第十讲个人住房抵押贷款模型

1、 一实际问题一实际问题 随着经济的发展，随着经济的发展， 金融正越来越多地进入普通人的金融正越来越多地进入普通人的生活：贷款、保险、养老金和信用卡等；个人住房抵押贷生活：贷款、保险、养老金和信用卡等；个人住房抵押贷款是其中重要的一项。款是其中重要的一项。19981998年年1212月，中国人民银行公布了月，中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平，其中贷款利率新的存、贷款利率水平，其中贷款利率( (当贷款期处于表当贷款期处于表中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者中所列相邻年限之间时，利率为对应相邻两数中较大者) )如表如表1 1所列，其后，西安商业银行对个人住房商业性贷款所列，其后，

2、西安商业银行对个人住房商业性贷款利率作出相应调整，以下的表利率作出相应调整，以下的表2 2和表和表3 3分别列出了报章公布分别列出了报章公布个人住房商业抵押贷款年利率和银行提供的个人住房商业个人住房商业抵押贷款年利率和银行提供的个人住房商业抵押贷款抵押贷款( (万元万元) )还款额的部分数据还款额的部分数据( (仅列出了五年仅列出了五年) )。第十讲 个人个人住房抵押贷款模型住房抵押贷款模型表表1 1：中国人民银行公布新的贷款利率：中国人民银行公布新的贷款利率表表2 2：西安商业银行公布新的贷款利率：西安商业银行公布新的贷款利率 表表3 3：个人住房商业抵押贷款还款额的部分数据：个人住房商业抵

3、押贷款还款额的部分数据( (五年五年) ) 二、模型假设二、模型假设 1.1.在较长的时期内中央银行存贷款利率保持不变。在较长的时期内中央银行存贷款利率保持不变。 2.2.在较长时期内职工收入相对稳定，具有足够的偿还在较长时期内职工收入相对稳定，具有足够的偿还能力。能力。 3.3.仅考虑因贷款而应支付的利息，不考虑其它所需费仅考虑因贷款而应支付的利息，不考虑其它所需费用（如贷款的手续费、公正费等）。用（如贷款的手续费、公正费等）。 三、模型的分析及建立三、模型的分析及建立 以商业性贷款以商业性贷款1000010000元为例来考察，一年期贷款的年元为例来考察，一年期贷款的年利率为利率为6.126

4、.12，到期一次还本付息总计，到期一次还本付息总计1061210612元，元， 这很容这很容易理解易理解. . 然而二年期贷款的年利率为然而二年期贷款的年利率为6.2556.255， 月还款数月还款数444.356444.356元为本息总额元为本息总额10664.5410664.54元的二十四分之一，这后元的二十四分之一，这后两个数字究竟怎样产生的呢？是根据本息总额算出月还款两个数字究竟怎样产生的呢？是根据本息总额算出月还款数还是恰好相反（从数还是恰好相反（从6.2556.255似乎不那么明显能得到似乎不那么明显能得到10664.5410664.54）？让我们稍微仔细一些来进行分析）？让我们稍

5、微仔细一些来进行分析. .由于贷款由于贷款是逐月等额归还的，就有必要考察每个月欠款余额的情况是逐月等额归还的，就有必要考察每个月欠款余额的情况. . 设贷款后第设贷款后第k个月时欠款余数为个月时欠款余数为Ak元元, ,月还款为月还款为m元，元，则由则由Ak变化到变化到Ak+1+1，除了还款数外，还有什么因素参与？，除了还款数外，还有什么因素参与？无疑就是利息无疑就是利息. . 但时间仅过了一个月，当然应该用月利率，但时间仅过了一个月，当然应该用月利率，设其为设其为r, , 从而得到从而得到 Ak+1-Ak=rAk-m或者或者 Ak+1=（1+r）Ak - m (1) (1)连同开始的贷款数连同

