第二章第二节函数的单调性与最值

1、文档编码 : CV8E6P8Y2Q2 HE9I8Y1J6Y8 ZW10K7V5E7Z8授课提示：对应同学用书第 257 页A 组 基础保分练 1.以下函数中,在区间 1,1上为减函数的是 A.y1 x 1 B.ycos xC.yln x1 D.y2x解析： 函数 y1,ylnx1在1,1上都是增函数,函数 ycos x 在1, 0上是增1xx1函数,在 0,1上是减函数,而函数 y2 x2 在1,1上是减函数 . 答案： D 2.函数 yx 22x3有 A.最小值 2 B.最小值 2 C.最大值 2 D.最大值 2 解析： 易知 y（x1）22,由于 x1222,所以 y2. 答案： B 3.

2、函数 fx1的最大值是 B.5 41x（ 1x）A.4 5C.3 4D.4 3解析： 由 fxx123 44 3,12就 fxmax4 3. 答案： D 4.设偶函数 fx的定义域为 R,当 x0, 时, fx是增函数,就 f2,f,f3的大小关系是 A.ff3f2 B.ff2f3 C.ff3f2 D.ff2f3 解析： 由于 fx是偶函数,所以 f3f3,f2f2. 又由于函数 fx在0, 上是增函数,所以 ff3f2,即 ff 3f2. 答案： A 5.函数 fxlog ax2 4x5a1的单调递增区间是 A. , 2 B. , 1 C.2, D.5, 解析： 依据题意,得 x24x5 0

3、,解得 x 1 或 x5,设 u x24x5 x 229,易知 ux24x5 的单调递增区间为 2,所以 fxlogax 24x5的单调递增区间是 5,. 答案： D 16.已知函数 fxlog 2x1x,如 x11,2,x22, ,就 A.fx10,fx20 B.fx10,fx20 C.fx10,fx20 D.fx10,fx20 解析： 由于函数 fxlog 2x1 在1, 上为增函数,且 f20,所以当 x11,2时,1xfx1f20；当 x2 2, 时, fx2 f20,即 fx1 0,fx20. 答案： B x7.函数 fxx1x2的最大值为 _. 解析： 易得 fxx11,x1 x

4、1当 x2 时, x1 0,易知 fx在2, 上是减函数,fxmaxf2112. 21答案： 2 8.设函数 fxx24x,x4,如函数 yfx在区间 a,a1上是增加的,就实数a 的取log2x,x4.值范畴是 _. 解析 ：作出函数fx的图像如以下图,由图像可知fx在a,a1上是增加的,需中意a4或 a12,即 a1 或 a4. 答案： , 14, 9.已知 fxx xax a. 1如 a 2,试证 fx在, 2上单调递增；2如 a 0 且 fx在 1, 上单调递减,求 a 的取值范畴 . 解析： 1 证明：设 x1x2 2,就 fx1 fx2x1x12x2x2 22（x1x2）. （x1

5、2）（ x22）由于 x12x220,x1x20,所以 fx1fx20,即 fx1fx2,所以 fx在, 2上单调递增 . 2设 1 x1 x2,就 fx1 fx2x1x1ax2x2 aa（x2x1）. （x1a）（ x2a）由于 a0,x2x10,所以要使fx1fx20,只需 x1ax2a0 恒成立,所以 a1.综上所述, a 的取值范畴是 0,1. B 组 才能提升练 1.以下函数 fx中,中意“ 对任意的 x1,x20, 时,均有 x1x2fx1fx2 0” 的是A.fx1 2B.fxx24x4 C.fx2 xD.fxlog 1 x2解析： x1x2fx1 fx20 等价于 x1 x2

6、与 fx1fx2正负号相同, 故函数 fx在0, 上单调递增 .明显只有函数fx2x符合 . 答案： C 2.已知函数 fx中意 fx 1 f5 x,且对任意的 x1, x2 2 , , x1 x2,都有2f（x1） f（x2）x1x20 成立,如 pflog 216,qflog 47,mf 15 5 ,就 p,q,m 的大小关系为 A.qmp B.pmqC.qp m D.pqm解析：fx1f5x,函数 fx的图像关于直线 x2 对称 .又对任意的 x1,x22,f（x1） f（x2）x1 x2,都有0 成立,fx在区间 2, 上单调递减,在 , 2上单调x1x22 2递增 .log 2164

7、,flog 216f4f0,又 1log 47log483 2,015 51,015 51log 472,pmq. 答案： B 3.定义新运算：当 ab 时,aba；当 ab 时,abb 2,就函数 fx1xx2x,x2,2 的最大值等于 A.1 B.1 C.6 D.12 解析： 由已知得当 2x1 时, fx x2,当 1x2 时, fxx32,由于 fxx2 在2,1上是增函数,所以 fxf1 1,由于 fxx32 在1, 2上是增函数,所以 fxf26,所以 fxmaxf26. 答案： C 4.2022西安模拟 已知函数 ylog 2ax1在1,2上单调递增, 就实数 a 的取值范畴是

