应用统计学与随机过程(第5章--窄带随机过程2014)

1、主讲教师：何松华 教授联系电话：(0731）82687718子信箱：应用统计学与随机过程应用统计学与随机过程( (通信专业通信专业) )Applied Statistics and Random ProcessApplied Statistics and Random Process湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程5. 窄带随机过程(4学时)5.1希尔伯特变换希尔伯特变换5.2信号的复信号表示信号的复信号表示5.3窄带随机信号的统计特性窄带随机信号的统计特性5.4窄带正态过程幅相概率分布窄带正态过程幅相概率分布5.5窄带正态噪声背景中的信号检测窄带

2、正态噪声背景中的信号检测引引 言言窄带随机过程的工程背景窄带随机过程的工程背景 (1)通信过程要传输的语音、图像、数据等基带信号通常是窄带的，被调制到比较高的频率上进行传输；在接收端采用中频窄带滤波器对信号进行匹配滤波处理，信号带宽远小于中心频率，这样的信号称为窄带信号。 (2)窄带系统输出的噪声(随机过程)也为窄带的。如果随机信号的功率谱被限制在中心频率附近的窄频带内，频带宽度远小于中心频率，则称其为窄带随机过程。 (3)窄带系统输出的噪声加信号可以表示为如下形式：湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程00( )( )cos(

3、 )cos()X tA tttBt 其中0cos()Bt(B,为常数)为需要提取的信号，通过其幅度或相位可以得到发送端所传输的编码特征(0或1)(ASKPSKQPSKQAM)，0( )cos( )A ttt为接收机输出的窄带噪声，A(t)、(t)分别为其幅度或相位(随机)。通信中要解决的一个主要问题是：如果窄带噪声为正态分布的，如何确定X(t)的幅度与相位的统计特性(概率密度分布以及相关函数)，为通信系统的性能评估及设计提供依据。 (4)解决上述问题牵涉到希尔伯特变换以及复随机信号等基础理论；为此，先要学习和了解希尔伯特变换。希尔伯特变换希尔伯特变换5.11.1.实信号的傅立叶变换特性实信号的

4、傅立叶变换特性 设x(t)为确定性的实信号，则其傅立叶变换满足共轭对称特性。 ( )( )j tXx t edt*()( )( )( )j tj tXx t edtx t edtX湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程上述性质表明：(1)任何实信号的正角频率(0)处的频谱以及负角频率(0，两边取傅立叶变换，则122( )( )( ) (1)XVjV*12120()()( )( ) (2)VjVVjV联立可求得(1)式取共轭与(2)式相加:v1(t),v2(t)分别为信号的实部、虚部,为实信号,频谱为双边/复的为什么?问： 与x(t)之间的关系？()xt 湖南大学教学课件：应用统计

5、学与随机过程 窄带随机过程1*1( )0( ) ( )()()( )0XVXVXX推论：( )x t的实部与x(t)具有相同的频谱，则v1(t)=x(t)。(1)式取共轭与(2)式相减:2*2( )0( ) ()()( )0( ) sgn( )jXVVjXjXXj 推论：( )x t的虚部是x(t)的如下变换：1sgn()jt 见后面附录1湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程21( )( )v tx tt( )2( )( )XXU10( )00U根据信号与系统理论11( ) ( )2Utjt11( )( ) ( )( )( )x tx ttjx tjx ttt( )x t的频谱

6、x(t)的频谱之间的关系为1j 1/jj 下面考察另外一种推导方法：湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程1111() ( )( )2221111sin()cos()sin()2222j tj tj tjUtjedtt edtedtttjttjt dtdttt附录1(自学)： 的傅立叶变换11 ( )2tjt00000sin()2sin()2sin()()2sin( )102sin( )2sin( )10tttdtdtdttttxdxxxxdxdxxx 利用奇偶函数的积分特性参见第1章ppt的附录湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程将变换11( )( )( )xx