6、开始的贷款数 A0 0=10000 (2) =10000 (2) 这就是问题的数学模型这就是问题的数学模型. . 我们知道月利率我们知道月利率r 与年利率与年利率R关系关系 （1+1+r ) )1212= =R+1根据微分近似计算公式可得根据微分近似计算公式可得12(1)112rr所以所以 即月利率近似为年利率即月利率近似为年利率R平均平均, ,故取年利率为故取年利率为R=0.06255=0.06255，其月利率为其月利率为 （3 3） 12Rr 0.062550.005212512r 若若m是已知的，则由式是已知的，则由式(1)(1)可以依次求出可以依次求出Ak中的每一中的每一项，我们称项，

7、我们称(1)(1)为差分方程为差分方程. .1(1)kkAr Am 四问题的解法与讨论四问题的解法与讨论. . 月还款额月还款额 二年期的贷款在第二年期的贷款在第2424个月时还清个月时还清, ,即即 A2424=0 (4)=0 (4)为求为求m的值的值, , 令令 Bk=Ak- -Ak-1 , , k=1,2, =1,2, (5) (5)由式由式(5)(5)和和(6), (6), 可知可知12kBBB111(1)(1)kBrr 10(1)1()krAAr00(1)1(1)krr AmAr从而得到差分方程从而得到差分方程(1)(1)的解的解010211()()()kkkAAAAAAAA 1(1

8、)kkAr Am 将将A24 、A0 、r 的值和的值和k=24=24代入，可解得代入，可解得m=444.3560(=444.3560(元元),),这与表这与表3 3中的数额完全一致中的数额完全一致, ,这样我们就了解了还款额的确这样我们就了解了还款额的确定方法定方法. .表表3 3：个人住房商业抵押贷款还款额的部分数据：个人住房商业抵押贷款还款额的部分数据( (五年五年) ) 0(1)(1)1kkkmAArrr （7 7） 我们知道还款数额表的制定依赖于年利率的变化，而我们知道还款数额表的制定依赖于年利率的变化，而后者又是怎样制定的呢？尽管我们无法获知银行方面的各后者又是怎样制定的呢？尽管我

9、们无法获知银行方面的各种考虑，但还是可以通过比较分析得出一些有用的结论种考虑，但还是可以通过比较分析得出一些有用的结论. . 表表1 1：中国人民银行公布新的贷款利率：中国人民银行公布新的贷款利率表表2 2：西安商业银行公布新的贷款利率：西安商业银行公布新的贷款利率 首先注意表首先注意表2 2商业性贷款利率中有两个数据与中央银商业性贷款利率中有两个数据与中央银行公布的表行公布的表1 1中数据相同，不过相应的贷款年限则放宽了中数据相同，不过相应的贷款年限则放宽了一档：一档：6.126.12是一年期而在表是一年期而在表1 1中是上一档半年期中是上一档半年期,6.66,6.66是五年期而在表是五年期

10、而在表1 1中是上一档三年期中是上一档三年期. . 其次再考察表其次再考察表2 2商业性贷款二、三、四年的利率，我商业性贷款二、三、四年的利率，我们把这三个数字是如何得到的问题留给读者们把这三个数字是如何得到的问题留给读者, ,答案将是简答案将是简单的单的. . 依据这两个结论，请读者自己制定出住房商业性贷款依据这两个结论，请读者自己制定出住房商业性贷款直至二十年的利率表和还款额表直至二十年的利率表和还款额表. . . . 还款周期还款周期 我们知到个人住房贷款是采取逐月归还的方法我们知到个人住房贷款是采取逐月归还的方法, ,虽然虽然依据的最初利率是年利率依据的最初利率是年利率. .那么如果采

11、取逐年归还的方法那么如果采取逐年归还的方法, ,情况将如何呢情况将如何呢? ? 仍以二年期贷款为例仍以二年期贷款为例, ,显然显然, ,只要对公式只要对公式(7)(7)中的月利中的月利率率r=0.0052125=0.0052125代之以年利率代之以年利率R=0.06255, =0.06255, 那么由那么由k=2, A2=0, A0=10000, 则可求出年还款额应为则可求出年还款额应为0(1)(1)1kkkmAArrr 3867.4735m这样本息总额将为这样本息总额将为 ( (元元) )210947.73m 这远远超出逐月还款的本息总额这远远超出逐月还款的本息总额10664.54 (106

