2021年高考数学模拟试卷

1、 8/82021年高考数学模拟试卷 2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1设集合A=若A B,则实数a,b 必满足 A. B. C. D. 2设(1+i )x =1+yi ,

2、其中x ,y 实数,则i =x y + A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ( ) A 9 B 10 C 12 D 13 4等差数列n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ） A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 5设，则（ ） A. B. C. D. 6在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点， AE 的

3、延长线与CD 交于点F ，若AC a ，BD b ，则AF 等于( ) A. 14a 12b B. 23a 13b C. 12a 14b D. 13a 2 3b 7已知p:21 x x - ?|3a b +|3a b +|3a b -|3a b -32 3log ,log 3,log 2a b c =a b c a c b b a c A.(-,1) B.1,3 C.1,+) D.3,+) 8. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为 A 6 B. C. 3 D.2 9奥运会乒乓球单打的淘汰赛采用七局四

4、胜制，猜先后由一方先发球，双方轮流先发球，当一方赢得四局胜利时，该方获胜，比赛结束，现有甲、乙两人比赛，根据前期比赛成绩，单局甲先发球并取胜的概率为0.8，乙先发球并取胜的概率为0.4，且各局比赛的结果相互独立；如果第一局由乙先发球，则甲以4：0获胜的概率是（ ） A 0.1024 B 0.2304 C 0.2048 D 0.4608 10函数sin ()sin 2sin 2x f x x x =+是 （ ） A 以4为周期的偶函数 B 以2为周期的奇函数 C 以2为周期的偶函数 D 以4为周期的奇函数 11.以椭圆 22=1169144x y +的右焦点为圆心，且与双曲线22 =1916 x

5、 y -的渐近线相切的圆方程是 ( ) A x 2 y 2 10 x 90 B x 2 y 2 10 x 90 C x 2y 210 x 90 D x 2y 210 x 90 12设函数f （x ）满足x 2f（x ）+2xf （x ）=e x x ，f （2）=e 2 8 ，则x 0时，f （x ）（ ） A 有极大值，无极小值 B. 有极小值，无极大值 C 机油极大值又有极小值 D. 既无极大值也无极小值 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13向量a ，b 满足|a |1，|a b | 3 2 ，a 与b 的夹角为60，则|b | 14已知数列a n 的通项公式是a n 2

6、n 12n ，其前n 项和S n 321 64 ，则项数n 等于 . 15已知f （x ）（2x 1）4 ，设(2x ?1)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4，则a 1+2a 2+3a 3+4a 4 16对于正整数n,设曲线y=x n (1-x)在x=2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列a n n+1 的前n 项和的公式是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17（10分）设数列n a 满足3 33313221n a a a a n n = +-，n N * （）求数列n a 的通项； （）设n n a n b =，求数列n

7、 b 的前n 项和n S 18. （12分）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a c ）cosB=bcosC. （）求角B 的大小； （）设的最大值是5，求k 的值. 19（12分）如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C . () 证明：1AC AB =； （）若1AC AB ，o 160CBB =，AB=Bc ，求二面角111A A B C -的余弦值. ()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n =?u r r u r r 且 20（12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机

8、的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立 (1)求未来4年中，至多 有1年的年入流量超过120的概率 (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系： 800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 21（12分）已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，且过点（4，

9、 .（1）求双曲线方程；（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：MF 1? MF 2? （3）求F 1MF 2的面积. 22（12分）已知函数f （x ）=e x ax （a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线y=f （x ）在点A 处的切线斜率为1 （1）求a 的值及函数f （x ）的极值； （2）证明：当x 0时，x 2e x ； （3）证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x （x 0，+）时，恒有x ce x 2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷 理科数学参考答案： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B D C A B C A B A

10、 A D 13. 1 2 14. 6 15. 8 16. 2n+1 -2 17.（10分） ）3 33313221n a a a a n n = +-， 当2n 时，3 1 333123221-=+-n a a a a n n 由，得3131=-n n a ，n n a 31 = 在中，令1=n ，得3 1 1=a n n a 3 1=，n N * （）n n a n b = ，n n n b 3?=， n n n S 33332332?+?+?+=， 1 4323333233+?+?+?+=n n n S A 由，得 )3333(32321n n n n S +-?=+， 即3 1)31(3

11、3 21 ?=+n n n n S ， 4 3 43)12(1+-= +n n n S 18.(12分) 解：（I ）(2a c )cos B =b cos C ， （2sin A sin C ）cos B =sin B cos C 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) A +B +C =，2sin A cos B =sin A 0 cos B = 2 1 01，t =1时，取最大值. 依题意得，2+4k +1=5，k = 19.（12分） （1）连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO .因为侧面11BB C C 为菱形，所

12、以11B C BC ，且O 为1B C 与1BC 的中点. 又1B O CO =，故1AC AB = （2）因为1AC AB 且O 为1B C 的中点，所以AO CO = 又因为AB BC =，所以BOA BOC ?V V 故OA OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直. 以O 为坐标原点，OB uuu v 的方向为x 轴正方向，OB u u u v 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -. 因为160CBB =o ，所以1CBB V 为等边三角形.又AB BC =，则 30,0,A ? ? ? ?，()1,0,0B ，130,0B ? ? ?，30,0C ? - ? ?

13、 1330,33AB ?=- ? ?u u u v ，1131,0,3A B AB ? =- ? ?u u u u v u u u v ， 1131,03B C BC ? =- ? ? ?u u u u v u u u v 设(),n x y z =v 是平面11AA B 的法向量， 11100n AB n A B ?=?=?v u u u v v u u u u v 即3303330 y z x z ?-=?-=? 3 m n ?u r r 3 221,0(m n ?u r r 1,0(m n ?u r r 2 3 所以可取(n =v 设m u v 是平面111A B C 的法向量，则111

14、100 m B C m A B ?=?=?u v u u u u v u v u u u u v 同理可取(1,m =u v 则1cos ,7 n m n m n m ?=r u r r u r r u v 所以二面角111A A B C -的余弦值为1 7 . 20.（12分） 解：(1)依题意，p 1P (40120)5 50 0.1. 由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为 p C 04(1p 3)4C 14(1p 3)3p 30.9440.93 0.10.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元) 安装1台发电机的情形 由于水库年入流量总大于40

15、，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y 5000，E (Y )500015000. 安装2台发电机的情形 依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y 5000315 000，因此P (Y 15 000) P (X 120)p 30.1.由此得Y 的分布列如下： 所以，E (Y )综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台 21.（12分） 解析：(1)，可设双曲线方程为x 2 -y 2 =(0).过点（4，16-10=，即=6. 双曲线方程为x 2-y 2 =6. （2）方法一：由（1）可知，双曲线中， F 12,0), 12MF MF k k = =， 12 22MF

16、 MF m m k k 9123 =-g .点（3，m ）在双曲线上，9-m 2=6，m 2 =3， 故12MF MF k k 1?=-，MF 1MF 2.MF 1? MF 2? . （3）F 1MF 2的底|F 1F 2F 1MF 2的高12F MF S 6.=V 22.（12分） 解：（1）由f （x ）=e x ax 得f（x ）=e x a 又f（0）=1a=1，a=2， f（x ）=e x 2x ，f（x ）=e x 2 由f（x ）=0得x=ln2， 当x ln2时，f（x ）0，f （x ）单调递减； 当x ln2时，f（x ）0，f （x ）单调递增； 当x=ln2时，f （x ）有极