2015考研数学微积分下课件

1、(2009-2010学年期未四、级数计算题 (6分)题)n判断级数 (1)n的敛散性,n2 1n1若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛 .九、证明题 (4分)n 2nn 2n由级数 n1 0 .证明 limn!n!n2P D Fc r e a t e dw i t hp da lv e r第八章 多元函数微积分学8.18.28.38.48.58.68.7预备知识多元函数的概念偏导数与全微分多元复合函数微分法与隐函数微分法高阶偏导多元函数的极值与最值二重积分38.1预备知识 (空间几何简介)一、空间直角坐标系与空间中的点二、空间曲面与方程三、平面区域的概念4P D Fc r e a t e dw i

2、 t hp da lv e r一、空间直角坐标系和空间中的点1、空间直角坐标系在空间中任取一点O, 过点O 作三条互相垂直(两两垂直)的直线ox, oy, oz, 并按右手系规定ox, oy, oz的正向, 规定长度, 这样建立的坐标系O xyz 称为空间(右手)直角坐标系.通常按右图放置.z坐标原点O长度yz 平面ox, oy, oz 分别称为x 轴(横轴),y轴(纵轴), z 轴(立轴),统称为坐标轴.每两个坐标轴确定一个平面,称为坐标平面: xy 平面、yz 平面、zx平面.zx 平面yOxy平面x三个坐标平面将空间分成了八个部分, 称为八个卦限.5P D Fc r e a t e dw

3、 i t hp da l v e r2、空间中任一点 P 的坐标的确定在空间中任取一点P, 过点P 作三个垂直于坐标轴的平面,y轴,它们分别与 x 轴,z轴交于点 A, B, C ,zC设OA x,OB y,OC z,则点P有序数组 x, y, z一一对应P称有序数组 x, y, z 为点P 的坐标,记为P ( x, y, z).点P 的坐标也可以这样确定: 过点 P 作垂直于x y平面的直线,交xy 平面于点Q( x, y),设 QP z, 则点P 的坐标为P( x, y, z).Byx AzPzyOyxQ ( x, y)x6P D Fc r e a t e dw i t hp da l v

4、 e rzyxO坐标原点O (0, 0, 0)x 轴上的点 ( x, 0, 0);y轴上的点(0, y, 0);z 轴上的点(0, 0, z),x y平面上的点( x, y, 0);zx平面上的点( x, 0, z).设点 P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ),yz平面上的点(0, y, z);则| P1P2 |( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z 2) 2设 P (x , y, z ),则| PO |x 2y 2z 27P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r!ijvhRwx5zhpqrstu,a

5、aa9M a;vA, y) 0)wx+wx(x)Z(x) 1=.(x),vA1wx, vA,wx5ijpqrstu ,(, y, z)&)iju1a$_,(x, y) Z( , y, z) 0, LF1_1_1rswx_Ua()iju1a$vh S .z f (x yzaa9M a$vhwxZ+wx( x, y), y, z) 0)S(, y, z)(x, y),vh1wx,yO(x, y)1=.vh,wxx8P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rF (x) 0 的几何意义:如 x 0,xOy的数轴上表示原点 ,的平面坐标系中表示 y 轴,的空间坐标系中表示

6、 yz平面.在一在二在三xOzF (x, y) 0 的几何意义:如 x y 0,yz平面yO的平面坐标系中表示一条直线,的空间坐标系中表示一个平面.在二在三xzyyOOxx9P D Fc r e a t edw i t hp da l v e r常见的空间曲面1、平面:ax by cz d一般方程:a, b, c, d为常数, a, b, c 不全为零.z如: x 1 0,y 1 0, x y 1, y z 1,x y z 1.zzy 1 0 x y 1x 1 01yOyO1y1x1xxzz11y z 1x y z 1y1yO1O1xx10P D Fc r e a t e dw i t hp

