算法案例课件

算法案例1.3算法案例1.3主要内容1.3.1辗转相除法与更相减损术1.3.2秦九韶算法1.3.3进位制主要内容1.3.1辗转相除法与更相减损术1.3.2秦九韶算法辗转相除法

更相减损术1.1.1辗转相除法

更相减损术1.1.11、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求225和135的最大公约数2、求8251和6105的最大公约数25（1）55357所以，25和35的最大公约数为5所以，225和135的最大公约数为5×3×3=45课前复习225（2）545135273159知识回顾：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来3351、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数2辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数

8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法

6105=2146×2+1813

同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。思考：从上述的过程你体会到了什么？辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和610完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0完整的过程8251=6105×1+21466105=214

辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？r=mMODnm=nn=rr=0?是辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这辗转相除法的程序框图开始输入m,nr=mMODnm=nn=rr=0?输出m结束是否INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND辗转相除法的程序框图开始输入m,nr=mMODnm=nn1、用辗转相除法求下列两数的最大公约数：（1）（123，48）（2）（72，168）（3）（153，119）（4）（4081,20723）3532417课堂练习：1、用辗转相除法求下列两数的最大公约数：3532417课堂练

2、下面是求115与276的最大公约数的程序，把程序补充完整。a=115b=276DOr=____a=bb=rLOOPUNTILr=____PRINTaEND2、下面是求115与276的最大公约数的程序，把程序补充完更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是，则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或这个等数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少例1、用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35;63－35＝28;35－28＝7;28－7＝21;21－7＝14;14－7＝7.所以，98与63的最大公约数是7。练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(12)例1、用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不二者算理相似，有异曲同工之妙1、都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。2、从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到（差为0）辗转相除法与更相减损术的区别二者算理相似，有异曲同工之妙辗转相除法与更相减损术的区别2、求324、243、135这三个数的最大公约数1、用辗转相除法求294与84的最大公约数，再用更相减损术验证。课堂练习：2、求324、243、135这三个数的最大公约数1、用辗转相秦九韶算法1.3.2秦九韶算法1.3.2[问题1]怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？方法一：把5代人多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时我们一共做了5+4+3+2+1=15次乘法运算,5次加法运算.方法二：先计算x2,然后依次计算的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时我们一共需要9次乘法运算,5次加法运算.[问题1]怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x[问题2]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.[问题2]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?f设是一个n次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？设是一个n次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：思考：当要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即最后的一项是什么？这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内 点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.

它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率. 点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0. 观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.若令v0=an,得v0=an,vk=vk-1x+an-k(k=1,2,……,n) 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x程序框图v=vx+aiINPUT“n=”；nINPUT“an=”；aINPUT“x=”；xv=ai=n-1WHILEi>=0PRINT“i=”;iINPUT“ai=”;a

v=v*x+ai=i-1WENDPRINTvEND否开始输入n,an,x的值i≥0?i=n-1v=ani=i-1输出v结束是输入ai程序框图v=vx+aiINPUT“n=”；n否开始输入n,1、用秦九韶算法求多项式当x=3时的值.课堂练习f(3)=213241、用秦九韶算法求多项式当x=3时的值.课堂练习f(3)=2当x=5时,多项式的值是15170.

2、用秦九韶算法求多项式f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.解:原多项式先化为:

f(x)=2x6-5x5+0×x4-4x3+3x2-6x+0注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.当x=5时,多项式的值是15170.2、用秦九韶算法求多项进位制1.3.3进位制1.3.3[问题1]我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢?进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几. 可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.[问题1]我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一例如：二进制可使用的数字有0和1,基数是2;

十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个数字,基数是10;

十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15),十六进制的基数是16. 注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,.如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.十进制数一般不标注基数.例如：二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 注意:为了区分[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什么形式?1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.同理:3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.C7A16(16)=12×164+7×163+10×162

+1×161+6×160.[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan-1…a1a0(k)(0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)意思是:(1)第一个数字an不能等于0;(2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1

+…+a1×k1+a0×k0.注意这是一个n+1位数.一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数[问题3]二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时,先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再把运算结果转化为十进制数输出.那么二进制数与十进制数之间是如何转化的呢?例1:把二进制数110011(2)化为十进制数.分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.解:110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.

[问题3]二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两种[问题4]你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗?解:10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30=81+18+6+1=106.

