线性代数试卷及答案3套

线性代数试卷及答案 3套线性代数A卷⼀、填空题（共6⼩题，满分18分）1.设α=(1,0,-1,2),β=(0,1,0,1)，令A＝αTβ，则A4=.2.设矩阵且BA=B+E，则B-1=.3.设α1,α2是2维的列向量,令A=(2α1+α2,α1-α2),B=(α1,α2),若|A|=－6,则|B|=.4.设A为n阶⽅阵，且A2=A，则R(A)+R(A-E)=.5.设α1=(1,1,1),α2=(a,0,b),α3=(1,2,3)线性相关，则a与b应满⾜的关系式为.6.设α+2β=(2,1,t,-1),2α-β=(-1,2,0,1),且α与β正交，则t=.⼆、单项选择题（共6⼩题，满分18分）设A为nAATE，|A|＜0,则AE为(A)⾮奇异矩阵，(B)奇异矩阵，(C)正交矩阵，(D)正定矩阵.设A是4×3R(A)=2R(AB)为[].(A)3，(C)4，(D)0.设A为n阶可逆矩阵，k≠0(k为(A)kA*，(B)kn-1A*，(C)knA*，(D)knA.α1,α2,α3α1+2α2,α2+2α3,α3+2α1.An＜mAB＝E(A)A的⾏向量组线性相关，(B)A的列向量组线性⽆关，(C)线性⽅程组Bx＝0仅有零解，(D)线性⽅程组Bx＝0必有⾮零解.6.设3阶⽅阵A与B相似，且A的特征值为，则tr(B-1-E)为[].(A)3，(C)4，(D)6.三、解答题（共6⼩题，满分42分）1.设A为4阶⽅阵，A*是A的伴随矩阵，且|A|＝0，⽽A*≠O.α1,α2,α3是线性⽅程组Ax＝b的三个解向量，其中，求线性⽅程组Ax＝b的通解.2.设向量组，问a为何值时，向量组α1,α2,α3,α4线性相关，并求ft时的极⼤⽆关组.α1,α2α3＝(1,1,1)TR3.设矩阵，且A*BA*是Ax，y.设⼆次型，其中⼆次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12，求a，b.6.设V是⼆阶实对称矩阵全体的集合，对于通常矩阵的加法与数乘运算所构成的实数域R上的线性空间.且是V的⼀个基，试证VV.四、（11分）已知齐次线性⽅程组Ⅰ)Ⅱ)同解，求a，b，c的值.五、（本题满分11分）设矩阵3阶实对称矩阵A的各⾏元素之和为3，且R(A)＝1.①求A的特征值与特征向量；②求正交矩阵P和对⾓矩阵Λ，使P-1AP=Λ；➂求A及.线性代数B卷⼀、填空题（共6⼩题，每⼩题3分，满分18分）1．设4阶矩阵A的⾏列式|A|=3，则⾏列式．A为3ATA*是A的伴随矩阵，则|A|=．α1,α2是n(n3)Ax=0R(A)=．4R2A：α1=(1,0)T,α2=(1,1)T；AB组基的过渡矩阵为．3A1、3、5AtrA．f(x1,x2,x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3满⾜．⼆、单项选择题（6318分）A为.B为(A)当时，必有|AB|≠0；(B)当时，必有|AB|=0；(C)当时，必有|AB|≠0；(D)当时，必有|AB|=0．α1,α2，α3Ax=0(A)α1-α2,α2-α3，α3-α1；(B)与α1,α2，α3等秩的⼀个向量组；(C)α1,α1+α2，α1+α2+α3；(D)与α1,α2，α3等价的⼀个向量组.3．设A为n阶⾮奇异阵(n2)，A*是A的伴随阵，则[]．(A)(A*)*=|A|n(C)(A*)*=|A|n(D)(A*)*=|A|n+1A.4．