工科数学分析：函数的微分

第五节函数的微分一、问题的提出实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.再例如,既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?二、微分的定义定义(微分的实质)由定义知:三、可微的条件定理证(1)必要性(2)充分性例1解四、微分的几何意义MNT）几何意义:(如图)P五、微分的求法求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则例2解例3解六、微分形式的不变性结论：微分形式的不变性例4解例3解例5解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.七、微分在近似计算中的应用例1解例2解常用近似公式证明例3解误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差.定义：问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?办法:将误差确定在某一个范围内.通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差与相对误差.例3解七、小结微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★导数与微分的区别:★近似计算的基本公式思考题思考题解答说法不对.

从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.练习题一练习题一答案练习题二练习题二答案第六节综合例题一、导数与微分的基本概念

1．导数定义:

2．导数的几何意义:为曲线在点的切线斜率。

在处可导且。

与都存在，二、极限、连续、可导与可微的关系

三、求导法则

1．四则运算求导法则

2．反函数求导法则

（1）（2）（3）函数在对应的内也可导，且

或。

设在区间内单调、可导且，则其反

3．复合函数求导法则

4．隐函数求导法则

求导过程中牢记是的函数，方程中含有的项应用复合函数求导法求导。然后由求导后的方程解出。

5．参数方程求导

参数方程确定可导函数，则设及都是可导函数，则复合函数

也是可导函数且。

由方程确定了，方程两端对求导，在

四、高阶导数定义及求导

若函数的导函数仍然是可导函数，则将的

导函数叫做函数的二阶导数。记作依此类推，函数的导函数叫做的阶导数。

记。

典型例题例1解或：设f(x)=xg(x)，g(x)=(x-1)(x-2)(x-100)，则f(x)=g(x)+xg(x)，f(0)=g(0)+0=100！

例2解例3解例4解分析:不能用公式求导.例5解先去掉绝对值例6设，求及

例7设，已知在处可导，

试确定的值。为未知量的方程。由已知条件在分段点处可导，

得一个方程；又由函数在一点可导必要条件:

在处连续，得第二个方程。

解此联立方程组，可求出。

分析此题要求两个待定常数。通常需要寻找两个只以

解：因为在处可导，所以在处连续；

即

例8已知，求。解：当时，；当时，；当时，综上，

所以

例9设，求。

解：

解：

例10设，求。