总结：

k进制数转化为十进制数的方法 先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0.再按照十进制数的运算规则计算出结果.[问题4]你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗?解:例

设计一个算法,把k进制数a(共有n位)化为十进制数b.算法步骤如下:例设计一个算法,把k进制数a(共有n位)化为十进制数b.算开始输入a,k,nb=0i=1把a的右数第i位数字赋给ti=i+1i>n?输出b结束

①否是①②②INPUTa,k,ni=1b=0t=aMOD10DOb=b+t*k^(i-1)a=a\10t=aMOD10i=i+1LOOPUNTILi>nPRINTbEND程序:程序框图：输入a,k,n开始输入a,k,nb=0i=1把a的右数第i位数字赋给ti=例2:把89化为二进制的数.分析:把89化为二进制的数,需将89先写成如下形式89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20.89=64+16+8+1=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20

=1011001(2).但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办?89=44×2+1,44=22×2+0,22=11×2+0,11=5×2+1,5=2×2+1,2=1×2+0,1=0×2+1,例2:把89化为二进制的数.分析:把89化为二进制的数,需将89=44×2+1,44=22×2+0,22=11×2+0,11=5×2+1,5=2×2+1,89=44×2+1,=(22×2+0)×2+1=((11×2+0)×2+0)×2+1=(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1=((((2×2+1)×2+1)×2+0)×2+0)×2+1

=(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)×2+0)×2+1=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).可以用2连续去除89或所得商(一直到商为0为止),然后取余数---除2取余法.2=1×2+0,1=0×2+1,89=44×2+1,44=22×2+0,22=1441例2:把89化为二进制的数.我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:289余数22202110251221210201把算式中各步所得的余数从下到上排列,得到89=1011001(2).这种方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法,称为除k取余法.441例2:把89化为二进制的数.我们可解:以5作为除数,相应的除法算式为:174589余数532503∴89=324(5).例3:把89化为五进制的数.解:以5作为除数,相应的除法算式为:17[问题5]你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?解:第一步:先把三进制数化为十进制数:10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30=81+18+6+1=106.第二步:再把十进制数化为二进制数:106=1101010(2).∴10221(3)=106=1101010(2).[问题5]你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗?解:例设计一个程序，实现“除k取余法”（k∈N，2≤k≤9）第一步：给定的十进制正整数a和转化后的数的基数k第二步：求出a除以k所得的商q，余数r.第三步：把得到的余数依次从右到左排列.第四步：若q≠0，则a=q，返回第二步；否则，输出全部余数r排列得到的k进制数.例设计一个程序，实现“除k取余法”（k∈N，2≤k≤9）第程序框图：开始输入a,k求a除以k的商q求a除以k的余数ra=qq=0?输出全部余数r排列得到的k进制数结束①①②②把得到的余数依次从右到左排列是否程序框图：开始输入a,k求a除以k的商q求a除以k的余数raINPUT“a,k=”;a,kb=0i=0DOq=a\kr=aMODkb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOPUNTILq=0PRINTbEND程序:例

设计一个程序,实现“除k取余法”.INPUT“a,k=”;a,k程序:例设计一个程序,

课堂练习1、完成下列进位制之间的转化：（1）10231（4）=（10）；（2）235（7）=（10）；（3）137（10）=（6）；（4）1231（5）=（7）；（5）213（4）=（3）；（6）1010111（2）=（4）。30112434536211101113课堂练习301124345362111011132、已知10b1（2）=a02（3）,求数字a，b的值.所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7.

10b1（2）=1×23+b×2+1=2b+9.a02（3）=a×32+2=9a+2.故a=1，b=1.2、已知10b1（2）=a02（3）,求数字a，b的值.所算法案例1.3算法案例1.3主要内容1.3.1辗转相除法与更相减损术1.3.2秦九韶算法1.3.3进位制主要内容1.3.1辗转相除法与更相减损术1.3.2秦九韶算法辗转相除法

更相减损术1.1.1辗转相除法

更相减损术1.1.11、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数（2）求225和135的最大公约数2、求8251和6105的最大公约数25（1）55357所以，25和35的最大公约数为5所以，225和135的最大公约数为5×3×3=45课前复习225（2）545135273159知识回顾：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来3351、求两个正整数的最大公约数（1）求25和35的最大公约数2辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数

8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法

6105=2146×2+1813

同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。思考：从上述的过程你体会到了什么？辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和610完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0完整的过程8251=6105×1+21466105=214

辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程否思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？r=mMODnm=nn=rr=0?是辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这辗转相除法的程序框图开始输入m,nr=mMODnm=nn=rr=0?输出m结束是否INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND辗转相除法的程序框图开始输入m,nr=mMODnm=nn1、用辗转相除法求下列两数的最大公约数：（1）（123，48）（2）（72，168）（3）（153，119）（4）（4081,20723）3532417课堂练习：1、用辗转相除法求下列两数的最大公约数：3532417课堂练

