南理工-信号系统习题解答_徐天成_南理工老师留的平时作业题

1、第2章习题答案2-1 绘出下列各时间函数的波形图。 (11(1f t tu t =-(22(1(1f t t u t u t u t =-+-(33(1(1f t t u t u t =- (44(2(3f t t u t u t =- (55(2(2(3f t t u t u t =- (66(2(1(2f t u t u t u t =-+-解: t2-5 已知(f t 波形如图题2-5所示,试画出下列信号的波形图。 图 题2-5(33(36f t f t =+(5511(36f t f t =- 解: tt2-6 已知(f t 波形如图题2-6所示,试画出下列信号的波形图。 图 题2-6

2、(44(2(2f t f t u t =- (66(1(2f t f t u t u t =- 解: 2-7 计算下列各式。 (10(f t t t + (200(d f t t t t t -+-(324e (3d t t t-+(4e sin (1d t t t t -+(5d e (d tt t- (60(d f t t t t -(70(d f t t t t -(800(d 2t t t u t t -(900(2d t t u t t t-(10(e (2d tt t t -+(11(sin d 6t t t t-+- (12j 0e (d t t t t t-解:(1 原式0(f

3、 t t =(2原式2(0000t f dt t t t t f =-+=+-(3原式2334(3e t dt e -=+=(4原式1sin(1(10(1e t dt t +-=-+=+不在积分区间内 (5原式(0t t e dtd = (6原式(0(00t f dt t t f -=-=+-(7原式00(0(f t t dt f t +-=-=(8原式=-=+-01002(2(000000t t t u dt t t u t t (9原式=-=-=+-0100(2(000000t t t u dt t t u t t (10原式22(2(22e t dt e +-=-+=-(11原式1(si

4、n (66662t dt +-=+-=+ (12原式000(1j t j t e t e t t dt e +-=-=-2-8 画出图题2-8所示各信号的偶分量和奇分量的波形。 图题2-8解:(b(c2-12已知(e(tf t u t-=,求(f t的表达式,并画出(f t的波形图。解:(t tf t e t e u t-=-(tt e u t-=-2-13 已知(f t的波形如图题2-13所示,求(f t和(f t,并分别画出(f t和(f t的波形图。 图题2-13 解:22(22E E f t u t u t u t u t =+- 2(2(22E u t u t u t =+-+-2(

5、2(22E f t t t t =+-+-2-14 对下列函数进行积分运算:(d tf -,并画出积分后的波形图。(11(1(3f t u t u t =- (22(1f t t =- (33(sin (f t tu t = 解:1(113(1(3t tf t u d u d -=-(1(3(1(1(3(313t tu t u t t u t t u t =-=-(22(1(1f t u t -=-(33(1011(sin cos (1cos 0tt f t d t -=- 第3章习题答案3-1 已知周期矩形脉冲信号的重复频率 5 kHz f=,脉宽20 s=,幅度10V E =,如图题3-1

6、所示。用可变中心频率的选频回路能否从该周期矩形脉冲信号中选取出5,12,20,50,80及100 kHz 频率分量来?要求画出图题3-1所示信号的频谱图。 图 题3-1解:5kHz f =,20s =,10V E =,11200T s f=,41210f = 频谱图为 从频谱图看出,可选出5、20、80kHz 的频率分量。3-3 求图题3-3 所示周期锯齿信号指数形式的傅里叶级数,并大致画出频谱图。 图 题3-3解: (f t 在一个周期(0,T 1内的表达式为: 11(Ef t t T T =- 111110011111(1,2,32T T jn tjn t n E jE F f t e d

7、t t T e dt n T T T n -=-=-=11010011111(2T T E E F f t dt t T dt T T T =-=傅氏级数为:111122(22244j t j t j t j tE jE jE jE jE f t e e e e -=-+-+-(1,2,32n E F n n = (02(02n n n -= 3-4 求图题3-4 所示半波余弦信号的傅里叶级数,若10 V E =, 10 kHz f =,大致画出幅度谱。 图 题3-4解:由于(f t 是偶函数,所以展开式中只有余弦分量,故傅氏级数中0n b =,另由图可知(f t有直流分量, (f t 在一个

8、周期(2T -,2T内的表达式为: 111cos 4(04T E t t f t T t 其中:112T =11112401112411(cos T T T T E a f t dt E tdt T T -=111111241112422(cos T T jn t jn t T T n n a c f t e dt E t e dt T T -=211sin sin 2122cos 3,5,71112n n E E n n n n n +-=+=-=+-111211122(2T j t T E a c f t e dt T -=所以,(f t 的三角形式的傅里叶级数为:11122(cos co

