几类不同增长的函数模型82109

1、3.2.1几类不同增长的函数模型问题情景 假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？ 阅读课本95 97页例1，边阅读边思考下面的问题：【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？ 在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？构建数学探究一投资天

2、数、回报金额解:设第x天所得回报是 y元，则方案一：方案二：方案三： 在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？探究一 上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长情况：探究二 请同学们对函数增长情况进行分析,方法是列表观察或作出图象观察.x/天 方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元1400100.40.4240020100.80.8340030101.61.6440040103.23.2540050106.46.46400601012.812.8740070102

3、5.625.68400801051.251.294009010102.4102.41040010010204.83040030010214748364.8107374182.4 根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？三种方案每天回报表x42681012y20406080100120140o 底数为2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？ 你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？ 方法2：我们来作出三种方案的三个函数的图象：1234567891011方案一40801201602002402803203604

4、00440方案二103060100150210280360450550660方案三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8结论: 投资16天,应选择方案一; 投资7天,应选择方案一或二; 投资810天,应选择方案二; 投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.回报天数方案累计回报表：方案一方案二方案三你30天内给公司的回报为:0.01+0.012+0.0122+ +0.01229300万元解答:公司30天内为你的总投资为:情景问题解答 假如某公司每天向你投资10万元,共投资30天.公司要求你给他的回报是:第一天给公司1分钱，第二天给公司2分钱，以后每天

5、给的钱都是前一天的2倍，共30天,你认为这样的交易对你有利吗？=10737418.231074(万元).1074-300=774 (万元).实际应用问题分析、联想抽象、转化构建数学模型解答数学问题审 题数学化寻找解题思路还原(设)(列)(解)(答) 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y

6、=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？ 本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？ 一次函数模型 实质:分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就是比较三个函数的增长情况 y=0.25xy=log7 x +1, 对数函数模型 指数函数模型y=1.002x探究一 销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等式表示为_. 依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为_. 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为_.10 x1

7、0000y50y25%x 你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?探究二 你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 奖励模型符合公司要求就是依据这个模型进行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%. 因此,在区间10,1000上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果.探究三40060080010001200200 1 2 3 45678xyoy=5y=0.25x探究四 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？探究四 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？对于模型y=

8、0.25x,它在区间10,1000上递增,当x20时,y5,因此该模型不符合要求;探究四 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？对于模型y=1.002x,它在区间10,1000上递增, 观察图象并结合计算可知,当x806时,y5,因此该模型不符合要求.探究四 通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？ 对于模型y=log7x+1,它在区间10,1000上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时, y=log71000+14.551),幂函数y=xn (n0)与指数函数y = ax (a 1)在区间(0,+)上都是增函数,但它们的增长是有差异的.那么这种差异的具体情况到底是

9、怎样呢?以函数y = 2x , y=log2x , y=x2为例.探究一制作函数值表(借助计算器制表).观察表格,三个函数的增长速度是不同的. 总体来讲随着x的增大, y=log2x的增长速度最慢; y = 2x和y=x2的增长速度有变化,一开始, y = 2x的增长速度快,后来y=x2增长速度快.1234xyo1y=log2xy=x2y = 2x探究一画函数图象(描点或借助计算机作图).观察图象可以看出:三个函数的增长速度是不同的,你能根据图象分别标出不等式log2x2xx2和 log2xx22x成立的x的取值范？(1) 0 x4时,(2) 2 x x2,有时2xx2但当x越来越大时, 2x

10、的增长速度远快于x2.问题(2)观察图象,试求出可使下列不等式成立的x的取值范围.(1)0 x4时,(2)2x1),指数函数y = ax (a 1)与幂函数y=xn (n0) 都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上. 随着x的增大, y = ax (a 1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn (n0)的增长速度,而y=logax (a1)的增长速度则会越来越慢.因此总存在一个x0,当 x x0时,就会有3. 幂函数，指数函数，对数函数增长速度的一般结论结论1: 的增长快于 的增长，所以存在一个 ，使x 时,有 .结论2: 的增长快于 的增长，所以存在一个 ，使x

11、时,有 .结论3：在区间（0，+）上，函数 (a1） （a1), (n0)都是增函数，但它们的增长速度不同。随着x的增大 (a1） 的增长速度越来越快，远远大于 （n0) 的增长速度，而 (a1)的增长速度则越来越慢，因此，会存在一个 ，当 时，有探究以函数 为例.思考:你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0a1),y=ax(0a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)上衰减情况吗?结论:在区间(0,+)上,尽管对数函数y=logax (0a1), y = ax (0a1)与y=xn (n0) 都是减函数,但它们的衰减速度不同,而且不在同一个“档次”上. 随着x的增大, y=loga

12、x (0a1)的衰减速度越来越快,会超过并远远大于y = ax (0a1)的衰减速度,而y=xn (nx0时,就会有3.你能用同样的方法,讨论函数y=logax(0a1), y=ax(0a1)与幂函数y=xn(n0)在区间(0,+)上衰减情况吗? 【1】四个变量y1, y2, y3, y4随变量x变化的数据如下表：1.0051.01511.04611.14071.42952.310751551301058055305337331758.294.478545053130200511305051305302520151050关于x呈指数型函数变化的变量是_.(练习P.981)练一练练一练 【2】某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？(练习P.982)2.答案:第5轮病毒发作时最多会有160万台被感染课堂小结确定函数模型利用数据表格、函数图象讨论模型体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义 布置作业 课本P.39A 5P.39 2例2、 探究：公司有哪些要求，你能用 数学语言表达出来吗？