2022四川省普通专升本高等数学参考样卷(解析版)

2022年四川省普通专升本统一考试高等数学（理工类）标准化考试样卷及解析命题、解析人：year冉春考试时间：150分钟，满分:150分绝密：启用前一、选择题（共8小题，每小题4分，共计32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．当x→0时，a=是无穷小量，则()A．a是比2x高阶的无穷小量B．a是比2x低阶的无穷小量C．a与2x是同阶的无穷小量，但不是等价无穷小量D．a与2x是等价无穷小量正确答案：C解析：故选C．2．=()A．EB．e－1C．一e－1D．一e正确答案：B解析：由于若，则（）A.B.C.D.正确答案：C.解析:=应选C.4．球心在(－1，2，－2)且与xOy平面相切的球面方程是()A．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=4B．(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=2C．x2+y2+z2=4D．x2+y2+z2=2正确答案：A解析：已知球心为(一1，2，一2)，则代入球面标准方程为(x+1)2+(y－2)2+(z+2)2=r2．又与xOy平面相切，则r=2．故选A．5.幂级数的收敛区间为（）.B.D.正确答案：c解析：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数，因,当，即时，级数是绝对收敛的；当，即时，级数是发散的；当，即时，级数化为，显然是发散的。故原级数的收敛区间为.6.函数的幂级数展开为（）A．B．C．D．正确答案：C.解析:根据可知,,应选C.7．化为极坐标形式为（）A．B．C．D．正确答案：D.解析：积分区域有,应选D.8．设A是n阶矩阵，下列命题中错误的是()A．AAT=ATAB．A*A=AA*C．(A2)n=(An)2D．(E+A)(E－A)=(E－A)(E+A)正确答案：A解析：因为A是n阶矩阵，所以AAT=故AAT不一定等于ATA，故选项A错误．填空题（共7小题，每小题4分，共计28分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）9.函数的单调递减区间是_________.正确答案：或或或.解析：,10=___________．正确答案：解析：令=u，则x=u2，dx=udu，当x=－1时，u=3，当x=1时，u=1，则原式=11.设，则_______.正确答案：解：12．设二元函数z=ln(x+y2)，则=___________．正确答案：dx解析：由于函数z=ln(x+y2)的定义域为{（x,y）|x+y2＞0}．在z的定义域内为连续函数，因此dz存在，且又由于故13．过点(1，一1，0)与直线垂直的平面方程为___________．正确答案：x－2y+3z一3=0(或(x一1)一2(y+1)+3z=0)解析：∵直线垂直于平面π，∴π的法向量即为直线的方向向量，即n=s=(1，一2，3)，且点(1，一1，0)在平面π上，∴(x－1)－2(y+1)+3z=0．14.区域为，则正确答案：0解析：利用对称性知其值为0或.15．设A=，矩阵X满足方程AX+E=A2+X，则X=___________．正确答案：解析：由AX+E=A2+X(A—E)X=A2一E。A=，则A—E=，显然A—E可逆，所以(A—E)－1(A—E)X=X=(A—E)－1(A2—E)=(A—E)－1．(A—E)(A+E)=A+E，所以X=计算题（每小题必须清楚必要的解答步骤与过程，只给出最后结果的不得分，共9小题，共计90分）16.（本小题满分8分）计算.解：....................4分.....................8分17.（本小题满分8分）已知，求.解：方程两边对求导得，即，...........4分所以.故.........................6分..............8分18．（本小题满分8分）设是由方程确定的隐函数，求.解：方程两边对求导得..........................................2分即..........................................4分..........................................6分所以...........................................8分解析：若y=y(x)由方程F(x，y)=0确定，求dy常常有两种方法．(1)将方程F(x，y)=0直接求微分，然后解出dy．(2)先由方程F(x，y)=0求y′，再由dy=y′dx得出微分dy．19．（本小题满分8分）已知平面过两点M(3，一2，5)和N(2，3，1)且平行于z轴，求此平面的方程．解：因为平面平行于z轴，故设所求平面方程为Ax+By+D=0．..............2分又过两点M，N，将其坐标分别代入方程得解得A=，..........................4分再代入方程得Dy+D=0，.....................6分故得5x+y一13=0．..........................8分解析：解本题的关键是要抓住题中的两个条件．其一，此平面平行于z轴，因而此平面方程为Ax+By+D=0；其二，平面过两个点，那么将这两个点代入方程后应使等式成立．220.（本小题满分10分）求，其中区域由直线围成.2解：积分区域如图所示：把看作Y型区域，且有..........................................2分故有..........................................5分...........................................10分21．（本小题满分10分）求y″－2y′一3y=ex的通解．解：其对应的齐次线性微分方程的特征方程为r2一2r一3=0，特征根为r1=－1，r2=3，..........................................2分相应齐次方程的通解为=C1e－x+C2e3x．..........................................6分设方程的特解为y*=Aex，代入y″一2y′一3y=ex，得A=，原方程的特解y*=ex．..........................................10分解析：本题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的求解．求解二阶常系数非齐次线性微分方程y″+py′+qy=f(x)的一般步骤：(1)先求出与其相对应的齐次线性微分方程的通解=C1y1+C2y2；(2)再求出它的一个特解y*；(3)y=C1y1+C2y2+y*即为所求方程的通解．22．（本小题满分10分）设线性方程组问λ为何值时，方程组无解，λ为何值时，方程组有解，有解时，求方程组的解．解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换，得............................................4分所以λ=0或λ=－3时，方程组无解；............................................6分λ≠0且λ≠－3时，方程组有唯一解，其解为........................................10分解析：本题是利用初等行变换求解非齐次线性方程组．（本小题满分12分）证明题证明不等式：，其中n＜m，且m，n均为正整数．证明：设f(x)=lnx，因为n＜m，m，n为正整数，所以根据拉格朗日中值定理，易知f(x)在区间[n，m]上，至少存在一点ξ∈(n，m)，使得............................................4分又因为0＜n＜ξ＜m，故，............................................6分从而有............................................10分整理得............................................12分解析：解题的关键是掌握拉格朗日中值定理．（本小题满分16分）证明题设，其中函数在闭区间上连续且，证明在开区间内,方程有唯一实根.证明：因为在上有意义，所以在上连续，...........................................4分,...............