7、 tx tdtt称为信号x(t)的希尔伯特变换，记做( ) ( )x tH x t于是得到：( )( )( )x tx tjx t( )Re ( )x tx t性质：任何具有单边频谱特性的复信号( )x t，其实部信号与虚部信号之间存在希尔伯特变换关系，通过其实部信号完全可以恢复出其虚部信号；反过来，由其虚部信号也可以恢复其实部信号(逆希尔伯特变换)。湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程性质：实信号x(t)的正角频率处的频谱乘以系数2后的逆傅立叶变换的实部为x(t)本身，虚部为x(t)的希尔伯特变换。性质：任何具有单边频谱特性的复信号( )x t，其实部信号频谱的正频部分为该复

8、信号频谱乘以系数1/2，其实部信号频谱的负频部分与该实部信号频谱正频部分存在互为共轭的关系；性质： x(t)的希尔伯特变换相当于x(t)通过一个冲激响应h(t)=1/(t)或传递函数H()=Fh(t)=-jsgn()的滤波器推导过程参见附录1：非因果：-t/2(载波频率大于包络带宽)时，有取逆傅立叶变换在此基础上利用性质1得到另外一式000sin()cos()cos()H AtH H AtAt 0 0()()jjj Aej Ae 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程 0|A( )|/2 0X( )- 0 0|A( - 0)/2|A( + 0)/2|00 ( )cos()( )s

9、in()H a tta tt00 ( )sin()( )cos()H a tta tt 包络不变，载波移相-90度证：000( )( )cos()( )2jtjtx ta tta tee001( ) ()()2XAA根据傅立叶变换的频移特性当0/2时，A(-0)在负频部分为零； A(+0)在正频部分为零湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程001()02( )1()02AXA 满足上述窄带性质情况下可以写成00()02( )()02jAXjA 00( )()()22jjXAA 上式取反傅立叶变换000( )( )( )( )sin()22jtjtjjx ta t ea t ea

10、tt即00 ( )cos()( )sin()H a tta tt在此基础上利用性质1得到另外一式000 ( )sin() ( )cos()( )cos()H a ttH H a tta tt 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程(4) 窄带信号的希尔伯特变换关系2设ac(t)=a(t)cos(t), as(t)= a(t)sin(t)为低频限带信号，单边带宽/2，则当0/2(带宽小于载波频率)时，有00 ( )cos( )( )sin( )H a ttta ttt 00 ( )sin( )( )cos( )H a ttta ttt 证(练习)：利用如下关系式、卷积的可加性及性质

11、300000( )cos( )( )cos( )cos()( )sin( sin()( )cos()( )sin()csa ttta ttta ttta tta tt(5) 卷积信号的希尔伯特变换若( )( )( )y tv tx t则H变换的可加性湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程( )( )( )( )( )y tv tx tv tx t证：根据卷积的交换律、结合律(参见信号与系统)11( ) ( )( )( ) ( )( )( )y tv tx tv tx tv tx ttt11( ) ( )( ) ( )( )( )( )y tv tx tv tx tv tx ttt

12、(6) 信号经移相后能量或功率的不变性若x(t)为能量有限信号，则22 ( )( )xt dtxt dt湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程证：根据帕斯瓦尔定理222222211 ( )|( )|( )( )|221|( )| |( )|21|( )|( )2xt dtXdXHdXHdXdxt dt|H()|2与H2()的区别？(自学) 若x(t)为能量无限但功率有限信号，则2211lim( )lim( )22TTTTTTxt dtxt dtTT证明提要：利用宽度为2T的信号能量特性，再取极限湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程(8) 偶函数的希尔伯特变换为奇函

