初中数学关键八年级初二之考点各个击破第7讲全等三角形

1、全等三角形 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 全等三角形 一、知识要点: 1、全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形； 全等三角形的性质：全等三角形对应边；对应角相等；对应边上的中线相等；对应边上的高相等；对 应角的平分线相等. 三角形全等的条件： 1）SSS; （2）SAS; （3）ASA; （4）AAS; （5）HL （两个三角形不全等的情况： 1）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形； （2）有三个角对应相等的两个三角形. 全等变换：只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫全等变换.平移、翻折、旋转前后 的图形全等，具有全等的所有性质. （1）平移变换：把图形沿某直

2、线平行移动. （2）对称变换：将图形沿直线翻着 180. （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置. 2、角平分线： 角平分线的定义：一条射线，把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线. 角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的举距离相等.到角两边距离相等的点在角的角平分线 上. 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于三角形内部一点，并且交点到三边距离相等. 3、几何证明的一般步骤： （1）根据题意，画出图形； （2）根据题设、结论、 结合图形，写出已知、求证. ，（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程. 二、考点分析 1全等的概念和性质； 2

3、三角形全等的条件：只给出三角形三角三边六个条件中的一个或两个条件时，都不能保证所画出 的三角形一定全等. 3全等三角形的利用： 证明角相等： 1）对顶角相等； 2）等角的余角（或补角）相等； 3）两直线平行，同位角相等，内 （等边对等角. 错角相等； 4）角平分线的定义； 5）等式性质； 6）全等三角形的对应角相等； 7） 证明线段线段： 1）中点定义； 2）等式性质； 3）全等三角形的对应边相等； 4）等角对等边； 5） （角平分线的性质； 6）中垂线性质。 （证明垂直的方法： 1）证明两直线夹角等于 900； 2）证明邻补角相等； 3）若三角形的两锐互余， （该角所在的三角形与已知直角三角

4、形全等； 6）邻补角的平分线互相垂直. （则第三个角是直角； 4）垂直于平行线中的一条直线也垂直于另一条直线； 5）证明 证明一条线段等于另外两条线段的和：采用截长补短法. （1）截长法：在较长的线段上截取一条线 段等于较短线段； 2）补短法：延长较短线段和较长线段相等. （4角平分线的性质及相关证明； 第 1页 （1）有角平分线时，常用角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相 等证题. （2）有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形. 5中线的性质相关证明： （1）取线段中点构造全等三有形； （2）有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全

5、等三角形； （3）有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形 （倍长中线）. 三、典型题型 类型 1. 全等的概念和性质 例 1. 如图，已知 ADE DBF ， DE / BF ， DF / AC ，则对应边为_，对应角为_. 例1图 例2图 例 2. 如图，已知 ABC DEF ，若 AB = DE ， B = 50 ， C = 70 ， E = 50 ，求 D 的 度数. 例 3. 如图，ABC BAD ，点 A 和点 B、点 C 和点 D 分别是对应顶点，如果 AB=6cm，BD=7cm， AD=4cm，那么 BC 的长为（ ）A6cm B5cm C4cm D不能确定 变式题：如图

6、， ABC CDA ，并且 AB=CD，那么下列结论错误的是（ ）A12 BDB CCA=AC DAC=BC 例3图 变式题图 例 4. 如图所示， ABC 绕顶点 A 顺时针旋转（旋转角度不大于 180） B30，C40，问： ，若 （1）顺时针旋转多少度时，旋转后的 ABC 的顶点 C 与原 ABC 的顶点 B 和 A 在同一条直线上？ （2）再继续旋转多少度时， C 、 A 、 C 在同一条直线上（原 ABC 是指开始位置）？ 第 2页 类型 2. 三角形全等的条件 1、SSS 例 1. 如图，点 E、F 在 BC 上，AB=DC，AF=DE，BE=CF.求证： ABF CDA . 变式

7、题：已知点 B，E，C，F 在同一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=CF.求证：A=D. 例 2. 如图，AC=AD，BC=BD.求证：C=D. 例 3. 如图，已知：AC，BD 相交于 O 点，且 AC = BD, AB = CD . 求证：B=C. 提升练习：如图，已知： AB = CD, AE = DF, CE = BF . 求证： 1） AF = DE ;（2）AEDF. （2、SAS 例 1. 在 ABC 中，AB=AC，AD 平分BAC，求证： ABD ACD 第 3页 例 2. 如图，AB=AC，AD=AE，12.求证： ABD ACE . 例 3如图，已知： AD = B