2、下面是求115与276的最大公约数的程序，把程序补充完整。a=115b=276DOr=____a=bb=rLOOPUNTILr=____PRINTaEND2、下面是求115与276的最大公约数的程序，把程序补充完更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是，则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或这个等数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少例1、用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝35;63－35＝28;35－28＝7;28－7＝21;21－7＝14;14－7＝7.所以，98与63的最大公约数是7。练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数。(12)例1、用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不二者算理相似，有异曲同工之妙1、都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。2、从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到（差为0）辗转相除法与更相减损术的区别二者算理相似，有异曲同工之妙辗转相除法与更相减损术的区别2、求324、243、135这三个数的最大公约数1、用辗转相除法求294与84的最大公约数，再用更相减损术验证。课堂练习：2、求324、243、135这三个数的最大公约数1、用辗转相秦九韶算法1.3.2秦九韶算法1.3.2[问题1]怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7当x=5时的值？方法一：把5代人多项式f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时我们一共做了5+4+3+2+1=15次乘法运算,5次加法运算.方法二：先计算x2,然后依次计算的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时我们一共需要9次乘法运算,5次加法运算.[问题1]怎样求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x[问题2]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0x-5=2×5-5=5v2=v1x-4=5×5-4=21v3=v2x+3=21×5+3=108v4=v3x-6=108×5-6=534v5=v4x+7=534×5+7=2677这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.[问题2]能否探索更好的算法,来解决任意多项式的求值问题?f设是一个n次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：思考：当知道了x的值后该如何求多项式的值？这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？设是一个n次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：思考：当要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即最后的一项是什么？这种将求一个n次多项式f（x）的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。思考：在求多项式的值上，这是怎样的一个转化？要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即然后，由内 点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.

它的特点是:把求一个n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大提高了运算效率. 点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方法.v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3,……,vn=vn-1x+a0. 观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值.若令v0=an,得v0=an,vk=vk-1x+an-k(k=1,2,……,n) 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x程序框图v=vx+aiINPUT“n=”；nINPUT“an=”；aINPUT“x=”；xv=ai=n-1WHILEi>=0PRINT“i=”;iINPUT“ai=”;a

v=v*x+ai=i-1WENDPRINTvEND否开始输入n,an,x的值i≥0?i=n-1v=ani=i-1输出v结束是输入ai程序框图v=vx+aiINPUT“n=”；n否开始输入n,1、用秦九韶算法求多项式当x=3时的值.课堂练习f(3)=213241、用秦九韶算法求多项式当x=3时的值.课堂练习f(3)=2当x=5时,多项式的值是15170.

2、用秦九韶算法求多项式f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.解:原多项式先化为:

f(x)=2x6-5x5+0×x4-4x3+3x2-6x+0注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项应将其系数补0.当x=5时,多项式的值是15170.2、用秦九韶算法求多项进位制1.3.3进位制1.3.3[问题1]我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的进位制之间又有什么联系呢?进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就是十六进制;等等.“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几. 可使用数字符号的个数称为基数.基数都是大于1的整数.[问题1]我们常见的数字都是十进制的,但是并不是生活中的每一例如：二进制可使用的数字有0和1,基数是2;

十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个数字,基数是10;

十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15),十六进制的基数是16. 注意:为了区分不同的进位制,常在数字的右下脚标明基数,.如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.十进制数一般不标注基数.例如：二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 注意:为了区分[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成下面的形式:3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什么形式?1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.同理:3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.C7A16(16)=12×164+7×163+10×162

+1×161+6×160.[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7个百,2一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式anan-1…a1a0(k)(0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)意思是:(1)第一个数字an不能等于0;(2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.k进制的数也可以表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1

+…+a1×k1+a0×k0.注意这是一个n+1位数.一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为基数[问题3]二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时,先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再把运算结果转化为十进制数输出.那么二进制数与十进制数之间是如何转化的呢?例1:把二进制数110011(2)化为十进制数.分析:先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果.解:110011(2)=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=1×32+1×16+1×2+1=51.

[问题3]二进制只用0和1两个数字,这正好与电路的通和断两种[问题4]你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗?解:10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30=81+18+6+1=106.

总结：

k进制数转化为十进制数的方法 先把k进制的数表示成不同位上数字与基数k的幂的乘积之和的形式,即anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0.再按照十进制数的运算规则计算出结果.[问题4]你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗?解:例

设计一个算法,把k进制数a(共有n位)化为十进制数b.算法步骤如下:例设计一个算法,把k进制数a(共有n位)化为十进制数b.算开始输入a,k,nb=0i=1把a的右数第i位数字赋给ti=i+1i>n?输出b结束

①否是①②②INPUTa,k,ni=1b=0t=aMOD10DOb=b+t*k^(i-1)a=a\10t=aMOD10i=i+1LOOPUNTILi>nPRINTbEND程序:程序框图：输入a,k,n开始输入a,k,nb=0i=1把a的右数第i位数字赋给ti=例2:把89化为二进制的数.分析:把89化为二进制的数,需将89先写成如下形式89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20.89=64+16+8+1=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20

=1011001(2).但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办?89=44×2+1,44=22×2+0,22=11×2+0,11=5×2+1,5=2×2+1,2=1×2+0,1=0×2+1,例2:把89化为二进制的数.分析:把89化为二进制的数,需将89=44×2+1,44=22×2+0,22=11×2+0,11=5×2+1,5=2×2+1,89=44×2+1,=(22×2+0)×2+1=((11×2+0)×2+0)×2+1=(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1=((((2×2+1)×2+1)×2+0)×2+0)×2+1

=(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)×2+0)×2+1=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×