初中数学讲义初二上册角的平分线的性质(提高)知识讲解

角的均分线的性质（提升）【学习目标】1．掌握角均分线的性质，理解三角形的三条角均分线的性质．2．掌握角均分线的判断及角均分线的画法．3.娴熟运用角的均分线的性质解决问题．【重点梳理】【高清讲堂：388612角均分线的性质，知识重点】重点一、角的均分线的性质角的均分线的性质：角的均分线上的点到角两边的距离相等.重点解说：用符号语言表示角的均分线的性质定理：若CD均分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.重点二、角的均分线的判断角均分线的判断：角的内部到角两边距离相等的点在角的均分线上.重点解说：用符号语言表示角的均分线的判断：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD均分∠ADB重点三、角的均分线的尺规作图角均分线的尺规作图（1）以O为圆心，适合长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于1DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.23）画射线OC.射线OC即为所求.重点四、三角形角均分线的性质三角形三条角均分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的心里且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角均分线和此外两极点处的外角均分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.因此到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如下图：△ABC的心里为P，旁心为P,P,P，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.1234【典型例题】种类一、角的均分线的性质及判断1、（2014秋?新洲区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的均分线与∠ACB的外角的均分线订交于点P，连结AP．1）求证：PA均分∠BAC的外角∠CAM；2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延伸CE交BM于点D．求证：CE=ED．【思路点拨】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，依据角均分线性质求出PQ=PS=PT，依据角均分线性质得出即可；2）依据ASA求出△AED≌△AEC即可．【答案与分析】证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，∵在△ABC中，∠ABC的均分线与∠ACB的外角的均分线订交于点P，PQ=PT，PS=PT，PQ=PS，∴AP均分∠DAC，即PA均分∠BAC的外角∠CAM；2）∵PA均分∠BAC的外角∠CAM，∴∠DAE=∠CAE，∵CE⊥AP，∴∠AED=∠AEC=90°，在△AED和△AEC中∴△AED≌△AEC，∴CE=ED．【总结升华】本题考察了角均分线性质和全等三角形的性质和判断的应用，解本题的重点是能正确作出协助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角均分线上的点到角两边的距离相等．贯通融会：【变式】如图，AD是∠BAC的均分线，DE⊥AB，交AB的延伸线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的均分线，DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°DBDC在Rt△BDE与Rt△CDF中，，DEDFRt△BDE≌Rt△CDF（HL）BE＝CF2、如图，AD是△ABC的角均分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（）A.11

C.7

【答案】B；【分析】解：过D点作DH⊥AC于H，AD是△ABC的角均分线，DF⊥AB，DH⊥ACDF＝DH在Rt△EDF和Rt△GDH中DE＝DG，DF＝DHRt△EDF≌Rt△GDH同理可证Rt△ADF和Rt△ADH∴S△AED

S△EDF=S△ADG

S△GDH∴2S△EDF

=S△ADG

S△AED

＝50－39＝11，∴△EDF的面积为5.5【总结升华】本题求△EDF的面积不方便找底和高，

利用全等三角形可用已知△

ADG和△AED的面积来表示△EDF面积.【高清讲堂：

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角均分线的性质，例

6】3、（2016?湖州）如图，AB∥CD，BP和CP分别均分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是（）A．8B．6C．4D．2【思路点拨】过点P作PE⊥BC于E，依据角均分线上的点到角的两边的距离相等即可推出P到BC的距离.【答案与分析】解：过点P作PE⊥BC于E，∵AB∥CD，PA⊥AB，∴PD⊥CD，∵BP和CP分别均分∠ABC和∠DCB，∴PA=PE，PD=PE，∴PE=PA=PD，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．应选C．【总结升华】本题考察了角均分线上的点到角的两边的距离相等的性质，线是解题的重点．种类二、角的均分线的性质综合应用

熟记性质并作协助4、如图，

P为△ABC的外角均分线上任一点

.求证：

PB＋PC≥AB＋AC.【思路点拨】在BA的延伸线上取AD＝AC，证△PAD≌△PAC，进而将四条线段转变到同一个△PBD中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与分析】证明：①当点P与点A不重合时，在BA延伸线上取一点

D，使

AD＝AC，连结

PD.∵P为△ABC的外角均分线上一点，∴∠1＝∠2∵在△PAD和△PAC中PA

PA1

2∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD∴PB＋PC＞AB＋AC.②当点P与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC.综上，PB＋PC≥AB＋AC.【总结升华】利用角均分线的对称性，在角两边取同样的线段，经过（形，进而把分别的线段集中到同一个三角形中.

SAS）结构全等三角贯通融会：【变式】（2014秋?启东市校级期中）如图，四边形的中点，且OA均分∠BAC．（1）求证：OC均分∠ACD；（2）求证：OA⊥OC；（3）求证：AB+CD=AC．

ABDC中，∠D=∠ABD=90゜，点

O为

BD【答案】证明：（1）过点O作OE⊥AC于E，∵∠ABD=90゜，OA均分∠BAC，∴OB=OE，∵点O为BD的中点，∴OB=OD，∴OE=OD，∴OC均分∠ACD；2）在Rt△ABO和Rt△AE