微积分课后题答案 高等教育出版社1

1、习 题 一（A） 1解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）x-4<7；（3）（5）（2）1£x-2<3； x-a<e(e>0)； （4）（6）ax-x0<d(a,d>0)； x2-x-6>0； x2+x-2£0解：.j即(-3,11). 1)由题意去掉绝对值符号可得：-7<x-4<7，可解得-3<x<112）由题意去掉绝对值符号可得-3<x-2£-1或1£x-2<3，可解得 -1<x£1,3£x<5.即(-1，1)È3,53）由

2、题意去掉绝对值符号可得-e<x-<e,解得a-e<x<a+e.即(a-e , a+e)；4）由题意去掉绝对值符号可得-d<ax-x0<d,解得x-da<x<x+da，即(x-d , x+d) aa-2）È（3， +¥）. 5）由题意原不等式可化为(x-3)(x+2)>0,x>3或x<-2即(-¥ ，6）由题意原不等式可化为(x+2)(x-1)£0,解得-2£x£1.既-2 , 1. 判断下列各对函数是否相同，说明理由：（1）y=x与y=10lgx；（3）y=arcsin

3、(sinx)与y=x； （2）y=+cos2x与2cosx； （4）y=tan(arctanx)与y=x；1+x（5）y=lg(x2-1)与y=lg(x+1)+lg(x-1)； （6）y=lg1-x与x=lg(1-x)-lg(1+x) 解：1)不同，因前者的定义域为(-¥ , +¥)，后者的定义域为(0 , +¥)；2)不同,因为当xÎk-¥U(2k+2)p , (2k+2)p)时，22+¥13 1+cos2x>0,而2cosx<0； 3）不同，因为只有在-p, p上成立；4）相同；5)不同，因前者的定义域为(-¥

4、; , -1)È(1 , +¥)，后者的定义域为(1 , +¥)；6）相同3求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）y=lg(4-x)x-1； （2）y= lg5x-x24；（3）y=（5）y=1-x1+x2； （4）y=；（6）y=3x-2+11+lg(5-x)； x-3x-4x+3x-11-lgx；（7）y= 解：12x+arccoslg 1-x； （8）2x-1y=x2-x-61)原函数若想有意义必须满足(-¥ , -1)È(1 , 4)x-1>0和4-x>0可解得ìx<-1íî 1<

5、;x<4,即.5x-x22)原函数若想有意义必须满足>0,可解得 0<x<5,即(0 , 5).43)原函数若想有意义必须满足1-x1+x³0,可解得 -1<x£1,即(-1 , 1).ìx-2³0ì2£x<34)原函数若想有意义必须满足ï,即 2 , 3 È( 3 , 5 ),3. íx-3¹0,可解得 íî3<x<5ï5-x>0îììx£-1ïx2-4x+3&

6、#179;05)原函数若想有意义必须满足í,可解得 í,即(-¥ , 1È 3 , +¥ ).x³3ï(x-3)(x-1)³0îîìx>0ì0<x<106)原函数若想有意义必须满足ï,即(0 , 10)È(10 , +¥). íx¹0,可解得íx>10îï1-lgx¹0î7)原函数若想有意义必须满足1-102£x£0可解得0<x

7、£1-10-2即1-102 , 0)È(0 , 1-10-2 8)原函数若想有意义必须满足x2-x-6>0,2x-1£1可解得 -3 , -2 È( 3 , 4 )7. 4求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形： （1）y=ïíì-x2,2x<33£x<4ïîx-1,，求y(0) , y(3)；（2） 解： ì1x<0ïx,ïy=íx-3 ,0£x£1ï-2x+1 ,1<x<

8、¥ïî，求y(-3) , y(0) , y(5)1）原函数定义域为：(-4 , 4) y=(0)=3 y=(3)=8.图略2)原函数定义域为：(-¥ , +¥) y(-3)=-1 y=(0)=-3 y(5)=-9y(5)-9.图略 3 5利用y=sinx的图形，画出下列函数的图形：pö(1)y=sinx+1； （2）y=2sinx； （3）y=sinæçx+÷ è6ø解：y=sinx的图形如下y1 -1 2 x(1)y=sinx+1的图形是将y=sinx的图形沿沿y轴向上平移1个单位2