12、64.54 (元元).). 注意到人们的收入一般均以月薪方式获得，因此逐月注意到人们的收入一般均以月薪方式获得，因此逐月归还法对于贷款者是合适的归还法对于贷款者是合适的. . 那么缩短还款周期对于贷款本息总额的影响如何？这那么缩短还款周期对于贷款本息总额的影响如何？这是值得研究的一个问题是值得研究的一个问题. . 读者可以做进一步的讨论读者可以做进一步的讨论. .1(1)kkAr Am 我们回到差分方程我们回到差分方程(1),(1),若令若令Ak+1=Ak=A , ,可解出可解出 (8)(8)称之为差分方程称之为差分方程(1)(1)的平衡点或不动点的平衡点或不动点. .mAr . . 平衡点平

13、衡点 显然，当初始值显然，当初始值 时时, ,将恒有将恒有. .0mAr (0,1,2,)kmAkr 我们回到差分方程我们回到差分方程(1),(1),若令若令Ak+1=Ak=A , ,可解出可解出 (8)(8)称之为差分方程称之为差分方程(1)(1)的平衡点或不动点的平衡点或不动点. .mAr . . 平衡点平衡点 显然，当初始值显然，当初始值 时时, ,将恒有将恒有. .0mAr (0,1,2,)kmAkr在住房贷款的例子中，这意味着如果贷款月利率在住房贷款的例子中，这意味着如果贷款月利率r 和月还和月还款额款额m是固定的是固定的, ,则当初始贷款额为则当初始贷款额为 时时, ,每月还款额恰

14、每月还款额恰mr 对一般的差分方程对一般的差分方程 Ak+1=f (Ak), (9) (9)当初始值稍大于或小于差分方程的平衡点当初始值稍大于或小于差分方程的平衡点, ,若若 AkA0 ( (k) ) (10) (10)0(1)(1)1kkkmAArrr 好好抵上利息，因此所欠款始终保持不变抵上利息，因此所欠款始终保持不变. .而当初始贷款额而当初始贷款额稍大于或小于稍大于或小于 时，从方程解的表达式时，从方程解的表达式(7)(7)容易看出：欠容易看出：欠款额款额Ak随着随着k的增大越来越远离的增大越来越远离 , , 这种情况下的平衡点这种情况下的平衡点称为不稳定的称为不稳定的. .mrmr则

15、称则称A为稳定的，否则，称为稳定的，否则，称A为不稳定的为不稳定的. . 判别平衡点判别平衡点A是否稳定的一个方法是考察导数是否稳定的一个方法是考察导数 : : 当当 , , A是稳定的；当是稳定的；当 , , A是不是不稳定的稳定的. .|( )| 1fA |( )| 1fA 平 衡 点 和 它平 衡 点 和 它的稳定性是在差分的稳定性是在差分方程及其应用中十方程及其应用中十分重要的概念。分重要的概念。 五其他问题五其他问题 在金融乃至经济等其他领域中，许多问题的数学模型在金融乃至经济等其他领域中，许多问题的数学模型都可以用差分方程来表达都可以用差分方程来表达. .这里再介绍两个典型的例子这

16、里再介绍两个典型的例子. . . . 养老保险养老保险 养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型养老保险是与人们生活密切相关的一种保险类型. .通通常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择，常保险公司会提供多种方式的养老金计划让投保人选择，在计划中详细列出保险费和养老金的数额在计划中详细列出保险费和养老金的数额. .例如某保险公例如某保险公司的一份材料指出：在每月交费司的一份材料指出：在每月交费200200元至元至6060岁开始领取养岁开始领取养老金的约定下老金的约定下, ,男子若男子若2525岁起投保岁起投保, ,届时月养老金届时月养老金22822282元；元；若若3535岁起投保

17、，月养老金岁起投保，月养老金10561056元；若元；若4545岁起投保，月养老岁起投保，月养老金金420420元元. .我们来考察这三种情况所交保险费获得的利率我们来考察这三种情况所交保险费获得的利率. . 设投保人在投保后第设投保人在投保后第k个月所交保险费及利息的累计个月所交保险费及利息的累计总额为总额为Fk，p, q分别表示分别表示6060岁前所交月保险费和岁前所交月保险费和6060岁起所岁起所领月养老金的数目领月养老金的数目( (单位单位: :元元) )，r是所交保险金获得的利率，是所交保险金获得的利率， N, M分别是自投保起至停交保险费和至停领养老金分别是自投保起至停交保险费和至

