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1、等比数列的前n项和(3)复习引入1. Sn为等比数列的前n项和,Sn0, q1或k不是偶数时,则Sk, S2kSk, S3kS2k(kN*)是等比数列.典型例题例1.如图,正方形ABCD的边长为5cm,取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L,作第3个正方形IJKL,依此方法一直继续下去,(1)求从正方形ABCD开始,连续10个正方形的面积之和;(2)如果这个作图过程可以一直继续下去,那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?分析:可以利用数列表示各正方形的面积,根据条件可知,这是一个等比数列。典型例题解:设正方形ABCD
2、的面积为a1,后继各正方形的面积依次为a2,a3,.an, .,则a1=25.(2)当n无限增大时,Sn无限趋近于所有正方形的面积和a1+a2+a3+an+而 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?分析:第1年产量为5000台第2年产量为 5000(1+10%)=50001.1台第3年产量为5000(1+10%) (1+10%)第n年产量为巩固练习典型例题例2.去年某地产生的生活垃圾为20万吨,其中14万吨垃圾以填埋方式处理,6万吨垃圾以环保方式处理,预计每年生活垃圾的总量递增5%,同
3、时,通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨,为了确定处理生活垃圾的预算,请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式,并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).分析:由题意可知,每年生活垃圾的总量构成等比数列,而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列,因此,可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算解:设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列an,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列bn,n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨),则an =20(1+5%)n, bn =6+1.5n,当n=5时,S563.5.所以,从今年
4、起5年内,通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.典型例题例3某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%,且在每年年底卖出100头牛,设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为C1,C2,C3,.(1)写出一个递推公式,表示cn+1与cn之间的关系;(2)将(1)的递推公式表示成cn+1-k=r(cn-k)的形式,其中k,r为常数;(3)求S10=c1+c2+c3+c10的值(精确到1)分析:(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立cn+1与cn的关系;(2)这是待定系数法的应用,可以将它还原为(1)中的递推公式的形式,通过比较系数,得
5、到方程组;(3)利用(2)的结论可得出解答。解:(1)由题意,得c1 =1200,并且cn+1 =1.08cn-100.所以,(1)中的递推公式可以化为cn+1-1250=1.08(cn-1250).巩固练习求数列an的通项公式(1)a14, an+1 =3an+4(2)a14, an+1 =4an+2n+1小结: 在等比数列中, S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和, 则若项数为偶数时, q例4.等比数列an共2n项,其和为240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q _.2例题讲评则若项数为奇数时, q 例5.等比数列 的前n项和为 ,已知 成等差数列,(1)求 的公比 ,(2)若 求例题讲解 例5.等比数列 的前n项和为 ,已知 成等差数列,(1)求 的公比 ,(2)若 求例题讲解1. an是等比数列 课后小结2. Sn为等比数列的前n项和,Sn0, q1或k不是偶数
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