高等数学D_第3章导数与微分 课件

1、1第三章 导数与微分3.1 导数的概念3.3 导数公式 导数运算法则3.2 函数的可导性与连续性3.4 导数的实际应用3.5 高阶导数3.6 微分的概念3.7 微分公式和法则3.8 微分的应用2问题1直线运动的瞬时速度问题一质点作直线运动,已知路程 s 与时间 t 的试确定t0时刻的瞬时速度v(t0).平均速度解若运动是匀速的,瞬时速度就等于平均速度。关系质点走过的路程,00tttD+从时刻3.1 导数的概念差商3它越近似表定义为并称之为t0时的瞬时速度v(t0).若运动是非匀速的,平均速度就是这段时间内运动快慢的平均值, 越小,明 t0 时刻运动的快慢.因此, 人们把 t0时的速度0limD

2、t4例. 已知自由落体运动的运动公式是 在任意时刻 的瞬时速度是：0limDt5问题2割线的极限位置对于一般曲线如何定义其切线呢?曲线的切线斜率问题若已知平面曲线如何作过的切线呢？切线位置.曲线上点法国数学家费马1629年提出了如下的定义和求法,从而圆满地解决了这个问题.6处切线的斜率.已知曲线的方程确定点 MN为割线，当点N沿曲线趋于点M时,现在来解决以下问题：则MT为点M处的如图,MN旋转而趋向极限位置MT,切线.7割线MN的斜率为切线MT的斜率为差商差商的极限0limxx8曲线在点的切线是 解：令 ，得到切线斜率 所求切线是： 在 例处的切线.求函数处的差商求函数在9 就其实际意义来说各

3、不相同, 关系上有如下的共性:但在数量1. 在问题提法上,都是已知一个函数求y关于x在x0处的变化率.2. 计算方法上,上述两例,分别属于运动学、几何学中的问题,均需要做以下极限运算：10定义二、导数的定义存在,则称函数在点如果函数在 处的差商的极限可导，并称这个极限为函数或记为处不可导或导数不存在.当极限(1)式不存在时,就说函数 f (x)在x011注写成多种形式:导数定义可以或令则(2)(3)(1)12关于导数的说明点导数是函数在点x0处的变化率,它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度，即函数的变化率.无论何种形式，其本质在于(1)函数增量与自变量增量之比；(2)变化过程为自变量增量

4、趋近于零.13(1)变速直线运动的物体在 的瞬时速度 是路程函数 在点 处的导数，即(2)曲线 在 的切线斜率k 是函数 处的导数，即有了导数的概念，则14特别地:即三、导数的几何意义由切线问题，切线的斜率就是极限值)(,()(,0)()1(000 xfxxfyxf在点则曲线若=;轴的切线平行于Ox1516例 求函数 在 处的导数. 解：按照导数定义的另一种形式：处的导数：在 1735例用导数表示下列极限解练习解18如果函数y = f (x)在开区间 I 内的每点处都可导,就称函数 f (x)在开区间 I 内可导.四、导函数定义3.2记作 对于任一都对应着 f (x)的一个确定的导数值.这个函

5、数称为f (x)的导函数.导函数简称为导数.从而确定了一个以x为自变量，以导数值为因变量的新的函数，19注或函数在某点的导数就是导函数在这点的函数值根据导数的定义，20例解五、求导举例(几个基本初等函数的导数) 步 骤 即21例解更一般地如即22例解即同理可得课下练习23例解即24例解即253.1 导数的概念小结1.导数定义(2)(3)(1)262.导数意义273.2 函数的可导性与连续性一定不可导. 从右图可见，在 处没有切线因而不可导，处连续. 从左图可见，函数在点 处不连续，没有切线，却在28定理3.1证明：即从而3.2 函数的可导性与连续性该定理的逆定理不一定成立.注29例讨论函数 在

6、 x=0处的连续性和可导性.解在x=0处的连续性是显然的.但在x=0处，由于所以是不可导的.问：函数在此点处，是不是不存在切线？事实上，在此点处，函数存在铅直的切线！30例解31如,该定理的逆定理不一定成立.注连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.327分段函数求导函数导数的公式 是一个极限式，和右极限的概念. 也有左极限左极限 的左导数，称为函数在点 记作右极限 的右导数，称为函数在点 记作33如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数 在点 的导数不存在. 直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在. 34例 求西瓜的价格函数 的导数.解：在 就是西瓜的单价.导数在分段点 ， 右导数