13、数，奇函数的希尔伯特变换为偶函数证明提要：将希尔伯特变换的卷积运算写成另外形式11( )1()( )( )xx tx tx tddtt若x(t)为偶函数，则1()1()()1( )1( )( )xtx txtddx ux ududux tuttu 积分变量置换卷积的两种不同写法1( )( )( )( )Y tH X tX tX tt湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程3.3.随机信号的希尔伯特变换的定义随机信号的希尔伯特变换的定义 设X(t)为随机过程，h(t)=1/(t)为线性系统的冲激响应，如果随机过程Y(t)满足：当X(t)取值为任意的样本函数x(t)时， Y(t)的取值

14、为样本函数x(t) h(t)，则称Y(t)为X(t)的希尔伯特变换，记做4.4.随机信号希尔伯特变换的性质随机信号希尔伯特变换的性质 样本函数满足上述一般性质(1)-(8)外，还满足如下性质： (9) 平稳随机信号X(t)与其希尔伯特变换具有相同的相关函数，即H变换后相关函数不变。非因果线性系统湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程证：二者具有相同的功率谱，必有相同的相关函数。根据第3章平稳随机过程通过线性系统理论2( )( )|( )|( )XXXGGHG( )( )XXRR希尔伯特变换只影响相位特性，不影响幅频特性及功率谱特性(0)(0)XXRR功率不变(性质6)(10) 互

15、相关函数特性( )()( )( )XXXRE X tX tR ( )()()( )XXXXXXRRRR 相关函数的希尔伯特变换偶函数的希尔伯特变换为奇函数线性变换基本定理2(证明见后)湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程证：根据第3章平稳随机过程通过线性系统理论在前式基础上由互相关函数性质以及性质8可得到后式。推论：随机信号与其H变换的互相关函数为奇函数()()( )( )XXXXXXRRRR 1( )( )()( )()1( )( )XXXXXXRRhRRR (0)0XXR随机信号与其希尔伯特变换在同一时刻是正交的奇函数特性信号的复信号表示信号的复信号表示5.2( )Re (

16、 )x tx t2( )0( )00XX湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程(1)1.1.确知信号的复信号表示确知信号的复信号表示 设x(t)为确定性的实信号，如果某个复信号 满足如下条件，则称其为x(t)的复信号表示。 ( )x t(2)根据5.1节的结论，( )x t可以唯一地表示为：1( )( )( )( ) ( )x tx tjx tx tj x tt0( )cos()s tat湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程(1)信号的复信号表示举例信号的复信号表示举例 0( )sin()s tat0000()( )cos()sin()jtjtjs tatjata

17、eae e记做：0( )Rejtjs tae e根据5.1节结论2.2.基于复信号的确定性窄带信号的数学定义基于复信号的确定性窄带信号的数学定义 设实信号x(t)=A(t)cos0t+(t)，此处A(t)、 (t)为确知信号，如果满足如下条件，则称为窄带信号。 00cos()jtjatae e湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程( )( )( )jtA tA t e( )0 | |/2A(1)的频谱( )( ) ( )jtAFT A t e是限带的，即复信号的频谱也可能是双边的(2)0/ 2 ，使得：0( )( )jtX tA t e的频谱0( )()XA是单边带的，负角频处的

18、值为0。 0/2|( )|A 0 0|( )|X根据5.1节的结论，满足上述窄带定义情况下，( )X t的湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程实部与虚部满足希尔伯特变换关系，考虑到000( )( )0Re( )Re ( )Re ( )Re ( )( )cos( )jtjtjtjttX tA t eA t eeA t eA ttt0( )0Im( )Im ( )( )sin( )jttX tA t eA ttt于是得到关于窄带信号的重要关系式00 ( )cos( )( )sin( )H A tttA ttt00 ( )sin( )( )cos( )H A tttA ttt 窄带信

19、号的复信号表示0( )0( )( )cos( )Re ( )jtjtx tA tttA t eex(t)的复包络0( )0( )( )cos( )( )jtjtx tA tttA t ee0( )( )( )( )jtjtx tjx tA t ee( )Re( )X tX t湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程(1)3.3.随机信号的复信号表示随机信号的复信号表示 设X(t)为随机过程，如果某个复信号 满足如下条件，则称其为X(t)的复信号表示。 ( )X t(2)当( )X t的实部X(t)的取值为某个样本函数x(t)时,( )( )( )X tX tjX t其虚部的取值为样