9、s 2cos 42315EE E E f t t t t =+-+ 3-6 利用信号(f t 的对称性,定性判断图题3-6中各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量。 215E -图 题3-6解: (a (f t 为偶函数及奇谐函数,傅氏级数中只包含奇次谐波的余弦分量。 (b (f t 为奇函数及奇谐函数,傅氏级数中只包含奇次谐波的正弦分量。 (c (f t 为偶谐函数,而且若将直流分量(1/2去除后为奇函数,所以傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的正弦分量。 (d (f t 为奇函数,傅氏级数中只包含正弦分量。(e (f t 为偶函数及偶谐函数,傅氏级数中只包含直流以及偶次谐波的余弦分量。(f

10、 (f t 为奇谐函数,傅氏级数中只包含奇次谐波分量。 3-7 已知周期函数(f t 前四分之一周期的波形如图题3-7所示。根据下列各种情况的要求画出(f t 在一个周期(0t T 的波形。(1(f t 是偶函数,只含有直流分量和偶次谐波分量; (2(f t 是偶函数,只含有奇次谐波分量;(3(f t 是偶函数,含有直流分量、偶次和奇次谐波分量。解:(1由(f t f t -=画出(f t 在,04T -内的波形,由(f t 在,04T -内的波形及(f t 是偶谐函数,它在,42T T 内的波形与它在,04T -内的波形相同,它在,2T T 内的波形与它在0,2T 内的波形相同。根据上述分析

11、可画出(f t 在0,T 内的波形。按上述类似的方法可画出(2和(3。 (2 (3 图 题3-73-8 求图题3-8 所示半波余弦脉冲的傅里叶变换,并画出频谱图。 图 题3-8解法一:按定义求22(cosj tj tF j f t edt E t e dt -= 由于(f t 是偶函数,所以220220(cos cos 2cos cos cos(cos(Sa(Sa(22222Sa +Sa 2222F j E t tdt E t tdtE E t t dt E E -=+-=+-=+- 化简得:2cos 22(1E F j =- 解法二:利用卷积定理求 设:12(cos,(22f t t f t

12、 E u t u t =+-则 12(f t f t f t =,于是121(2F j F j F j =* 而1(F j =+-,2(Sa 2F j E =故1(Sa 22F j E =+-* Sa +Sa 2222E E =+- (F j 的频谱是将矩形脉冲的频谱Sa 2E 分别向左、右移动(幅度乘以12后叠加的结果。 3-10 求图题3-10所示(j F 的傅里叶逆变换(f t 。 图 题3-10解:(a 000(j t F j Ae =-00000(011(22(j t j t t j t t j t A f t Ae e d e e j t t +-+-=-+000Sa (A t t

13、 =+(b 2020(0(0j jAe F j Ae -=0后方程右边没有输入,因此,系统没有强迫响应,完全响应和自由响应相同,零输入和零状态响应的形式均为齐次解形式,且零输入响应同(1,为:034(2-=-t e e t y tt zi零状态响应的形式为:tzs t zs zs e A e A t y 221(-+= 设:代入方程=+=(22t au t y dt d t bu t a t y dt d 得:a =1,=-10(0(00(0(,a y y y y =-+-+ 11120212121-+=A A Azs Azs A A zs zs则:0(2-=-t e e t y tt zs0

14、45(2-=+=-t e e t y t y t y tt zs zi4-6 一线性时不变系统在相同的起始状态下,当输入为(x t 时,全响应为(2e cos 2(t t u t -+;当输入为2(x t 时,全响应为(e 2cos2(t t u t -+,求输入为4(x t 时的全响应。解:系统的零状态响应为:(2cos (2cos 2(2cos 2(12t u t e t e t e t y t y t y t t t zs +-=+-+=-=-当输入为4x (t 时,系统的全响应为:(2cos 4(3(1t u e t t y t y t y t zs -=+=(3(1t u e t y