9、 y10 p 3p 2 x (2)y=2sinx是将y=sinx的值域扩大2倍。 y -2 2 2 p 3p（3）y=sin(x+p)是将y=sinx向2移动p个单值。 6 y1-p 0-1 5p 11p x 6在下列区间中，函数f(x)=xsin(x-2)x(x-1)(x-2)2 无界的为（A）(-1 , 0) B(0 , 1) C(1 , 2) D(2 , 3)解：f(x)是基本初等函数的组合，在其定义域 B(-1 , 1) C(-2 , -1) D(-3 , 0)解：7.C. 可画出函数图像判断，图略 8指出下列函数单调增加和单调减少的区间：（1）y= 解：（1）在0 , 2上­

10、;，在2 , 4上¯；（2）在(-¥ , +¥)上­；（3）在(0 , +¥)上­；（4）在(-¥ , 0)上­，在(0 , +¥)上­ 9设f(x)x4x-x2； （2）y=x5+2 （3）y=x+log2x； （4）y=1-3x2 在(0 , +¥)上单调减少，a , b是任意正数，则有（C）f(a)+f(b) Bf(a+b)<Af(a+b)<f(a)+f(b)a+bf(a+b)> 解:C； f(a)+f(b) f(a+b)>f(a)+f(b)a+bf(a+

11、b)f(a)f(a+b)f(b)<<a+baa+bba+baf(a)f(b)+aa设a£b则f(a+b)f(b)<a+baa 2f(a+b)< 2f(a+b)<a+bf(a)+f(b) f(a)+f(b) a+b>2 f(a+b)<10指出下列函数的奇偶性：（1）sinx+cosx； （2）xx x4-1+tanx；x<0 ，ì1-x ， 1+x , x³0 .î（3）lg( x+1-x)；2 （4）ax+a-xa-a（5）coslgx； （6）f(x)=í 解：1）偶函数；f(-x)=sin(-

12、x)+cos(-x)=sinx+cosx=-xxf(x)2）奇函数；f(-x)=-x3）奇函数；f(-x)=1g(éùx4-1+tan(-x)=êxx4-1+tan(x)ú=-f(x)ëû x2+1+x)=1g1x+1-x2=-f(x)4）奇函数；f(-x)=a-x+axa-x-ax=-f(x)5）非奇非偶函数；f(x)定义域不关于原点对称6）偶函数. ì1+x x<0 f(-x)=íî1-x x³0 11判别下列函数是否是周期函数，若是则求出其周期：（1）sin2x； （2）3-sin4

13、x；（3）xcosx； （3）2cosx-3sinx. 23 解：1）是周期函数，因为sin2(x+p)=sin2x ,所以周期T=p。2）是周期函数，因为3-sin4(x+p)4=3-sin4x，所以周期T=p. 43)不是周期函数。4）因为 12设f(x)和g(x)均为周期函数，f(x)的周期为2，g(x)的周期为3，问：f(x)±g(x) ，f(x)g(x)cosx2的周期为4p，而sinx的周期为6p，所以符合函数周期为12p。 3是否是周期函数，若是，求出它们的周期. 解：是周期函数，且周期都是6。 13求下列函数的反函数及其定义域：（1）y=x+3x-3，x¹1

14、； （2）y=x3+7，xÎR；25-x2 , 0<x<5 ；ì2x-1 , 0<x£1 ,2ïî2-(x-2) , 1<x£2 . （3）y=lg(1-2x) , x<0 ； （4）y= （5）y=ïí 解：1).Y(x-1)=x+3 , (x¹1)x(1-7)=-y-3所以x=y+3 y¹1. y-1 x<0 ；ìx-1 ，2ï x³0 ；îx ， （6）y=ïí2).y=x3+7 , x

15、6;Rx=y-7 yÎR3).y=lg(1-2x) , x<010y=1-2xx=1(1-10y) Y>0 24).y=25-x2 ， 0<x<5y2=25-x2x-25-y2 0<y<5.5).y=ïíìx-1 , x<0.2ïîx , x³0.x=ïíì2x-1 , 0<x£1.2ïî2-(x-2) , 1<x£2.6).y=ïíì2x-1 , 0<x£

16、1.2ïî2-(x-2) , 1<x£2.ìy+1 ， -1<y£1ïx=í2ï2-2-y , 1<y£2.î 14设函数y=1-3x与y=g(x)的图形关于直线y=x对称，求g(x). x-2 解：因为函数y=1-3x与y=g(x)的图形关于直线y=x对称，所以g(x)是f(x)的反函x-2数，所以Hg(x)=f-1(x)=2x+1， (x¹-3). x+315设f(x)是定义在(-¥ , +¥)上的单调奇函数，问其反函数y=函数，何故？ 解：因