20、本函数1( )( )x tx tt记做湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程4.4.基于复信号的窄带随机过程的数学定义基于复信号的窄带随机过程的数学定义 设随机实信号X(t)=A(t)cos0t+(t)，此处A(t)、 (t)为随机信号，分别称为X(t)的幅度随机过程与相位随机过程，如果满足如下条件，则称为窄带随机过程。 ( )( )( )jta ta t e( )0 | |/2a(1)的频谱( )( ) ( )jtaFT a t e是限带的，即对于X(t)的任意样本函数x(t)=a(t)cos0t+(t)(2)0/ 2 ，使得：0( )( )jtx ta t e的频谱0( )(

21、)xa是单边带的，负角频处的值为0。湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程根据前面5.1节的结论，对于X(t)的任意样本函数，满足00 ( )cos( )( )sin( )H a ttta ttt00 ( )sin( )( )cos( )H a ttta ttt 记做00 ( )cos( )( )sin( )H A tttA ttt 00 ( )sin( )( )cos( )H A tttA ttt 窄带随机过程的复信号表示0( )0( )cos( )( )jtjtA tttA t ee0( )0( )( )cos( )Re ( )jtjtX tA tttA t ee窄带随机过程

22、的复包络0( )( )( )( )jtjtX tjX tA t ee湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程4.4.随机信号的复信号的相关函数特性随机信号的复信号的相关函数特性( )( )( )X tX tjX t*( )()( )()()( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )2( )( )XXXXXXXXXXXXXRE X tXtEX tjX tX tjX tRjRjRRRjRjRRRjR根据5.1节性质(10)(9)1( )Re( )2XXRR复随机过程相关函数定义中第2个变量取共轭(参见稍后附录)湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程4(

23、)0( )2( )( )( )00XXXXGGGjGH附录：任意复随机变量(过程)的统计特性( )( )( )Z tX tjY t( )( )( )( ) ( )( )( )ZXYmtE X tjY tE X tjE Y tmtjmt方差(交流功率)：必须为正的实数，定义为22*22222( )|( )( )| ( )( ) ( )( ) |( )( ) ( )( )| ( )( ) ( )( ) ( )( )ZZZZXYXYXYtEZ tm tE Z tm tZ tm tEX tmtj Y tm tEX tmtY tm ttt实部、虚部之间不一定满足希尔伯特变换关系湖南大学教学课件：应用统计

24、学与随机过程 窄带随机过程相关函数RZ()：必须保证RZ(0)为信号的总功率(正实数)*( ) ()( ) ()() ( )( )ZRE Z tZ tE X tjY tX tjY t*22222222222(0) ( )( )|( )| ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )|( )|ZXXYYZZRE Z t ZtEZ tE XtYtE XtE YttmttmttmtZ(t)的交流功率Z(t)的直流功率练习：按照上述定义可以得到，复随机过程的功率谱密度为实的、非负的参见第2章维纳辛钦定理的证明过程，但不一定满足偶函数要求。湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过

25、程本节作业本节作业5.1 5.4 5.5 5.6窄带随机信号的统计特性窄带随机信号的统计特性5.31.1.工程上的窄带随机信号工程上的窄带随机信号湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程0( )0( )( )cos( )Re ( )jtjtY tA tttA t ee 从理论上讲，要求低通信号A(t)ej(t)在通能带外的频谱值严格为0，而实际的窄带信号并不满足这一要求；此时，如果要求0( )( )jtjtA t ee的实部、虚部逼近满足H变换的关系，则必须要求：0e e为低频窄带随机过程A(t)ej(t)的通能带(参见第4章)比较：低频限带外严格为0时只要求0e必存在，使得|-0