15、 t y t y t zs zi -=-=4-7系统的微分方程由下列各式描述,分别求系统的冲激响应与阶跃响应。(1d (2(d y t y t x t t+=解:(1首先求阶跃响应,原方程变为:(2(t u t g t g dtd=+ 方程右边没有冲激作用,则起始点不会发生跳变,00(0(=-+g g 特征方程:02=+2-=齐次解:th e A t g 21(-= 特解:B =0.5则:5.0(21+=-t e A t g ,代入初始值,05.01=+A 系统的阶跃响应为:(5.05.0(21t u et g t+-=-系统的冲激响应为:(2t u e t g dtd t h t-=*4-1

16、2 一线性时不变系统,当激励信号为1(x t t =时,全响应为1(e (t y t t u t -=+;当激励信号为2(x t u t =时,全响应为2(3e (t y t u t -=。求系统的冲激响应(h t (两种激励下,起始状态相同。解:2(1(3(21=+=+=+=-t u e t y d h t y t u e t t y t h t y tzi t tzi 式(1 式(2得:(2(t u e t d h t h t t-=-上式求导:(2(2(t u e t t t h t h t -+-=-设:(t u Be t A t h t -+=代入上式:(2(2(t t t A t

17、B t Be u t A t Be u t t t e u t -+-=-+方程两边函数相等:1,1-=B A(t u e t t h t -=4-13 试求下列各函数1(f t 与2(f t 的卷积12(s t f t f t =* (11(f t u t =,2(f t u t =(31(1(1f t t u t u t =+-,2(1(2f t u t u t =- 解:(1(1t t u dtdt f dt d = (1(002t tu t u t t u d d u d f t ttt=-1212( (t s t f t f t d f t f d dtt tu t tu t -=*

18、=*=*= (3a1(0t S t -=时 12211b12(1(0.5(102t t t S t d t -=+=+=-时1222113c23(1(0.5222t t S t d t t t -=+=+=-+-时d3(0t S t +=时*4-14 对图题4-14所示的各组信号,求二信号的卷积 12(s t f t f t =*,并绘出(s t 的波形。解:(a (1(1110(11t S t ed e-+-+-=-=-时1(1(1(11(1111120(22|222t t t t tttt S t ed e d e e e e e-+-+-+-+-=+=-=-+=-时4-15 已知1(1f

19、 t u t u t =-, 2(1(2f t u t u t =-,分别求111(s t f t f t =*和22(s t f t =* 2(f t ,画出1(s t 和2(s t 的波形,并比较二者的区别。解:1(1-=t t t f dtd 1(1(1(1(1(11(111-=-=-=-=-t u t t tu t u t u t u d t u d d u u d f t t tt t t2(1(1(1(2(1(1(1(11111-+-=-*-=*=*=-t u t t u t t tu t u t t tu t t d f t f dtdt f t f t s t 图 题4-142

20、(1(2-=t t t f dtd 2(2(1(2(1(2(11(12(1(21212-=-=-=-=-t u t t u t t u t u t u d t u d d u u d f t t tt t t4(4(3(3(22(2(2(2(1(1(2(1(22222-+-=-*-=*=*=-t u t t u t t u t t u t t u t t t d f t f dtd t f t f t s t *4-16 12(s t f t f t =*,并绘出(s t 的波形。图 题4-16a20b01(2t S t =时211c12(211244tt t ab abt S t ab d

21、t t -=-时222121d23(321244t ab abt S t ab d t t t -=+-时 (d 4-17 图题别为D (1,h t t =- G (3h t u t u t =-,试求总系统的冲激响应(h t ,并画出(h t 的波形。 图 题4-17解:(G D D D h t h t t h t h t h t =*+*(1(1(1(3(1(2(1(2(3(4(5G h t t t t t u t u t t t t u t u t u t u t u t u t =*+-+-*-=-*+-+-=+-+-第5章习题答案5-1 图题5-1所示RC 电路中,当t = 0时,开

22、关S 闭合,求输出信号R (v t 。输入信号分别为以下几种情况。(1(x t Eu t = (30(0 E t x t t t = (4(sin (x t t u t = 图 题5-1解: (11R R s V s X s X s R s sCRC=+(1 (E X s s=(11R sE EV s s s s RC RC=+ 1(t RCR v t Eeu t -=(3(1s E X s e s-=- (1(111s s R sE E V s e e s s s RC RC-=-=-+ 11(t t RC RCR v t E e u t e u t -=-(4 22(X s s =+22(