17、为f(x)与其反函数f-1(x)是否是单调奇f-1(x)关于直线y=x对称，所以，当f(x)单调增加时f-1(x)f-1(x)也单减，所以f-1(x)是单调函数。 也单增，同理f(x)但减时， 16求由下列函数复合而成的复合函数：u=u2+1 ， u=secx； （2）y=cosu ， u= （1）y=lgu ， ，u=2x+1. 解：1).lgu=lg(v2+l)=lg(sec2+1) 2).y=cosu=cos 17设f(x)和g(x)如下，求fg(x)和gf(x).g(x)= （1）f(x)=x2 , g(x)=x2； （2）f(x)=1gx+1 ，x+1. =cos2x+1 gf(x)

18、=2x. 解：1).fg(x)=22x=4x 22).f(g(x)=lg(x+1)+1 ， x³0gf(x)=lgx+1+1 ，lgx+1³0 =>x³110. 18将下列函数分解成基本初等函数的复合：（1）y=lgtan2x； （2）y=arcsinax；（3）y=2 解：1).y=lgu , u=v2 , v=tanx. 2).Y=arcsinu , u=av , v=3).y=2u , u=xcosx2； （4）y=lg2arctanx3. . ,v=cosw , w=x2.4).y=u2 , u=1gv ,v=arctanw ,w=x3. 19在下列

19、函数对y=（1）f(u)=f(u) , u=g(x)中，哪些可复合成fg(x)，其定义域为何？ u , g(x)=1g12+x2；（2）f(u)=lg(1-u) , g(x)=sinx；（3）f(u)=arccosu , g(x)=lgx；（4）f(u)=arcsinu , g(x)=x1+x2. 解：1).令u=g(x)=lg12+x2<0，所以f(u)=u无意见。2).fg(x)=lg(1-sinx) ，因为1-sinx¹1，所以x¹(2k+1)p，kÎz.3). fg(x)=arcos(lgx)，-1£lgx£1=>10-1&

20、#163;x£.104). fg(x)=arcsin 20设f(x)= xx1=， (x¹1 ， x¹) 解：ff(x)=1-2xx1-1-xxx11fff(x)=, (x¹ , x¹ , x¹)x1-3x231-1-2xx1+x ， -p2£x1+x£p2=>xÎR. x1-x，求ff(x)和ff(x). ìïx2 , 0£x£1 , 求g(x)21设g(x+1)=íï2x , 1<x£2î. 解：设u=x+1,

21、则x=u-1.所以g(x+1)=g(u), 当0£x£1时，g(u)=(u-1)2，1£u£2. 当1<x£2时，g(u)=2(u-1)，2<u£3.(x-1)所以g(x)=ïíì , 1£x£2. ï2(x-1) , 2<x£3.î2 22设 解：当x>0时，f(x)+f(-x)=(x2-1)+1-(-x)2=0. 当x<0时，f(x)+f(-x)=(-x)2-1+1-x2=0. 2ì x³0ï

22、x-1 ，f(x)=í , 求f(x)+f(-x). 2ï1-x ， x<0î当x=0时，f(x)+f(-x)=-2.所以f(x)+f(-x)=í 23设解：f(x-1)=xx21+x4ì0 , x¹0. -2 , x=0.î1x2f(x-)=x1+x4，求f(x). =1(x-)2+2x 令u=x-1 x所以f(u)-1u+2，所以f(x)=1x+2.24设f(x2-1)=lgx2x-2，且fj(x)=lgx，求j(x).解：令u=x2-1，则f(u)=lgu+1， u-1所以f(u)=lgx+1. x-1令j(x)

23、=x，则fj(x)=lgj(x)+1=lgx , (x>0). j(x)-1所以j(x)+1=x. j(x)-1所以j(x)=x+1(x>0 , x¹1). x-1 25在半径为R的球中 (0<x<R). 所以V=px2*2S=2px(x+2R2-x2).关于y的函数时y2x=R- ， 0<y<2R)42.V=p(R2-y2)*y. 4y2y2-) , 0<y<2R. 44S=2p(R2+yR2-26某厂生产某产品2000吨，其销售策略如下：购买800吨以下时按每吨130元出售超过800吨的部分按九折出售，求销售收入与销量之间的关系解：