26、| 时，GY()0举例：宽带随机信号通过一个举例：宽带随机信号通过一个3dB3dB带宽远小于中带宽远小于中心频率的中频滤波器，输出逼近窄带随机过程心频率的中频滤波器，输出逼近窄带随机过程湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程tY(t)相位随机变化相位随机变化幅度随机变化幅度随机变化窄带随机信号的包络是慢变化的X(t) 03dBY(t)窄带系统窄带系统2.2. 窄带随机信号的准正弦表示窄带随机信号的准正弦表示湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程0( )( )cos( )Y tA ttt 其中，A(t),(t)为慢变化的随机过程相对于载波而言00000( )( )co

27、s( )( )cos( )cos()( )sin( )sin()( )cos()( )sin()csY tA tttA tttA tttA ttA tt 其中：AC(t)=A(t)cos (t) AS(t)=A(t)sin (t)AC(t)和AS(t)都是低频随机信号，称为窄带随机信号的同向分量和正交分量。3.3. 窄带随机信号的相关函数特性窄带随机信号的相关函数特性湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程对于实窄带随机过程Y(t)，功率谱密度函数为正偶函数，且分布于0附近频带内00/20/2/200/2/200/20011( )()()cos()2211()cos()()cos(

28、)1()cos() 1cos()()cos()1 sin()()jYYYYYYYYRGedGdGdGdGdGdG /2/2sin()d偶函数特性积分变量置换湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程0()YG在-/2, /2范围内如果是偶对称的， 0GY( ) 0- 0 0GY( + 0)-2 0/2-/2sin()是奇函数，则第2项积分为零；于是有：/200/201( )cos()()cos()( )cos()YYaRGdR 其中/20/21( )()cos()aYRGd一般是满足的湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程 0Ga( )/2-/2定义：0( )( )co

29、s()YaRR 则0()|/ 2()0|/ 2YaGG ()aG与( )aR为傅立叶变换对则Ra()为限带的， Ra()cos(0)为确定性窄带信号0( )( )sin()YaRR 偶函数奇函数包络根据5.1节窄带信号H变换关系以为变量的信号4.4.同相分量与正交分量的自相关函数同相分量与正交分量的自相关函数湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程000( )( )cos( )( )cos()( )sin()csY tA tttA ttA tt 根据窄带随机过程的希尔伯特变换关系000( )( )sin( )( )sin()( )cos()csY tA tttA ttA tt 上述

30、二元一次方程的解为(练习)：00( )( )cos()( )sin()cA tY ttY tt00( )( )sin()( )cos()sA tY ttY tt (*)结论：若窄带Y(t)随机过程是正态的，则( )Y t也是正态的(通过线性系统)，Ac(t), As(t)也是正态的(线性组合)湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程0000000000( )( )()( )cos()cos()( )cos()sin()( )sin()cos()( )sin()sin()( )cos()( )sin()cccYYYYYYYYRE A t A tRttRttRttRttRtR 根据(*

31、)式、相关函数定义、性质( )( )YYRR( )( )YYYRR ( )( )YYYRR以及三角函数性质得到(练习)同理可得：00( )( )()( )cos()( )sin()sssYYRE A t A tRR 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程( )( )( )csaRRR代入0( )( )cos()YaRR 0( )( )sin()YaRR 得到结论：(1)正交分量与同相分量具有相同的相关函数，且与窄带随机过程相关函数的包络函数相同; (2)正交分量同相分量与正态窄带过程服从相同方差的正态分布(0)(0)(0)(0)csaYRRRR湖南大学教学课件：应用统计学与随机过

32、程 窄带随机过程00( )( )()( )sin()( )cos()cscsYYRE A t A tRR 代入( )0csR0( )( )cos()YaRR 0( )( )sin()YaRR 得结论：窄带随机过程的同相分量与正交分量在任意相同/不同时刻都是正交的。如果窄带随机过程是正态的，则两个分量不仅是正态的，而且相互独立(练习)根据(*)式、相关函数定义、性质( )( )YYRR( )( )YYYRR ( )( )YYYRR以及三角函数性质得到5.5.同相分量与正交分量的互相关函数同相分量与正交分量的互相关函数湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程6.6. 窄带随机过程相关函