设A为m×n矩阵，C为n阶可逆矩阵，R(A)=r，矩阵B=AC的秩为r1，则[]．(A)r>r1；(B)r(C)r与r1关系依赖与矩阵C；(D)r=r1.5．设A，B为n阶矩阵，若[]，则A与B合同．nP、PAQ=B；nPP-1APB；nQ-1AQnC、UCAUB.6．n阶⽅阵A具有n个不同的特征值是A与对⾓阵相似的[]．(A)充分必要条件；(B)充分⽽⾮必要条件；(C)必要⽽⾮充分条件；(D)既⾮充分也⾮必要条件.三、解答题（共5⼩题，每⼩题9分，满分45分）1.计算4阶⾏列式.2．设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.判断向量组的线性相关性；求它的秩和⼀个极⼤⽆关组；.3.设向量α1=(1,2,1)T和α2=(1,1,2)T都是⽅阵A的属于特征值λ＝2的特征向量，⼜向量β=α1+2α2，求A2β．4．设3阶⽅阵A、B满⾜AB=2A+B，其中求A.5R[x]3={a0+a1x+a2x2|a0,a1,a2(1)1，1＋x，(1＋x)2是R[x]3的⼀个基；(2)求由基1，x，x2到基1，1＋x，(1＋x)2的过渡矩阵.四、（本题满分9分）设线性⽅程组Ⅰ)Ⅱ)x1+3x2+3x3=a-a.五、（10分）f(x1,x2,x3)=xT2α1=(1,0,0)T是(A-2E)x=0是(A-6E)x=0的解.A的特征值与特征向量；.线性代数C卷⼀、填空题（共6⼩题，每⼩题3分，满分18分）1．A为3阶⽅阵|-2A|= .A是n阶⽅阵，x1，x2Ax=bx1≠x2，则|A|= .A为nA2=|A|EA*nAEA5．设4阶⽅阵A，R(A)=2，则R(A*)=.6.若⼆次型是正定的,则t应满⾜.⼆、单项选择题（共6⼩题，每⼩题3分，满分18分）1.设A为实对称矩阵,Ax1=λ1x1,Ax2=λ2x2,且λ1≠λ2，则(x1,x2)=[].(A)1；(B)-1；(C)0；(D)2.2．设A、B均为n阶可逆阵，则[].(A)((AB)2)-1=(B2)-1(A2)-1；(B)存在可逆阵P、Q，使PAQ=B；(C)存在可逆阵P,使A=P-1BP；(D)存在可逆阵P,使PTAP=B.3A为矩阵，C为nB=ACr1(A)r>r1；(B)r4．设α1，α2，α3是齐次线性⽅程组Ax=0的基础解系，则该⽅程组的基础解系还可为[].(A)α1，α1+α2，α1+α2+α3；(B)与α1，α2，α3等价的⼀个向量组；(C)α1-α2，α2-α3，α3-α1；(D)与α1，α2，α3等秩的⼀个向组.5．向量组α1，α2，…，αs线性⽆关的充要条件是[].α1，α2，…，αs都不是零向量；α1，α2，…，αs中任意两个向量都线性⽆关；α1，α2，…，αs中任⼀向量都不能⽤其余向量线性表出；α1，α2，…，αss-1.6.如果[]，则A与B相似.(A)|A|=|B|；(B)R(A)=R(B)；与B有相同的特征多项式；A与Bn.三、解答题（共5⼩题，每⼩题9分，满分45分）.设3A、BAB2A+BA.3.设向量组α1=(1,0,2,1)T，α2=(1,2,0,1)T，α3=(2,1,3,0)T，α4=(2,5,-1,4)T.判断向量组的线性相关性；求它的秩和⼀个极⼤⽆关组；.4．设矩阵，求（1）A2；（2）An.5.已知是矩阵的⼀个特征向量.ξ所对应的特征值；能否相似于对⾓阵？说明理由．四、（9分）3维向量组试问：当α1