24、设销量为x（吨），则销售收入为（元），0£x£800ì130x y=í (元)，800<x£2000î117x+1040027设某商品的供给函数为S(p)=a+bcp，已知S(2)=30，S(3)=50，S(4)=90求a，b，c 解：由题意可得：ì S(2)=a+bc2=30ïa=10ïï3íS(3)=a+bc=50b=5可以解得ïc=2ïï S(4)=a+bc4=90îìa=10ïíb=5 ïc=

25、2î28设一商场某商品售价为500元/台时每月可消售1500台，每台降价50元时每月可增销250台，该商品的成本为400元/台，求商场经营该商品的利润与售价的函数关系 解：设每台售价为P，则销量Q=500-P*250+1500 50(400<=4000-5Pp£500)则利润函数L(P)=(P-400)(400-5P)=6000P-5P2-1600000(400<P£500)29某商场每月需购进某商品2400件进价为150元/件，分批进货，每批进货量相同，每次进货需500元，设商品的年平均库存量为每批进货量之半，而每年每台的库存费为进价的6%，试将商场

26、每月在该商品上的投资总额表示为每批进货量的函数 解：设一批进货x件，则每月投资总额y=(150x+500)*24001x+*150*6% x122x =360000+3x+1200000(0<x£2400) 830如图1-40，设AB=b公里，C是仓库，C到铁路的距离AC=a公里，现欲在铁路上修一车站D，在C，设公路运费为m元/吨-公里，铁路运D间修一公路，费为n元/吨-公里，求每吨货物从C运至B的总运费与AD=x的函数关系解：总运费y=a2+x2+n(b-x)(0£x£b).(B) 1单项选择题(1)函数arcsin(sinx)与x在其上相等的区间是(B)

27、öéùAæç-÷ Bê-ú è22øë22û图 1-40 C0， D-1，1(2)设f(x)的定义域为1，2，则f(1-lgx)的定义域为(C)1ùA1，1-lg2 B(0，1) Cé，1êú D(1，10) ë10û(3)函数y=x5与y=x对称于(A)A直线y=x Bx轴 Cy轴 D原点O(4)设函数y=f(x)和y=g(x)的定义域和值域依次为D(f)，R(f)和D(g)，R(g)，则复合函数fg(x)有意义的

28、充分必要条件是(A)AD(f)IR(g)¹f BD(f)ID(g)¹fCR(f)ID(g)¹f DR(f)IR(g)¹f (5)y=sin2x的最小正周期为(D)A4 B2 C D 2(6)y=(xsinx)5cosx在(-¥，¥)上是(C)A有界函数 B周期函数 C偶函数 D单调函数(7)函数y=1x在区间(0，1)上是(D)A递增、有界的 B递增，无界的C递减、有界的 D递减、无界的(8)设f(x)=xtanxesinx则f(x)是(B)A偶函数 B无界函数 C周期函数 D单调函数解：(1)arcsin(sinx)与x相等区间;选

29、单调区间-pp 22故选择B(2)有题意知1£1-logx£2 ，-1£lgx£0 110£x£1；所以选择C(3)由题意画图像选A(4)fg(x)有意义的充要条件,为g(x)的值域为f(x)的定义域 即D(f)IR(g)¹f选A (5)y=sin2x最小正周期2p=pxy=sin2x T= y=sin2x所以T=p 2选D(6)f(-x)=(-xsin-x)5cos-x=(xsinx)5cosx=(7)y=1x2f(x) 选C. 在(0,1)1x2当x®0时,y=当x®1时,y=所以y=1x®

30、¥ ®1 1x无界0&lt;x1&lt;x2&lt;1 1(x1)yx=2=()2>1 y2x2(x2)则所以递减故选D(8)f(-x)=-xtan(-x)esin-x=xtan xe-sinxg(x)¹f(x)f(x)不是偶函数 =x没有周期，f(x)不是周期函数是周期函数，f(x)不是单调函数 g(x)=tan xesinx2填空题(1)设f(x)=í(2)设ì1+x x<0则ff(x) 1， x³0îìx , -¥<x<1ï-1f(x)=&#

31、237;x2， 1 £x£4则其反函数f(x)= ïx 4£x£+¥î2，èxøx-1ö(3)设f(x)+fæç÷=2x，x¹0，1，则f(x)=(4)已知f(x)=sinx，fj(x)=1-x2，则j(x)=的定义域是 解：(1)当x&lt;0时，u=f(x)&lt;1. 当x&gt;0时，u=f(x)=1.所以ff(x)=f(u)=í所以ff(x)=íì1+u，u<0 1，u³0&#