33、数的包络与窄带随机窄带随机过程相关函数的包络与窄带随机过程复包络的相关函数之间的关系过程复包络的相关函数之间的关系( )( )( )( )cos( )( )sin( )( )( )jtcsA tA t eA ttjA ttA tjA t*( ) ( )()( )( )()() ( )( )( )( )2( )AcscscssccsaRE A t A tEA tjA tA tjA tRRjRjRR窄带随机过程复包络的相关函数为实偶函数0( )( )cos( )Y tA ttt 0( )( )jtjtA t ee复信号复包络湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程 0GY( ) 0-

34、00( )( )cos( )Y tA ttt 0 0( ) / 2YG附录附录( (自学自学):):窄带随机过程各种信号窄带随机过程各种信号/ /功率谱关系功率谱关系0( )( )cos()YaRR 00( )( )( )( )jtjtjtY tA t eeA t e00*( ) ( )() ( )()2( )YjjaRE Y t YtE A t A teRe 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程 0 0( )cAG附录附录( (自学自学):):窄带随机过程各种信号窄带随机过程各种信号/ /功率谱关系功率谱关系( )2( )aARR( )( )cos( )cA tA tt( )

35、( )( )( ) / 2csaARRRR( )/ 2AG( )( )( )jtA tA t e( )sAG( )( )sin( )sA tA tt湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程 0 0( )cAG推论推论( (自学自学):):( )( )cos( )cA tA tt( )( )( )( ) / 2csaARRRR( )/ 2AG( )( )( )jtA tA t e( )sAG( )( )sin( )sA tA tt如果某个复随机过程的功率谱密度函数为低通限带正实偶函数则其实部随机过程与虚部随机过程是正交的，且具有相同的相关函数，为该复随机过程相关函数的1/2湖南大学教

36、学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程本节作业本节作业5-7 5-9 5-11 5-13窄带正态过程幅相概率分布窄带正态过程幅相概率分布5.41.1. 幅度过程及相位过程的一维概率密度分布幅度过程及相位过程的一维概率密度分布湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程00000( )( )cos( )( )cos( )cos()( )sin( )sin()( )cos()( )sin()csY tA tttA tttA tttA ttA tt Y(t)为平稳的零均值的，任意时刻服从方差为2的正态分布，根据5.3节的结论，则Ac(t)、As(t)也是平稳的，任意时刻服从均值为0、方差

37、为2的正态分布；且相互独立( )( )cos( )cA tA tt( )( )sin( )sA tA tt变量关系cos( )caasin( )saa任意时刻t处的样本取值关系湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程根据第1章多维随机变量函数的概率分布理论，任意t时刻的A(t)与(t)的联合概率密度分布函数为2222222( , ; , )(,; , )cos( )sin( )1expsin( )cos( ) 22exp (0,02 )22csccAcsA Asscsaaafat tfa a t taaaaaaaaaa湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程结论：窄带随

38、机过程任意时刻的幅度服从参数为2的瑞利分布，任意时刻的相位在0,2内服从均匀分布；且幅度随机过程A(t)与相位随机过程(t) 在同一时刻独立。20222( ; )( , ; , )exp (0)2AAfa tfat t daaa0( ; )( , )1 (02 )2 Aftfada显然有：( , ; , )( ; )( ; )AAfat tfa t ft瑞利分布均匀分布湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程2222222002222220expexp2220exp(expexp)1222aaaadadad 附录：瑞利分布性质(自学)概率密度分布的积分必须为122222200222