7、左导数不存在.结论:的导数不存在. 事实上函数在不连续，因此一定不可导.注：在函数在点35连续 可导3.2 函数的可导性与连续性小结连续是可导的必要条件,不是可导的充分条件.363.3 导数公式 导数运算法则1. 常数和基本初等函数的导数公式（第48页）373. 反函数的求导法则复合函数的求导法则2. 函数的线性组合、积、商的求导法则5、隐函数的求导法则6、对数求导法7、分段函数求导1. 常数和基本初等函数的导数公式（第48页）3.3 导数公式 导数运算法则382. 函数的线性组合、积、商的求导法则39法则(2)的证明：（其中 ，是因为 的连续性） 40例解例 解： 求的导数41例解42例解课

8、下练习即43例解课下练习即xxxcotcsc)(csc.-=44练习解法一法二453. 反函数的求导法则且,内也可导xI事实上，在点 的切线与x轴和y轴的夹角 的和是 ，所以46例解同理可得单调、可导,直接函数 反函数 473.3 导数公式 导数运算小结1. 常数和基本初等函数的导数公式（第48页）483. 反函数的求导法则复合函数的求导法则2. 函数的线性组合、积、商的求导法则5、隐函数的求导法则将方程两边同时对x求导.6、对数求导法等式两边取对数7、分段函数求导左、右导数定义49 链导法则复合函数的求导法则可导,且其导数为或因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量

9、求导.,)(可导在点如果函数xxgu=,)(可导在点xgu=xxgfy在点则复合函数)(=50复合函数求导法则的证明当 时，因为 可导因而连续，所以有 51推广例解uyddvudd.ddxvxudd52例解练习53例解例解54例证明幂函数的导数公式： 证明： 55对于方程 当x取某一个值时，如果总有满足方程的唯一的 y 值存在，就说方程 确定了一个隐函数.函数称为显函数.5、隐函数的求导法则回顾:隐函数的显化有时很困难，甚至不可能！但在实际的计算中，有时需要计算隐函数的导数.所以，必须找到一种不经过显化而求隐函数的导数的方法.56例(1)求由圆的方程 （2）求 处曲线切线的斜率.（1）确定的隐

10、函数的导数将方程两边同时对x求导,因为y是x的函数, 是x的复合函数.所以得整理得到解：57处，对于圆的上半支曲线 切线斜率是 对圆的下半支曲线 切线斜率是 （2）求 处曲线切线的斜率.58 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.的方程.y是x的函数,于是y的函数 便是x的复合函数,59练习解将方程两边同时对x求导.因为y是x的函数, 是x的复合函数,所以左边对x求导得方程右边对x求导得0.所以即60作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.对数求导法先在方程两边取对数, 然后利用隐

11、函数的求导法求出导数.6、对数求导法61解例当0 x 1时，等式两边取对数得 隐函数62例解等式两边取对数得63两边对x求导得等式两边取对数得)(ln)(xuxv64注 复合函数改写成例则幂指函数也可以利用对数性质化为再求导,657、分段函数求导函数导数的公式 是一个极限式，和右极限的概念. 也有左极限左极限 的左导数，称为函数在点 记作右极限 的右导数，称为函数在点 记作66如果左、右导数不存在或存在但不相等，都称函数 在点 的导数不存在. 直观上，曲线在这一点没有切线，导数就不存在. 67例 求西瓜的价格函数 的导数.解：在 就是西瓜的单价.导数在分段点 ， 右导数左导数不存在.结论:的导

12、数不存在. 事实上函数在不连续，因此一定不可导.注：在函数在点683.4 导数的实际应用1.变化率表示自变量在以 和 为端点的区间里函数的平均变化量，平均变化率. 当 时，在 反映了函数 的变化率.慢程度. 差商每变动一个单位时，因此差商就是称为函数随自变量在的变化而变化的快69速度 的变化率： 意义是单位时间质点经过的距离. 是路程 对时间 例如：加速度 单位时间质点改变的速度；是速度 对时间 的变化率： 意义是12在热力学中，热容量 温度改变1个单位时从外界吸收或放出的热量；是热量 对温度 3的变化率： 意义是：70在生物学中，动物体重的增长速率是体重 对时间 的变化率： （单位时间体重的