8、A.0 ,1 B.1 ,2 C.1 , D.2 , 解析： 要使 ylog2ax1在1,2上单调递增,就 答案： C a0 且 a10,a1. 5.2022衡阳模拟 如函数 fx2xa1xaa 的定义域与值域相同,就a B.1 A.1 C.0 D. 1 解析： 函数 fx 2xa1xa a,函数 fx的定义域为 a, . 函数 fx的定义域与值域相同,函数 fx的值域为 a, . 又函数 fx在a, 上是单调递增函数,当 xa 时, fa2 a a 1aa,解得 a1. 答案： B 6.函数 y x 22|x|3 的单调递减区间是 _. 解析： 由题意知,当 x0 时, y x22x3 x 1

9、24；当 x0 时, y x22x3 x1 24,二次函数的图像如以下图,由图像可知,函数 y x 2 2|x|3 的单调递减区间为 1,0,1, . 答案： 1,0,1, （x a）2,x0,7.设 fx1 如 f0是 fx的最小值,就 a 的取值范畴为 _. xxa,x0.1解析： 由于当 x0 时, fxxa2,f0 是 fx的最小值,所以 a0.当 x0 时, fxxxa2 a,当且仅当 x1 时取 “ ” .要中意 f0是 fx的最小值,需 2a f0a 2,即 a 2a2 0,解得 1 a2,所以 a 的取值范畴是 0,2. 答案： 0, 2 8.已知函数 fxx2a|x2|4.

10、1当 a 2 时,求 fx在0,3上的最大值和最小值；2如 fx在区间 1, 上单调递增,求实数 a 的取值范畴 . 解析： 1 当 a2 时, fxx22|x2|4x 22x8, x2,（x 1）29, x2,x22x,x 2（x 1）21, x2,当 x0,2时, 1fx0,当 x2,3时, 0fx7,所以 fx在0,3上的最大值为 7,最小值为 1. x 2ax 2a4, x2,2由于 fxx2ax 2a4,x2,又 fx在区间 1, 上单调递增,a 所以当 x2 时, fx单调递增,就22,即 a4. 当 1x2 时, fx单调递增,就a 21. 即 a2,且 42a 2a4 42a

11、2a4 恒成立,故 a 的取值范畴为 4, 2. 1.定义运算a cC 组创新应用练 bad bc,如函数fxx12在, m上单调递减,就实数mdxx3的取值范畴是 A. 2, C., 2 B. 2, D. , 2 解析：abadbc,fxx12x1x32 x x 2 4x3 x 22cdxx37,fx的单调递减区间为 , 2,函数 fx在, m上单调递减, m. , 2,即 m 2. 答案： D 2.假如函数 yfx在区间 I 上是增函数,且函数 yf（x）x 在区间 I 上是减函数,那么称函数yfx是区间 I 上的“ 缓增函数”,区间 I 叫作“ 缓增区间”.如函数 fx1 2x2x3 是

12、区间 I 上的“ 缓增函数”,就“ 缓增区间”I 为 A.1 , 3 2的对称轴为B.0 ,3 yfx在区间 1,上是增函C.0 ,1 D.1 ,3 解析： 由于函数 fx1 2x 2 xx 1,所以函数数,又当 x1 时,f（x）1 2x1 3 2x. 3上单调递减,故“ 缓增区间 ” I 为1,3. x令 gx1 2x13 2xx 1,就 gx1 2 32x23 2x 2 ,由 gx0 得 1x3,即函数f（x）1 2x1 3 2x在区间 1,x答案： D 3.已知定义在区间0, 上的函数 fx中意 fx1 x2fx1fx2,且当 x 1 时, fx 0,f31. 1判定 fx的单调性；2

13、解关于 x 的不等式 f3x6f1 x2；m 的取值范畴 . 3如 fx m22am1 对全部 x0,3, a1,1恒成立,求实数解析： 1 设 x1x20,就x1 x21,由于当 x1 时, fx0,x1 所以 fx1fx2f x20,所以 fx1fx2,所以函数 fx在区间 0, 上为增函数 . x1 2在 fx1fx2f x2中,令 x1 9,x23,所以 f9f3f3. 又 f31,所以 f92. 所以不等式f3x6f1 x2,可转化为f3x6f1 xf9,所以 f3x 6f9f1 x f9x,由函数 fx为 0, 上的增函数,可得 所以原不等式的解集为 0,1. 3由于函数 fx在0,3上是增