32、238;ì2+x，x<-1； 1，x³-1î（2）由题意可知当-1&lt;x&lt;1时,y=f(x)Î(-¥ ，1）. 由题意可知当1£x£4时,y=f(x)Î1 ，16. 由题意可知当4&lt;x&lt;+¥时,y=f(x)Î16 ，+¥. 所以f(x)的反函数g(y)为 ìy ，-¥<y<1g(y)=ïy，1££16 íïlog ，16<y<+

33、65;î2即ìx ，-¥<x<1ïf-1(x)=íx ，1£x£16 ïlog x，î216<x<+¥x（3） f(x)+f(x-1)=2xæx-1ö-1÷çç÷x-1f()+fçx-1÷=fxç÷xç÷èø (x-1)+fæçx1öx-1) ÷=2(1-xxèøæ

34、1ö-1÷çç÷x-1f()+fç÷=fxç1-x÷ç÷èø(x-1)+f(x)=x21-x x-1ùéx-1éf(x)+f()ú-êf()+êxxëûëùx-12æ1öùéæ1öfç)+÷ú+êfç÷+f(x)ú=2f(x)=2x-2(x

35、1-xè1-xøûëè1-xøû f(x)=x-(x-1)+x111=x+-1 1-xx1-x(4)fu(x)=sin(u(x)=1-x2 所以u(x)=arcsin(1-x2) -x2£1ÞxÎ0 2 习 题 二 1.列数列xnn®¥时的变化趋势，判定它们是否收敛，在收敛时指出它们的极限：（1）xn=1an(a>1) ; （2）xn1n=3(-1)n ; 1n（3）xn=1g ; （4）xn=(-1)n(1+) ;（5）xn=3+(-1)n ; （6）xn=sec ;

36、11+L+1+3+5+L+(2n-1)2. （7）lim; （8）limn®¥n®¥2+4+6+L+2n1+L+221+1n1n 解：1）收敛.因为当n®¥时,an®¥(a>1) ;所以xn®0 ;所以lim xn=lim x®¥x®¥1a=0 .ì3 n为偶数2)因为xn=xn=ïí1ïn为奇数î3 所以xn是发散的;3)发散的.因为当n®¥时,4)因为xn=íì1 n

37、为偶数î-1 n为奇数11®0;所以xn=1g®-¥ nnxn是发散的; 所以5)收敛的.因为当n®¥时,6)收敛的.当n®¥时, 11®0;所以xn=3+(-1)n®3;即limxn=3; nnx®¥11®0;sec®1;即limxn=1; nnx®¥n(1+2n-1)1+3+5L+(2n-1)n=7)因为; 2+4+6+L+2n1+n2所以limx®¥n=1; 1+n所以是收敛的;111+L+1-1328)因为

38、= n-121+2n-11+L+1-()221-221-1 所以lim313=; x®¥21+22所以是收敛的; 2.据我国古书记载，公元前三世纪战国时代的思想家庄子在其著作中提出“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的朴素极限思想，将一尺长的木棒，“日取其半”，每日剩下的部分表示成数列，并考察其极限.解：数列为1, 2, K ,所以通项为an=12112212n-1 ; ;所以liman=0; x®¥ 3.由函数图形判别函数极限是否存在，如存在则求出其值：（1）limxm(m>0) ; （2）limxm(m<0) ; x®0x®

39、;¥（3）limax(a>0 , ¹1) ; （4）limax(a>0 , ¹1) ; x®0x®¥（5）limlogax(a>0 , ¹1) ; （6）limarccosx ; x®1x®-1（7）limarctanx ; （8）limcosx . x®1x®¥ 解：1）当x®0时,limxu(u>0)=0 ; x®¥2）limxu(u<0)=limx®¥1xx®¥(u<

40、;0)=0 ;3）limax(a>0 , a¹1)=1 x®¥4） 0ì0 a<1 .limax(a>0 , a¹1)=íx®¥î1 a>1 .a<1 ; 所以1 a>1 ;5)limlogax(a>0 , a¹1)=0 x®-16)limarccosx=p所以cosp=-1 ; x®-17)limarctanx=. x®-1p48)limcosx的极限不存在 x®¥ 4求下列函数在指定点处的左、右极限，

41、并判定函数在该点的极限是否存在：（1）f(x)=xx , x=0 ; （2）f(x)=1 3x, x=0 ;（3）f(x)= , x=0 ;1ì, x<1ï , x=1 . （4）f(x)=í1g(1+x)ïarcsin(x-1) , 1£x£2î1x 解：1)lim-1f(x)=-1¹lim+f(x)=1 ;所以该点的极限不存在 x®0x®02)lim-1f(x)=0¹lim+f(x)=¥ ;所以该点的极限不存在 x®0x®03)lim-1f(x)