18、停领养老金的时间的时间( (单位单位: :月月). ). 那么很容易得到数学模型那么很容易得到数学模型 11(1)0,1, ,(11)(1)1,2,(12)kkkkFFrpkNFFrqkNNM 显然显然M依赖于投保人的寿命依赖于投保人的寿命, ,我们取我们取M为该保险公司养老为该保险公司养老金计划所在地男性寿命的统计平均值金计划所在地男性寿命的统计平均值7575岁岁. .以以2525岁起投保岁起投保为例。为例。200,2282;420,600.pqNM 于是于是如同推出差分方程如同推出差分方程(1)(1)的解那样的解那样, ,不难得到不难得到 0(1)(1)1 0,1,. (13)(1)(1)

19、1 1,2,. (14)kkkk Nk NkNpFFrrkNrqFFrrkNNMr 在式在式(13)(13)中取中取k=N而在式而在式(14)(14)中取中取k=M并注意到并注意到F0=0=0，FM=0 ,=0 ,这样只要消去这样只要消去FN, ,就可以导出关于就可以导出关于r的一个方程的一个方程: :0(1)1(1)(1)1NM NM Npqrrrrr (1)(1)(1)0MMNqqrrpp 整理得整理得200,2282;420,600.pqNM 记记x= =r+1 ,+1 ,且将已知数据代入且将已知数据代入, ,则只需求解方程则只需求解方程60018012.4111.410 xx（1616

20、）利用利用Newton法借助计算机编程或用数学软件能很方便求法借助计算机编程或用数学软件能很方便求出方程的实根出方程的实根, ,不过注意我们要求的根显然略大于不过注意我们要求的根显然略大于1,1,高次高次方程方程(16)(16)可能有另一些根在其附近可能有另一些根在其附近, ,因此求解的初始值应因此求解的初始值应作选择并对所得的根是否合理进行分析作选择并对所得的根是否合理进行分析. .可以得出可以得出 1.004850.00485xr对于对于3535岁起和岁起和4545岁起投保的情况，易得保险金所获得的月岁起投保的情况，易得保险金所获得的月利率分别为利率分别为0.004610.00461和和0

21、.00463. 0.00463. 由于银行利率和投保人群寿命等随机因素，保险费的由于银行利率和投保人群寿命等随机因素，保险费的计算是比较复杂的。但通过分析，我们对其总体的利率还计算是比较复杂的。但通过分析，我们对其总体的利率还是可以得到大致的估计是可以得到大致的估计. . . . 金融公司的支付基金的流动金融公司的支付基金的流动 某金融机构为保证现金充分支付某金融机构为保证现金充分支付, ,设立一笔总额设立一笔总额$540540万的基金万的基金, ,分开放置在位于分开放置在位于A城和城和B城的两个公司城的两个公司, ,基金在基金在平时可以使用平时可以使用, ,但每周末结算时必须确保总额仍为但每

22、周末结算时必须确保总额仍为$540540万万. .经过相当一段时期业务情况经过相当一段时期业务情况, ,发现每过一周发现每过一周, ,各公司的支付各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内基金在流通过程中多数还是留在自己公司内, ,而而A城公司城公司有有1010支付基金流动到支付基金流动到B城公司，城公司，B城公司则有城公司则有1212支付支付基金流动到基金流动到A城公司城公司. .此时此时, ,A城公司基金额为城公司基金额为$260260万万, ,B城城公司基金额公司基金额$280$280万万. .按此规律按此规律, ,两公司支付基金数额变化趋两公司支付基金数额变化趋势如何势如何?

23、?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220$220万万, ,那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避免这种情形免这种情形? ? 设此后第设此后第k k周末结算时周末结算时, ,A城公司和城公司和B城公司的支付基城公司的支付基金数分别为金数分别为ak和和bk( (单位单位: :万美元万美元),),那么有那么有 110.90.121,2,(17)0.10.88kkkkkkaabkbab 这是一个差分方程组这是一个差分方程组, ,连同初始条件连同初始条件 给出了这个问题的数学模型给出了这个问题的数学模型.