7、da lv e r2!jh:jh:r 2:g1jhO:+,kjh,+,lmjh.z2 2z2 2lmjhr 2ykjhyooxx113、二次曲面: (用截痕法研究形状)三元二次方程a1 x 2 a2 y 2 a3 z 2 b1 xy b2 xz b3 yz c1 x c2 y c3z d所表示的空间曲面称为二次曲面,bi ,ci (i 1,2,3)其中ai和 d 均为常数.z球面:( x a)2 ( y b)2 ( z c) 2 r 2(r 0)oyxz椭球面:y2x2z21a 2b2c2oy(a,b,c 0)x12P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rz单

8、叶双曲面:y2x 2z 2o1ya 2b2c2(a,b,c 0)xz双叶双曲面:y2x 2z 2 1oya 2b2c2(a,b,c 0)x13P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rzzoz椭圆抛物面:yxy2x2 2zpqyOoyq 0 xx( p 与q同号)p 0,q 0p 0,z双曲抛物面:y2x2 2zpqoy( p , q 0)x俗称马鞍面用截痕法可作出二次曲面的图形.14P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e ry!zh|1NO_ P0 1 6|: N, y0 ), x y zhY1a$_, ,(X P0 ,k7 ,

9、891.kaD#,2 ( yy2 2D ( 0 ) (y, y) | ( x x0 )+,_ P0 1 6|.yy0PP(_P123W4RD,VWh4RD ).0P (0DDxx0 OOxO+_:, 5,5 0,N D7zhY1a_,-+_ P0 1,D 1+_.D (0._: d:_ Du16e_;7 D1+_, L+ D,._./0_: 5_ P 16a6|+3O_ D+1_, 5Oh4R D 1_, L+_ P 7 D 1/0_.15P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r边界: 点集D 的边界点全体称 D的边界.连通区域:设D是一个开集, 若对D内任意

10、两点,总可用D内的有限段折线连接起来, 则称开集 D 是连通的.连通的开集也称为连通区域简称(开)区域.(如若在此区域充进水,则水在此区域的即是连通的)是畅通无阻的,闭区域: 区域与区域边界的集合.有界区域、区域若存在正数 R ,使得 D DR (O ), 则称 D为有界区域;否则, 称D区域.16P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r不连通连通y例如:( x, y) | 1 x 2 y2 4 是有界闭区域,o12x(x , y) | x y 0 是开区域.yoxx y 017P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r第八章多

11、元函数微积分学8.18.28.38.48.58.68.7预备知识多元函数的概念偏导数与全微分多元复合函数微分法与隐函数微分法高阶偏导多元函数的极值与最值二重积分188.2多元函数的概念一、二元函数的定义与几何意义二、二元函数的极限三、二元函数的连续性19P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r一、二元函数的定义与几何意义定义: 设D是一个平面点集, 若对于D 内每个点P( x, y), 变量z 按照某个确定的对应法则 f 都有唯一确定的值和它对应,则称 f 是定义在 D 上的二元函数, 记为z f ( x, y),x, y 称为自变量,z为因变量.这里, D

12、称为定义域, 记为Df ,二元函数有两个自变量, 其定义域是 xy 平面上的一个 ( x, y) | ( x, y) D .平面区域: Df类似地可定义一般的n 元函数 y f (n ),当n 2 时,n元函数统称为多元函数.多元函数同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.20P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r二元函数的图形定义: 设函数z f (x, y)的定义域为D,D中的点P( x, y),对应的函数值为z f ( x, y), 这样, 就确定了以 x为横坐标、y为纵坐标、z 为竖坐标的空间中的一个点M( x, y, z),当P 取遍 D上的一切

13、点时, 得到一个空间点集:(x, y, z ) | z f (x, y),( x, y) D, 这个点集称为二元函数的图形,二元函数的图形通常是一张曲面.二元函数的几何意义就是表示中的一张曲面, 曲面在xy三平面上的投影就是函数的定义域.21P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r例题与讲解例1: 求下列函数的定义域:(1) z x2 y2 x y2解: D ( x, y)| x R, y R ,即为整个xy平面.yf ( x, y) 1(2)ln( x y)x y 1解: D ( x, y) | x y 1oxz 1 x 2 y2 1(3)ln(2 x2 y