42、=-x®0p2¹limf(x)=x®0+p2;所以该点的极限不存在 4)lim-f(x)=x®11¹limf(x)=0 ; 所以该点的极限不存在 1g2x®1+ 5用e-d或e-N的方法陈述下列极限：（1）lim+f(x)=A ; （2）lim-f(x)=A ; x®ax®a（3）limf(x)=A ; （4）limf(x)=A . x®+¥x®-¥解：1)当0<x-a<d时 f(x)-A<x2)当0<a-x<d时 f(x)-A<x3)当x

43、>M时 f(x)-A<x4)当x<-M时 f(x)-A<x 6用极限的严格定义（即e-d或e-N的方法）证明下列极限：（1）lim1n®¥=0 ; （2）lim1=-; n®¥3n2+135-n2（3）lim+x+1=0 ; （4）lim10x=0 . x®-1x®-¥解：1)对于任意给定的x,要使dyx成立,只要使n>所以对于任意给定的x,存在N=11x1n即n>1x成立 1n=0 x4当n>N时恒有-0<x成立,故limx®¥ 2)对于任意给定的x,要使

44、5-n23n2+1+116-3x1=+¥ n><x成立即lim成立 x®xof(x)39x2所以对于正数x,存在N=16-3x9x2成立当n>N时恒有5-n25-n23n+12+1<x成立 3所以lim1 =-x®¥3n+133)由于f(x)-0=x+1所以对于任意给定的x>0,存在d=x2当0<x+<d时 恒有f(x)-0<x成立故lim+x+1=0 x®-14)对于任意给定的正数x要使x-0<x成立即x>1gx成立 所以存在X=1gx .当x>X时恒有x>1gx成立即l

45、im10x=0 . x®¥ 7求下列极限：(x+h)3-x3xn-1（1）lim ; （2）lim; h®0x®1x-1h（3）limx®+¥1(arctanx+2x) ; （4）limçç1öæx-÷÷ ; x®1èx-1x-xø-x-32+x（5）limx21-+x2x®0; （6）limx®¥ ;（7）limx+1-3x-2-2x®4 ; （8）lim(x2+x+1-x2-x-3) . x®

46、¥(x+h)3-h3x3+3x2h+3xh2+h3-x3解：1）lim=lim=lim(3x2+3xh+h2)=3x2 h®0h®0h®0hhxn-12)lim=n x®1x-11öæpç3）limçarctanx+2x÷=lim(arctanx+1)=+1 ÷x®+¥ç2÷x®+¥èø4)lim(x®1x1(x-1)(x+1)x+1 -)=lim=limx®1x(x-1)x®

47、1xx-1x-xx2=limx2(1+x2)-x25)limx®01-+x2x®0=-lim(1+x2)=-2 x®06)lim-x-32+xx®-¥=1-x-9(2+x)(-x+3) =(2+x)(x2-2x+4)(2+x)(-x+3)=-2 7)lim2x+1-3x-2-2x®4=lim(x+1-3)(2x+1+3)x-2-2)(2x+1+3)x®4(=lim=lim =2(x-4)x-2-2)(2x+1+3)(2x+1+3)x®4(2(x-2+2)x®4 2 38)lim(x2+x+1-x2-x-3

48、) x®¥=lim(x®¥2x+4x+x+1+x-x-32+422) =lim(x®¥+1113+-xxxx)=1 8求lim5-4nn-15n-4n-1n®¥5+3. 解：limn®¥5+314n()=1 =limn®¥55+9()n51- 9下列数列xn，当n®¥时是否是无穷小量？（1）xn=10503n; （2）xn=1+(-1)n1n;（3）xn=n . 解：1)是无穷小量 因为limxn=0 n®¥2)是,因为limxn=0(

49、n为奇数或者偶数) n®¥3)不是. 10当x®0时下列变量中哪些是无穷小量？哪些是无穷大量？（1）y=100x3 ; （2）y=110x ;（3）y=log2(1+x) ; （4）y=cot4x ;ö（5）y=secæç-x÷ ; （6）y=sin. è2øp1x1x 解：1)是无穷小,因为limy=0 x®02)是无穷大量,因为limy=+¥ x®03)是无穷小量,因为limy=0 x®04)是无穷大量,因为limy=+¥ x®05)是无穷大