39、200 expexp221exp2exp2222(1/ 2)2aaaE Adaadaadada 瑞利分布随机变量的均值正态分布积分根据分部积分公式湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程3222222200222222200expexp222 exp2exp222aaaE Adaa daaaadada 瑞利分布随机变量的均方值瑞利分布积分222 (2)2Var AE AE A瑞利分布随机变量的方差22 (3,4,5,.)nnE AnE An根据分部积分公式2.2.幅度过程及相位过程的二维概率密度分布幅度过程及相位过程的二维概率密度分布( (拓展拓展/ /自学自学) )湖南大学教学课

40、件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程如何求随机变量A(t),A(t-)以及(t),(t-)的联合概率密度分布函数fA(a1,a2,), f(1,2,)?步骤1：求Ac(t),As(t), Ac(t- ),As(t-),的四维联合概率密度分布函数1122(,; )csA Acscsfaaaa令1122,Tcscsxaaaa1122( ),( ),(),()TcscsXAtAtAtAt112211( ; )exp (#)2(2 ) |csTA Afxx KxK四维联合正态分布零均值矢量情况湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程22220( )000( )( )000( )0aTaa

41、aRRKE XXRR 通过代数余子式伴随矩阵求得(练习)22142220( )000( )1( )( )000( )0aaaaaRRKRRR根据同向、正交分量相关函数、互相关函数性质湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程262234422|( )( )( )( )( )aaaaaKRRRRR行列式按第1行展开代入前面(#)式并展开得到(练习)112224242222221122121211(,; )exp(2 ) ( )2( ) ()2( )() csA AcscsaacscsaccssfaaaaRRaaaaRa aa a步骤2：根据A,与Ac,As之间的多维函数关系求A(t),

42、 (t), A(t-),(t-)的四维联合概率密度分布函数1122(,; )Afaa 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程多维函数关系为(此处直接给出了反函数)111111222222cos(), sin(),cos(), sin()cscsaaaaaaaa111222111222cos()sin()0000cos()sin()sin()cos()0000sin()cos()aaJaa根据上述关系求得雅可比矩阵为(练习)1212| |Ja aa a 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程根据多维函数的概率密度分布函数关系，得到1122112211112222122

43、4242222121221(,; ) |(,; )|cos(),sin(),cos(),sin(); 1exp(2 ) ( )2( ) ()2( )cos() cscsAA AcscsA AaaafaaJfaaaaJfaaaaa aRRaaRa a 1212(,0; 0,2 )a a 步骤3：根据A,的四维联合概率密度分布函数关系求A(t), A(t-) 的二维联合概率密度分布函数12(,; )Afa a湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程2212112212001 222242421200222121 2212221 21242422( ,; )( ,; )d1exp(2 )

44、 ( )2( )d () 2( )cos()()exp( )2( )1 (2 )AAaaaaaf a afaadaaRRdaaRaaaaaaRR 221 22112420022221 211 21214242420( )cos()expd( )( )cos( )()1expexp( )2( ) 2( )aaaaaaRaadRRaaaaaadRRR 内层积分为周期函数在一个周期内的积分,与初始相位2无关湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程2221 21 212120424242( )()( ,; )exp( )2( )( )aAaaaRaaaaaaf a aIRRR12(,0)a

45、 a 其中：2001( )exp cos( )2Ixxd称为第1类零阶修正贝塞尔函数(可以采用计算机数值计算方法计算)(或利用计算机语言的相关函数)步骤4：根据A,的四维联合概率密度分布函数关系求(t), (t-) 的二维联合概率密度分布函数12(,; )f 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程上式的积分比较烦琐，这里直接写出结果式中221( )cos() /aR1211221200( ,; )( ,; )dAffaada a 142221232422( ) (1)arccos( )( ,; )(2 )(1)aRf 12( 0,2 ) 3.3.窄带正态噪声加正弦信号的幅度与相位

