卯酉圈变为赤道00B900aNcN随B的增大而增大B=900N90=c卯酉圈变为子午圈，N=c1 1、卯酉圈曲率半径、卯酉圈曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径控制测量计算理论控制测量计算理论2、子午圈曲率半径五、椭球面上法截线曲率

19、半径五、椭球面上法截线曲率半径 子午椭圆的一部分上取一微子午椭圆的一部分上取一微分弧长分弧长 ，相应地有坐标增量，相应地有坐标增量 ，点，点n是微分弧是微分弧 的曲率中心，的曲率中心，于是线段于是线段 及及 便是子午圈曲率便是子午圈曲率半径半径 M。dsDKdxdSDnKn任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：任意平面曲线的曲率半径的定义公式为：dBdSM 子午圈曲率半径公式为：子午圈曲率半径公式为：32)1 (WeaM或或 3VcM 2VNM 控制测量计算理论控制测量计算理论B BM M说说 明明B=0B=0（在赤道处）（在赤道处）0 0B B9090B=90B=90（在极点处（在极点处）M小

20、于赤道aM随B的增大而增大M等于极点曲率半径MaeceaeMcMaec022329021111()( )()五、椭球面上法截线曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径2 2、子午圈曲率半径、子午圈曲率半径控制测量计算理论控制测量计算理论3 3、任意法截弧的曲率半径、任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为子午法截弧是南北方向，其方位角为0 0或或180180。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为。卯酉法截弧是东西方向，其方位角为9090或或270270。对于方位角为。对于方位角为的任意法截弧的的任意法截弧的曲率半径的计算公式。曲率半径的计算公式。 任意方向任意方向的法截弧的曲率半径的计算公式

21、的法截弧的曲率半径的计算公式如下：如下： ARABeNANRA22222coscos1cos14 4、平均曲率半径、平均曲率半径 在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把在实际际工程应用中，根据测量工作的精度要求，在一定范围内，把椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向椭球面当成具有适当半径的球面。取过地面某点的所有方向 的平均值的平均值来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径来作为这个球体的半径是合适的。这个球面的半径平均曲率半径平均曲率半径R R： MNR )1 (2222eWaVNVcWbR或或因此，因此，等于该点子午圈曲率半径等于该点子午圈曲率半径和

22、卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径的几何的几何平均值。椭球面上任意一点的平均曲率半径平均值。椭球面上任意一点的平均曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径五、椭球面上法截线曲率半径AR控制测量计算理论控制测量计算理论六、地面观测值归算至椭球面 1、相对法截线、相对法截线 因测站点的铅垂线一般不与法线重合，不同测站点的法线因测站点的铅垂线一般不与法线重合，不同测站点的法线也不相交，这样也不相交，这样2个对向测站之间边出现了个对向测站之间边出现了2条法截线。条法截线。椭球面法线在椭球短轴上的投影椭球面法线在椭球短轴上的投影为为NsinB，在赤道以上短半轴上的投影为，在赤道以上短半轴上的投影为 。则椭球中心。

23、则椭球中心到法线与短轴的交点之间的到法线与短轴的交点之间的距离为距离为BeNsin)1 (2BNeBeNBNOnsinsin)1(sin22即：即：纬度不同，椭球中心到法线与短轴的交点之间的距纬度不同，椭球中心到法线与短轴的交点之间的距离也不相同。离也不相同。控制测量计算理论控制测量计算理论1 1、相对法截线、相对法截线A A、B B两点既不位于同一平行圈，两点既不位于同一平行圈，也不在同一子午圈上，它们的法也不在同一子午圈上，它们的法线线AKaAKa、BKbBKb并不相交，所以包含并不相交，所以包含这两条法线的法截面这两条法线的法截面ABKaABKa和和ABKbABKb并不重合，二者与椭球面

24、的交线并不重合，二者与椭球面的交线分别为分别为AaBAaB和和BbABbA，它们也不重合，它们也不重合，这样椭球面两点之间出现了两条这样椭球面两点之间出现了两条法截线。称之为两点间相对法截线法截线。称之为两点间相对法截线定义：椭球面上定义：椭球面上A A、B B两点对向三角观测两点对向三角观测将形成两条相对法截线将形成两条相对法截线AaBAaB和和BbABbA它们通它们通常不重合，称为相对法截线。常不重合，称为相对法截线。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算理论1、相对法截线、相对法截线正法截线：包含正法截线：包含A点的法线与照准点点的法线与照准点B