50、量,因为limy=+¥ x®06)非大非小 11已知lim解：因为lim2arctanx2x2=lim= , x®0x®05x5x5x®x0f(x)存在，而limg(x)=0，证明limf(x)=0 . g(x)x®x0x®x0limf(x)f(x)x®x0lim=存在 x®x0g(x)limg(x)x®x0而limg(x)=0 x®x0所以limf(x)=0 ; x®x0 12设limx2+ax+b解：因为lim=limx+y=3 x®1x®1x-1x2

51、+ax+b=3，求a，b. x®1x-1所以x2+ax+b(x-1)(x-2) =x-1x-1所以a=1,b=-2 -ax-b÷=0，求a，b . 13设limçç÷x®¥x+1èøæx2+1ö x2+1x2+1-ax2-ax-bx-b解：lim(-ax-b)=lim=0 x®¥x+1x®¥x+1所以即x2+1-ax2-ax-bx-b为一常数所以a=1 b=-1 14当x®0时，下列变量中与3x2+x4相比为同阶无穷小的是（B）.Ax

52、Bx2 Cx3 Dx4解：B 因为lim 15求lim解：lim3n-9n82x2+x4x®03x2=lim1x®03+x2=1 3-9n28n®¥. 5n-81n+21n5-9=3 n®¥=lim5n-81n+2n®¥52-+8nn 16设x®a时f(x)®¥，g(x)®¥，则下列各式中成立的是（D）.Af(x)+g(x)®¥ Bf(x)-g(x)®0C11®0 D®0 f(x)+g(x)f(x)解：D.因为x&#

53、174;a时f(x)®¥,g(x)®¥，所以 17求下列极限（1）lim 解：1)lim(2x+1)10(3x-4)5(2x-7)11®0，®0. f(x)g(x)(2x+1)10(3x-4)5(2x-7)x®¥ （2）lim(100+cosx) . x®¥x3+xx2+1(2x+1)10(3x-4)5=limx®¥x®¥15(2x-7)15x15=21035215=243 3211+x+1x(100+105x) 2)lim(100+105x)=limx&

54、#174;¥x+xx®¥1+2x2 18求下列极限：（1）limsin2xx-sinx; （2）lim; x®0sin3xx®0x+sinx（3）lim2arctanxpöæ ; （4）limçnsin÷ ; x®05xn®¥ènøsinxx ; （6）lim; x®pp-xx®0+-cosx-cosx2tanx-sinx; （8）lim; 1-cosxx®0x（5）lim（7）limx®0（9）limx-xcosx

55、sin(x-1) ; （10）lim . x®0tanx-sinxx®1x+5x-6解：1)limsin2x2x2=lim= x®0sin3xx®03x31-sinxx-sinx=0 =lim2)limx®0x+sinxx®01+x3)lim2arctanx2x2=lim= x®0x®05x5x5sinnpp4)lim(nsin)=limn®¥pnn®¥=lim=p n®¥nsinx(sinx)cosx=lim=lim=1 5)limx®pp-x

56、x®p(p-x) x®p-16)lim+x®0x-cosx=limx2sin2x®0+=lim(x)(2sin)2x®0+=2 7)2 8)lim9)limtanx-sinx(tanx-sinx)1=lim=lim(2-cosx)=0 x®0x®0x®0cosxxxx-cosxx(1-cosx)=lim=limcosx=1 x®0tanx-sinxx®0sinx()x®0cosx10)limsin(x-1)+5x-6x®1x=limx-111=lim= x®1(x-

57、1)(x+6)x®1x+1719设limx2+ax+bsin(x2-1)x®1=3，求a，b .解：因为limx2+ax+bsin(x2-1)x®1=limx2+ax+b=3 x®1(x-1)(x+1)所以x2+ax+b=(x-1)(x+5)所以a=4 . b=-5 20设xn=解：因为n而limnn®¥1n+11n+122+1n+22+L+1n+n2，用极限存在的夹逼准则求limxn . n®¥£xn£n1n+n1n+n22 =1 1n+12=1，limnn®¥所以limx

58、n=1 n®¥ 21求下列极限：2+13öæ（1）limç1+÷ ; （2）lim(1-)3 ; x®¥xx®¥èxø3xx（3）lim3+2x ; （4）lim(1+tanx)1-2cotx ; x®0x®0æ2x+3ö（5）limç÷x®¥è2x+1øx+1 ; （6）limç÷ . x®0è3x-1ø1æ2x-1