46、分布窄带正态噪声加正弦信号的幅度与相位分布湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程000( )cos() cos( )cos()sin( )sin()s tStStSt(1) 基本关系式正弦信号窄带正态噪声000( )( )cos( ) ( )cos()( )sin()nncsN tA tttNttNtt 信号加噪声00000( )( )( ) cos( )( )cos() sin( )( )sin() ( )cos()( )sin()( )cos( )cscsY ts tN tSNttSNttA ttA ttA ttt 湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程2222

47、1(,; , )exp22cscsN Ncsnnfn n t tcos( )sin( )ccssnaSnaS10|101J2222(,; , ) |(,; , )cos( )sin( )1 exp22cscsA AcsN Ncscsfa a t tJfn n t taSaS联合正态分布多维变量经线性变换后依然是联合正态的( )( )cos( )cA tA tt( )( )sin( )sA tA tt变量关系cos( )caasin( )saa任意时刻样本取值关系根据变量关系湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程22222222( , ; , )(,; , )cos( )sin(

48、)(,; , )sin( )cos( )cos( )sin( )exp222cos()exp 22 (0,02 )cscsccAcsA AsscsA Acsaaafat tfa a t taaaafa a t taaSaSaaaSSaa将样本函数关系代入湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程2022222022222202222220( ; )( , ; , )2cos()exp221cos()expexp221cos( )expexp22AAfa tfat t daaSSadaaSSadaaSSad220222( ; )exp() (0)2AaaSSafa tIa(2) 幅度分

49、布结论：窄带正态噪声+正弦信号的幅度概率密度分布为广义瑞利分布 与信号幅度噪声方差有关周期函数在一个周期的积分与初相无关第1类零阶修正贝塞尔函数湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程(3) 窄带正态噪声+正弦信号的相位概率密度分布(自学)0222202222220212202( ; )( , ; , )2cos()exp2211cos ()exp22cos() exp2cos()cos()exp21 cos()Aftfat t daaaSSadaSaaSdaaSaSCdaS220cos()exp2aSda湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程22122cos()/2

50、2222cos ()2expcos()21 exp2212exp1cos() cos() /22cos () exp2SSSCxdxSSaS 21( )exp22xuxdu为概率积分函数(采用数值计算方法计算)积分变量置换:cos()aSx湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程本节作业本节作业5-18 5-19窄带正态噪声背景中的信号检测窄带正态噪声背景中的信号检测(自学自学)5.51.1.基于包络的单测量数据的信号检测基于包络的单测量数据的信号检测( (举例举例) )湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程000: ( )( )cos( ) (0)nnHY tA t

51、ttt 无信号情况下中频接收机输出为窄带噪声1000: ( )( )cos( )cos() (0)nnHY tA tttatt 有信号情况下中频接收机输出为窄带噪声与正弦信号对接收机输出信号进行包络检波,并得到一个采样数据110( ) (0 x0，判断为存在信号，求相对检测门限x0(2) 给出检测概率与信噪比=a/、门限x0的关系公式解：无信号时，窄带噪声的包络在任意时刻为瑞利分布2022( |)exp2Axxfx H00220022( |)expexp22FAxxxxxPfx Hdxdx无信号情况下xx0的概率02ln()FxP(1)(2) 有信号时，包络在任意时刻为广义瑞利分布湖南大学教学

52、课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程2210222( |)exp()2Axxaaxfx HI00002210222220220( |)exp()21exp()21exp()2DAxxxxxxaaxPfx H dxIdxxxax axIdyyIy dy 有信号情况下xx0的概率检测概率检测概率取决于相对检测门限及信噪比2.2.随机相位信号的能量积累检测随机相位信号的能量积累检测( (举例举例) )湖南大学教学课件：应用统计学与随机过程 窄带随机过程000: ( )( )cos( ) (1)(1) (1,2,.,)ininippHY tAtttiTtiTiN 无信号情况下中频接收机在每个接收周期的输出信号均为窄带噪声Tp：信号获取周期；每Tp发送和接收1次；N：周期数0：