13、改变量）在环境评价学中，垂直递减率： （每单位距离（一般是100m）气温的增加量或减少量）45随高度 气温变化的气温71例25. 吨矿石需要的费用是 元， 它的实用含义是什么？ 解： 的单位是元吨， 元吨，可以表示矿石在开采 1000吨后，所需的费用大约为100元. 设开采再开采1吨72表格给出的函数如何估计变化率某种植物每10天测量的植株的高度 通过表格给出：利用差商来估计函数在每点的变化率. 栽后天数2030405060708090100 植株高度 cm 6.612.319.841.255.061.266.068.570.5设函数是 则在时间 差商是 的值就代表各点的变化率值.其中 用这个

14、式子计算73例如第20天的变化率：（cm/天） 它表示在第20天时，植株每天大约增长0.57cm. 74 3.4 导数的实际应用小结导数称为变化率 表示函数 对自变量x的变化率。75问题:变速直线运动的加速度.定义这就是二阶导数的物理意义3.5 高阶导数二阶导数.记作76三阶导数的导数称为二阶和二阶以上的导数统称为二阶导数的导数称为高阶导数.三阶导数,四阶导数, n阶导数, 记作一般地,77例解 由高阶导数的定义,欲求函数的高阶导数,只需按求导法则和基本公式一阶阶的算下去,而不需要新的方法.78例解几个基本初等函数的n阶导数 则幂函数 79例解 分析此函数是6次多项式, 故不需将函数因式全乘出

15、来.因为其中为x的5次多项式, 故又是求6阶导数,80例解同理可得即三角函数 81例解例解指数函数 对数函数 82几个常用高阶导数公式83例解22)1(1)2(1-=xxy84 求n阶导数需要运用技巧使问题简化.尽可能化为求某些熟知函数的n阶导数公式,通过四则运算, 变量代换,恒等变形，85例解若直接求导,将是很复杂的,且不易找出规律,所以将式子恒等变形.86 3.5 高阶导数小结二阶导数.87相关变化率P66 18题 细胞体积增长 球形细胞以常速每天增加体积400。当它的半径是10时，它的半径增长速度是多少？分析两边分别对t求导88导数微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的

16、快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的改变量的近似值.有着密切的联系.3.6 微分的概念89正方形金属薄片受热后面积的改变量.1.问题的引出实例的线性(一次)函数,很小时可忽略.的高阶无穷小,90再如,91定义2. 微分的定义如果增量则称函数可微.记作微分,并称为函数线性主部)()(0 xoxxfD+D92 称为函数的微分,记作注（2）由于 ,)()1(的微分在任意点函数xxfy=93设 导数称为微商(3)解称为自变量的微分.94从而定理证明：)0,0(Dax95例32. 设 求函数的增量与微分.解： 代入 得到 例33. 求函数的增量与微分.解： 96例30. 药物反应与剂量 有

17、如下关系：将敏感度定义为反映程度对剂量的变化率 解：假设注射某种药物的反应程度 表示剂量每增加一个单位，反映程度的增加值近似为227500单位；97例30. 药物反应与剂量 有如下关系：将敏感度定义为反映程度对剂量的变化率 变化率在 的值.解：假设注射某种药物的反应程度 求剂量 时敏感度的值和敏感度的表示剂量每增加一个单位，反映程度的增加值近似为227500单位；98敏感度的变化率在 的值：敏感度的变化率在 敏感度的增加值近似为 敏感度单位.的值表示，剂量每增加一个单位，99几何意义(如图)3.微分的几何意义增量,增量;是曲线的纵坐标是切线对应的纵坐标100求法1. 基本微分公式 P583.7

18、 微分公式与运算法则计算函数的导数, 乘以自变量的微分.1011022. 导数运算法则和对应的微分运算法则103例解例解104 求函数 的微分. 按微分运算法则，有例解105结论微分形式的不变性3.复合函数求微分的法则无论x 是自变量还是中间变量,函数的微分形式总是106例解法一用复合函数求导公式法二 用微分形式不变性107例例解108例解在括号中填入适当的函数,使等式成立.109例解两边求微分，110例解两边取对数，两边求微分111微分的应用1.2.3.112例解3.8 微分的应用1. 计算函数增量的近似值,很小时且xD1132. 计算函数的近似值曲线的切线的表达式.通常称为函数的一次近似或线性近似.附近的近似值在点求0)()1(xxxf=114例解115116常用的几个一次近似式;111)1(xnx+117证例解由公式=)(xf设118例解(1)(2)xnx111+119定义由于测量仪器的精