59、öx33解：1)lim(1+)3x=lim(1+)39=e9 . x®¥x®¥xx-2+12-2 2)lim(1-)3=lim(1-)23*(1-)=e3 . x®¥x®¥xxxxx22x3)lim3x®0+2x=122lim(1+2x)x3x®0=2 .e34)lim(1+tanx)x®01-2cotx=lim(1+tanx)x®02x+11+22x1tanx-2*(1+tanx)=e-2 . 2x+3x+12)=lim(1+) 5)lim(x®

60、5;2x+1x®¥2x+111+1=e . 2x-1xxx)=lim(1-) 6)lim(x®03x-1x®03x-1=lim(1+x®01-3x1-3+3)x=e . æx-kö22设limç÷x®¥èxø-2x=limxsinx®¥2，求k . x解：因为limxsinx®¥2=limxx®¥2sin2x2x=2.xx-k-2xk-*2k)=lim(1-)k=e2k=2 . 所以lim(x®&

61、#165;x®¥xx所以k=1n2 . 23判定下列函数在定义域上是否连续（说明理由）：ìsinx1ì2 , x¹0 ,xsin , x¹0 ,（1）f(x)=ï （2）f(x)=ï xííxï0 , x=0 ;ïîî1 , x=0 . 12 解：1)因为limf(x)=0，而f(0)=0.所以f(x)在定义域上是连续的。 x®02)因为limf(x)=íx®0ì1 , x>0，而f(0)=1.所以f(x)在定

62、义域上不连续. -1 , x<0î 24求下列极限：（1）limln(1+3x)-tanx-+tanx ; （2）lim ; x®0sin4xx®psin2x1æx-1ösin() limç÷x ; x®¥èxø（3）aöæ （4）limçcos÷ (a¹0) ; x®¥èxøarctan2xtanx+(x+2)x2（5）limln(ex+ex)3+1+arccosxln(1+2x)x2x&

63、#174;1; （6）limx®0; (1+x)a-(1+x)b; （8）lim（7）lim(a , b¹0) ; x®+¥ln(1+4x)x®0xln(1+x)+ln(1-x)x2-1（9）lim. ; （10）limx2x®0x®1lnxe-1 解：1)lim2)lim=limln(1+3x)3x3=lim=. x®0sin4xx®04x4-tanx-+tanx-2tanx=lim x®xsin2x(-tanx+tanx)sin2xx®x-1-tanx+tanx)x®xc

64、ox2x(=-1 21x-1sin()()11sin()lim1+(-)x®¥x3)limx®¥x=-=lim1+(-)x®¥1x1-x=e-1 ax2ax2lim(cos)=lim(1+(cos-1)4) x®¥x®¥xx=lim(1-ç÷)x®¥æxö2-2ç÷1æaöèaø2é1æaöê-ç÷2xê&#

65、235;èø2ùúx2úû2èxø =e5)limln(ex+ex)3+1+arccosxx2-a22 x®1=ln(e1+e1)3+1+arccosl1=(1+ln2) 6)limarctan2xtanx+(x+2)=limarctan20tan0+(0+2)12x®0x®0=7)limln(1+2x)ln(1+4x)p 8ln1*ln2xlnl*ln4xx®+¥=limx®+¥=lim= 12x*ln2 x®+¥2x*ln

66、2(1+x)a-(1+x)b 8)lim(a , b¹0) x®0x(1+x)a-(1+x)b=lim x®0x=lima(1+x)a-1-b(1+x)b-1 x®01x2-1(x-1)=lim(x+1) x®1lnxx®1ln1+(x-1)=a-b 9)lim=1*(1+x)=2 10)limln(1+x)+ln(1-x)ex-1x®0=limln(1-x2)ex-1x®0=-1-x2x225设limççæf(x)-2sinxölimf(x) . -÷÷

67、=2，求x®0x®0èxxøf(x)-3f(x)-2sinx=2 . -=2，所以可以推出limx®0xxx解：因为limx®0所以f(x)=2x+3 .所以limf(x)=3 . x®0 26对数列xn，设0<x1<0<xn<1(" n) .并求limxn . 2n®¥1，且xn+1=xn(1-2xn)(n=1, 2 ,L) .证明：xn单调减少，且2 解：因为xn+1-xn=-2xn2<0 .所以xn+1<xn .所以数列xn单调减少。 当n=1时,x2=x1(1-2x1)>0,而且x2<. 假设当n=k时也成立，即xk+1=xk(1-2xk)>0,且x