25、的法截面与椭球面的的法截面与椭球面的交线称为交线称为A点的正法截线。点的正法截线。反法截线：包含照准点反法截线：包含照准点B的法线与的法线与A点的法截面与椭球面的点的法截面与椭球面的交线称为交线称为A点的反法截线。点的反法截线。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面影响：相对法截线造成了几何图形的影响：相对法截线造成了几何图形的破裂。如右图所示，设椭球面上有破裂。如右图所示，设椭球面上有A A，B B，C C三点，显然，三点，显然， A A，B B，C C的正法截的正法截线并不能构成一个三角形。大地线位线并不能构成一个三角形。大地线位于相对法截线之间。于相对法截线之间。控制测量计

26、算理论控制测量计算理论2、大地线（测地线）的定义 曲线AB上任一点P的密切平面（无限接近的三个点构无限接近的三个点构成的平面）成的平面）都包含曲线在该点的法线，该曲线即为曲面上的一条大地线。 大地线是曲面上一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。一般情况下，曲面上的曲线并不是大地线。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面大地线的性质大地线的性质大地线是曲面上两点的最短线大地线是曲面上两点的最短线 大地线是无数法截线弧素的连线大地线是无数法截线弧素的连线控制测量计算理论控制测量计算理论3、地面观测方向归算至椭球面归算的基本要求地面观测方向归算至椭球面上有3个基本

27、内容：1) 将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线方向为准的观测方向；2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向；3) 将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。 将水平观测方向归算到椭球面，通常需要进行垂线偏差改正、将水平观测方向归算到椭球面，通常需要进行垂线偏差改正、标高差改正和截面差改正，简称标高差改正和截面差改正，简称三差改正三差改正。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算理论 垂线偏差改正垂线偏差改正（1 1） 地面上以铅垂线为准观测的水平方向值，归算为以椭地面上以铅垂线为准观测的水平方向值，归算为以椭球

28、面法线为准的水平方向值时，顾及测站点垂线偏差的影响球面法线为准的水平方向值时，顾及测站点垂线偏差的影响所加的改正。所加的改正。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面 如下图所示，以测站如下图所示，以测站为中心作出单位半径的辅助为中心作出单位半径的辅助球，球， 是垂线偏差，它在子是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别午圈和卯酉圈上的分量分别以以、表示，表示，M M是地面观是地面观测目标测目标m m在球面上的投影。在球面上的投影。 z z1 1u控制测量计算理论控制测量计算理论111tancossin cotcossinAAzAA垂线偏差改正公式：垂线偏差改正公式：式中：式中：

29、为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得； 为测站点至为测站点至照准点的大地方位角；照准点的大地方位角； 为照准点的天顶距；为照准点的天顶距； 为照准点为照准点的垂直角。的垂直角。六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面,A11Z 垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差、观测方垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差、观测方向的方位角和天顶距（或垂直角）有关。向的方位角和天顶距（或垂直角）有关。控制测量计算理论控制测量计算理论 标高差改正标高差改正定义

30、：地面水平方向观测值，沿法线方向归定义：地面水平方向观测值，沿法线方向归算至参考椭球面上时，顾及照准点标高，所算至参考椭球面上时，顾及照准点标高，所加的改正称为标高差改正，以加的改正称为标高差改正，以2 2表示表示原因：由于原因：由于A A、B B两点的法线不在同两点的法线不在同一平面所产生的。一平面所产生的。 计算公式：计算公式： 122221222sincos2ABHMe H2： 照准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；B2 ：照准点大地纬度：照准点大地纬度M1：测站点子午圈曲率半径：测站点子午圈曲率半径 ；A12：测站点至照准点的大地方位角。：测站点至照准点的大地方位角。六、地面

31、观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算理论截面差改正截面差改正(3 3) )定定义：义：法截线方向化为大地线方向所法截线方向化为大地线方向所加的改正，称为截面差改正，以加的改正，称为截面差改正，以3 3表表示。示。原因：由于相对法截线不重合而采用原因：由于相对法截线不重合而采用大地线代替产生的。大地线代替产生的。计算公式：计算公式： 1222232sin2cos12ABsNemm3 3为为0 0的情况：的情况：A1=0A1=0，9090 ，180180 ，270270照准点与测站点在同一子午圈或接照准点与测站点在同一子午圈或接近于同一平行圈近于同一平行圈六、地面观测值归算至椭球面六、地面观测值归算至椭球面控制测量计算理论控制测量计算理论4 4、三差改正计算、三差改正计算 现行作业规定，各等三角测量归算时，一等算至现行作业规定，各等三角测量归算时，一等算至0.0010.001，二等算至二等算至0.010.01，三四等算至，三四等算至0.10.1。 项目项目原因原因主要关系量主要关系量