24、 .通过依次迭代通过依次迭代, ,可以求出各周可以求出各周末时末时ak和和b bk k的数值的数值, ,下表列出了下表列出了1 1至至1212周末两公司的基金数周末两公司的基金数( (单位：万美元单位：万美元) )00260,280ab 267.6272.4288.477251.523273.528266.472289.812250.188278.152261.848290.854249.146281.758258.242291.666248.334284.572255.428292.299247.701286.766253.234292.793247.207可以看出可以看出A城公司支付基金数

25、在逐步增加城公司支付基金数在逐步增加, ,但增幅逐步变但增幅逐步变小小; ;B 城公司的基金数变化则正好相反城公司的基金数变化则正好相反. .然而然而ak是否有上界、是否有上界、bk是否有下界是否有下界? ? bk是否会小于是否会小于220220？我们还是不能断言？我们还是不能断言. .进进行更多的迭代或许得出更明显的提示行更多的迭代或许得出更明显的提示, ,不过这里将不再进不过这里将不再进行了行了. . 解决这问题不止一种方法解决这问题不止一种方法, ,若利用线性代数的知识将若利用线性代数的知识将差分方程组差分方程组(17)(17)写为矩阵的形式写为矩阵的形式 110.90.12(19)0.

26、10.88kkkkaabb 110.90.120.10.88kkkkkkaabbab 其中其中(a0, b0)T=(260,280)=(260,280)是初始值是初始值. .从式从式(20)(20)出发出发, ,无论进无论进行迭代计算或者分析求得原问题行迭代计算或者分析求得原问题(17)(17)、(18)(18)的解都较为容的解都较为容易易, ,请读者完成自己这项工作请读者完成自己这项工作, ,在解决的过程中回顾前面介在解决的过程中回顾前面介绍的平衡点及其稳定性是十分有益的绍的平衡点及其稳定性是十分有益的. .那么我们就可以得到那么我们就可以得到 000.90.12(20)0.10.88kkk

27、aabb 1. 1. 确定表确定表2 2中二、三、四年期贷款的利率是如何产生中二、三、四年期贷款的利率是如何产生的的( (可以用图象来帮助分析可以用图象来帮助分析) )，然后推导出相应的一至五年，然后推导出相应的一至五年万元贷款的还款额表与表万元贷款的还款额表与表3 3比较验证比较验证. . 2. 2. 试制定一张完整的个人住房商业贷款试制定一张完整的个人住房商业贷款( (万元万元) )利率和利率和还款表还款表, ,贷款期从一年至二十年，表中应包含以下各项：贷款期从一年至二十年，表中应包含以下各项：贷款期贷款期( (年、月年、月) )，年利率，月利率，月还款额和本息总额，年利率，月利率，月还款

28、额和本息总额. . 注意个人住房十年期贷款的年利率为注意个人住房十年期贷款的年利率为7.207.20，十年以上贷，十年以上贷款年利率不变，仍为款年利率不变，仍为7.207.20. . 作业七作业七 3. 3. 小李夫妇曾经准备申请商业贷款小李夫妇曾经准备申请商业贷款1010万元用于购置万元用于购置住房，每月还款住房，每月还款880.66880.66元，元，2525年还清年还清. .此时，房产商介绍此时，房产商介绍的一家金融机构提出：贷款的一家金融机构提出：贷款1010万元，每半月还款万元，每半月还款440.33440.33元元, , 2222年还清年还清, , 不过由于中介费、手续费等原因，贷款时要预不过由于中介费、手续费等原因，贷款时要预付付40004000元元. .小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年小李考虑，虽然预付费用不少，可是减少三年还款期意味着减少还款近还款期意味着减少还款近1 1万万6 6千元，而每月多跑一趟，那千元，而每月多跑一趟，那不算什么，这机构的条件似乎还是蛮优惠的不算什么，这机构的条件似乎还是蛮优惠的. .试分析情况试分析情况是否这样？是否这样？ 4. 4. 从还款周期的比较看出，逐月还款比逐年还款付从还款周期的