23、1R s V s s s RC=+2222111(RC s RC RC s s RC +=-+ 12(cos sin (1(t RCR RC v t t RC t e u t RC -=+-+5-3 电路如图题5-3所示,当t 0时,电路元件无储能,当t = 0时,开关闭合。求电压2(v t 的表达式,并画出2(v t 的波形。 图 题5-3解: 电流ss 11/1= 12(11.09.01111.09.011(2+=+=s s s ss s s s s s I1211.01.0(22+-=-=s s s s I s V (1.0(2t u te t v t -=5-6 系统的微分方程为22d

24、 (d (d (43(2(d d d y t y t x t y t x t t t t+=+,初始状态为(04y -=,(01y -=。若激励为2(e (t x t u t -=。(1试用拉氏变换分析法求全响应;(2分别求零输入响应和零状态响应,然后叠加得全响应。 解:微分方程两边作单边拉氏变换,得2(43(0(04(0(21(s s Y s s y y y s X s -+-+=+2221(0(04(0(4343s sy y y Y s X s s s s s -+-=+ 1(, (01, (042X s y y s -=+ 2221144(24343s s Y s s s s s s +

25、=+零状态响应零输入响应57513222212313s s s s s -=+ 零状态响应零输入响应23311(65(75(22t t t t t y t e e e u t e e u t -=-+-零状态响应零输入响应5-7 电路如图题5-7所示,已知4V E =,当t 0时,开关S 打开,电路已达稳态,设1(00v -=。当t = 0时,开关S 闭合。求0t 时的1(v t 和(i t 。 图 题5-7解:+ 1(v t 4/sss s s s s s s s s s ss s V 1/22(11/22(341/1221/1384(1+-=41224234121(345453451515

26、 1.25s s s s s s s s s +=+=-+ (2(152(25.11t u e t v t -=25.1161325411(32543234(1+=+=+=s s s s s sV s I(61(32(25.1t u e t t i t-+=5-10 当F (s 的一阶极点落于图题5-10所示s 平面中各方框所处位置时,画出对应的f (t 的波形(填入方框中。图中给出了示例,此例极点实部为正,波形是增长振荡。 解:画图: 5-12 求图题5-12所示各网络的电压转移函数21(V s H s V s =,在s 平面画出其零、极点分布。若激励信号1(v t 为冲激函数(t ,求响应

27、2(v t ,并画出波形。 图题5-12解:(a/(/R R LH sR sL s R L=+2(RtLRv t e u tL-=(c12212121212(/(RsR R LH sR RsL R R R R sL R R+=+12122(2121212(R RtL R RR Rv t t e u tR R L R R-+=+5-14 写出图题5-14所示各梯形网络的电压转移函数21(V sH sV s=,在s平面示出其零、极点分布。 图题5-14 解: (a 2221(1/11(111311(1/1s s H s s s s s s +=+ (b222(1/(1(1/131s s s s H

28、 s s s s s s +=+ 零极点图与(a 相同, 略。(d 4421 (/(11131(/s s s s s H s s s s s s s s s+=+ 零点为0, 4阶;极点为 5-15 已知策动点阻抗函数分别为下列各式,试画出对应的电路图。 (11s +(21s s +(311s +(421s s + (51s s + (621ss s +解:(V s Z s I s =, 即电路中电流源作为激励信号,而电路中的电压作为响应信号(11s + (21s s+ (a (c i (t i (t (311s+ (42111s s s s =+(51111s s s =+ (621111s

29、 s s s s=+ 5-19 已知系统的阶跃响应为2(1e (tg t u t -=-,为使其零状态响应为22(1e e (t t y t t u t -=-,求激励信号(x t 。解: 211111(, (22(2G s Y s s s s s s =-=-+2(2(1,122111(1112(2(2(222G s s H s s s sY s s s s X s H s s s s =-=+-+=-+ 21 (1(2th t e u t -=-i (t i (t i (t i (t 5-20 某系统的起始状态一定,已知输入1(x t t =时,全响应为1(3e ty t -=-,0t ;

30、输入2(x t u t =时,全响应为2(15e ty t -=-,0t 。试求输入(x t tu t =时的全响应(y t 。解: 1113(1, (1z sz i X s Y s Y s Y ss -=+ 222115(, (1z s z i X s Y s Y s Y s s s s =-=+ 21121(14(, (11zi Y s Y s H s Y s Y s H s X s X s s s -=-=-+(th t e u t -=22221(, 1111(1(1113(1zs zs zi X s s Y s X s H s s s s s sY s Y s Y s s s s=-+-=+=-+ (13(t y t t e u t -=-故5-24 如图题5-24所示电路,已知激励