14、2 )y解: D ( x, y) | 2 x2 y2 0且 2 x2 y2且 x2 y2 1 0 ( x, y)| 1 x2 y2 2 1o1x222P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e rx2 y2 423二、二元函数的极限描述性定义:当二元函数 z f (x, y)定义域Df 内的动点P(x, y)无限趋近定点P0 (x0 , y0 ) (且(x, y) ( x0, y0) ) 时, 相应的函数值无限接近某确定的常数A, 则称当( x, y) ( x0 , y0 )时,(f以A)y为极限, 记为z函数,x或 lim f (x, y) A.f (x, y)

15、Alim( x, y)( x0 ,y 0 )x x0 y y024P D Fc r e a t e dw i t hp dal v e r注意: 在一元函数的极限 limf (x) 中, 自变量只要沿x轴从x x0左右两个方向趋向于x0 时, 函数值变化趋势一致就够了.x0 xlimf ( x, y),而对于二元函数的极限( x , y )( x0 , y0 )y动点 P( x, y) 定点 P0 ( x0 , y0 )的方式是 P多种多样的,路径可以是千姿百态的,P 所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于0 xO定点时, 函数都趋于同一常数这是与一元函数极限的本质区

16、别.25P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r二元函数极限的分析定义定义: 设函数 z f (x, y)的定义域为D, 若对于任给定的 0,总存在正数 , 使得对于适合不等式0 ( x x0 )2 ( y y0 ) 2 ,f ( x, y) A | 成立,的一切点(x, y) , 恒有|则称当P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时,f (x, y)以A为的极限,f ( x, y) Alim记为( x, y)( x0 ,y 0 )f ( x, y ) A( 0)或26P D Fc r e a t e dw i t hp da l v er例题与讲解例

17、2: 求下列极限xlim(1)( x, y )(0,5) sin xy xy 1 x limy lim解:( x , y )(0,5) sin xysin xy( x , y )(0,5) xy 1y 1 1 1limlim5( x , y )(0,5) sin xy ( x , y )(0,5)5xy2(2)lim( x , y )(0,0)22x yy2y2解:当( x, y) (0,0) 时, 0 1,即是有界变量,x2y2 0 .x 2y2xy2x 0,lim( x, y )(0,0)lim( x, y )(0,0)又22x y27P D Fc r e a t e dw i t hp

18、da l v e r例题与讲解xy(x, y) (0,0)(x, y) (0,0),f ( x, y) 2y2例3: 设x0,当(x , y ) (0,0)时,f ( x, y) 的极限是否存在.kx2xy limf ( x, y) 解:lim( x, y )(0,0)y kxlim( x , y )(0,0)x2y2x 2 k 2 x2x 0 k ,k 不同,它不同,1 k 2f (x, y) 的极限不存在.当( x, y) (0,0) 时,对于二元函数其它极限趋向可类似定义,二元以上的函数极限也类似.28P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r三、二元函数

19、的连续定义：设二元函数 z f (x, y)在点P0 (x0 , y0 )某个邻域内有定义,f (x , y) limf ( x0 , y0)若( x , y )( x0 , y0 )则称 z f (x, y) 在点 P0 (x0 , y0 ) 处连续,称点P0 (x0 , y0 )为 f (x, y) 的连续点,否则称 z f (x, y)在点 P0 (x0 , y0 ) 处间断,称点P0 (x0 , y0 )为 f (x, y) 的间断点.给x在点x0 以 x, 给y 在点y0 以 y, 则 z f ( x0 x, y0 y) f ( x0 , y0 ),f (x, y) 在点P0 (x0

20、 , y0 )处连续lim z 0 . x0 y0所以z 29P D Fc r e a t e dw i t hp da l v e r例题与讲解例4:下列函数在给定点处的连续性:xy 2(x , y ) (0,0)(x , y ) (0,0),在点(0,0) 处.(1)f (x, y) x y220,2xyf (x, y) 解: 0 f (0,0)limlim( x , y )(0,0)x 2y2( x , y )(0,0) f (x, y) 在点(0,0)处连续.xy(x , y ) (0,0),(2)y20,f (x, y) 2在点(0,0) 处.x(x , y ) (0,0)xy 不存在,解: f (x, y) lim( x , y )(0,0)limx 2y2( x, y )(0,0) f (x, y) 在点(0,0) 处间断.30P D Fc r