8、C, AB = DC, DE = BF . 求证： BE = DF . 【拓展提升】 1. 如图，已知： BO = DO, CO = AO ，求证： OE = OF 2.如图，已知： AB = AD ， CB = CD . 求证： AC BD . 3、ASA（AAS） 例 1. 由 ABBD，EDBD，垂足分别为 B、D 点，点 C 在 BD 上，且 BC=CD，点 A、C、E 在同一 条直线上，求证：DE=AB. 第 4页 例 2. ABC 和 DEF 中，A=50，B=30，AB=10，B=50，F=100，DE=10， 求证： ABC DEF 变式题：如图，ABC=DCB，ACB=DBC

9、，求证：AC=DB. 例 3. 如图，在AFD 和CEB 中，点 A、E、F、C 在同一条直线上，有下面四个论断： 1）AD=CB， （并写出解答过程. （2）AF=CE， 3）B=D ， 4）ADBC.请用其中三个条件，余下一个作为结论，编一道数学题 例 4. 如图，已知： BAC = DAE, ABD = ACE, BD = CE . 求证： AD = AE . 例 5. 如图，两条直线 AC，BD 相交于 O，BO=DO，AO=CO，直线 EF 过点 O 且分别交 AB、CD 于 点 E，F，求证：OE=OF 例 6. 如图，已知： D = E ， DN = CN = EM = AM .

10、 求证：点 B 是线段 AC 的中点. 第 5页 例 7. 如图，已知： AD / BC ， 1 = 2 ， 3 = 4 ，直线 DC 过 E 点交 AD 于 D，交 BC 于 C. 求证： AD + BC = AB . 提升练习 1. 如图，已知： 1 = 2 ， AD = AE .求证： OB = OC . 已知 AD 且F连结 BF 并延长交 AC 于 E， CD = FD . 求证： BE AC 2. 如图， ： 为 ABC 的高， AD = BD ， 为 AD 上一点， 3. 如图所示：在ABC 和DBC 中，ACB=DBC= 90 ，E 是 BC 的中点，EFAB，垂足为 F， 且

11、 AB=DE. （1）求证：BD=BC; （2）若 BD=8cm，求 AC 的长. 4. 某人在河的一岸，要测河面一只船 B 与码头 A 距离，他的做法是： 1）在岸边确定一点 C，使 C （与 A、B 在同一直线上， 2）在 AC 的垂直方向画线段 CD，取其中点 O， 3）画 DFCD，使 F、O、 （A 在同一直线上， 4）在线段 DF 上找到一点 E，使 E 与 O、B 共线.他说只要测出线段 EF 的长就是 （船 B 与码头 A 的距离.他这样做有道理吗？为什么？ 第 6页 5. 如图，在ABC 中，ACBC，AC=BC，D 为 AB 上一点，AFCD 交 CD 的延长线于 F，BE

12、CD 于 E.求证：EF=BEAF 4、HL 例 1. 如图，已知 AB=CD，DEAC，BFAC，DE=BF，求证：ABCD. 例 2. 如图，ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边上的点，BD=CE，DFBC 于点 F，EGBC，于 点 G，且 DF=EG.求证：BE=CD. 例 3如图，AB=AC，点 D、E 分别在 AC、AB 上，AGBD，AFCE，垂足分别为 G、F，且 AG=AF. 求证：AD=AE. 【拓展提升】 CD 且CD = CD .求证：ABC ABC . 1. 已知， 如图， ABC 和 ABC 都是锐角三角形， 、CD 分别是高， AC = AC ，AB =

13、 AB ， 第 7页 2. 如果ABC 和 ABC 都是钝角三角形， 其余条件不变， 结论： ABC ABC 还成立吗？ 四、强化训练 1. 如图，已知： AB = AC, BE = CE.求证： BD = CD . 2. 如图，已知： AB = DF, AC = DE, BE = CF. 求证： AB / DF . 3. 如图，已知：D、E 是 BC 上的两点，且 AB = AC, AD = AE, CD = BE.求证： BAE = CAD . 4已知：在 ABC 中，M 在 BC 上，D 在 AM 上， AB = AC, DB = DC （如图） 求证： MB = MC 5. 如图所示， 已知 AB = AD, CB = CD ， 是 AC 上一点. 求证： AEB = AED . E6.已知： 图） A = D, 1 = 2 . 求证： AO = DO （如 第 8页 7. 如图，已知： AB = DE ，直线 AE，BD 相交于点 C， B + D = 180 ， AF /