第5讲简单随机抽样与系统抽样教师版

简单随机抽样与系统抽样____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题，提高学生分析问题的能力.2．理解随机抽样的必要性和重要性，提高学生学习数学的兴趣.3．学会用抽签法和随机数法抽取样本，培养学生的应用能力．4.理解系统抽样，会用系统抽样从总体中抽取样本，了解系统抽样在实际生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣.1．初中我们学习了样本的有关知识，知道了总体、个体、样本、样本容量、平均数、方差、标准差、众数、中位数等概念，下面我们对这些概念进行回顾：(1)总体：我们所要考察对象的_______叫做总体，其中每一个考察对象叫做_______．(2)样本：从总体中抽出的若干个个体组成的_______叫做总体的一个样本，样本中个体的_______叫做样本容量．(3)个体：总体中的每个_______叫做个体．(4)样本容量：样本中个体的_______叫做样本容量．(5)平均数：一组数据的和与这组数据的个数的_______．(6)方差：各个数据与平均数差的平方和，与这组数据的个数的商．(7)标准差：方差的算术平方根．(8)众数：一组数据出现次数_______的数据．(9)中位数：一组数据按从小到大排成一列处于_______位置的数．全体个体集合数量元素数目商最多中间2．简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中_______________地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都_______，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)说明：我们所讨论的简单随机抽样都是_______的抽样，即抽取到某个个体后，该个体不再_______总体中．常用到的简单随机抽样方法有两种：_________(抓阄法)和_________．逐个不放回相等不放会放回抽签法随机数法3.简单随机抽样具有下列特点：①简单随机抽样要求总体中的个体数N是有限的．②简单随机抽样抽取样本的容量n小于或等于总体中的个体数N.③简单随机抽样中的每个个体被抽到的可能性均为eq\f(n,N).④当总体中的个体无差异且个体数目较少时，采用简单随机抽样抽取样本．⑤逐个抽取即每次仅抽取一个个体．⑥简单随机抽样是不放回的抽样，即抽取的个体不再放回总体．4．抽签法一般地，抽签法就是把总体中的N个个体_______，把号码写在_______上，将号签放在一个容器中，搅拌_______后，每次从中抽取_______号签，连续抽取n次，就得到一个容量为_______的样本．编号号签均匀一个n5.抽签法抽取样本的步骤：①将总体中的个体编号为1～N.②将所有编号1～N写在形状、大小相同的号签上．③将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．④从容器中每次抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次．⑤从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出．操作要点是：编号、写签、搅匀、抽取样本．6．随机数法随机数法即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．用随机数表法抽取样本的步骤：①将总体中的个体_______．②在随机数表中__________数作为开始．③规定一个方向作为从选定的数读取数字的_______．④开始读取数字，若不在编号中，则_______，若在编号中则_______，依次取下去，直到取满为止．(相同的号只计一次)⑤根据选中的号码抽取样本．操作要点是：编号、选起始数、读数、获取样本．编号任选一个方向跳过取出说明：虽然产生随机数的方法很多，但在高中数学中，仅学习用随机数表产生随机数来抽样，即随机数表法．7．抽签法与随机数法的异同点剖析：相同点：(1)都是简单随机抽样，并且要求被抽取样本的总体所含的个体是有限的；(2)都是从总体中逐个地、不放回地抽取．不同点：(1)抽签法比随机数法简单；(2)随机数法更适用于总体中的个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，这样可以节约大量的人力和制作号签的成本．8．系统抽样(1)定义：一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成_______的若干部分，然后按照预先制定的_______，从每一部分抽取_______个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样．(2)步骤：均衡规则一个编号分段间隔简单随机抽样间隔kl+kl+2k9.系统抽样的特征：(1)当总体中个体无差异且个体数目较大时，采用系统抽样．(2)将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽样又称等距抽样，间隔一般为k＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(N,n)))表示不超过\f(N,n)的最大整数)).(3)预先制定的规则指的是：在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号．(4)在每段上仅抽一个个体，所分的组数(即段数)等于样本容量．(5)第一步编号中，有时可直接利用个体自身所带的号码，如学号、准考证号、门牌号等，不再重新编号．10．系统抽样与简单随机抽样的区别与联系类别特点相互联系适用范围共同点简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中的个体数较少抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等系统抽样将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取在起始部分抽样时，采用简单随机抽样总体中的个体数较多面对实际问题，能准确地选择一种合理的抽样方法，对初学者来说至关重要．可采用以下原则：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法(也可用随机数表法)；(2)当总体容量较大，样本容量较小时可用随机数表法；(3)当总体容量较大，样本容量也较大时也可用系统抽样．类型一简单随机抽样的概念例1：下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴青海参加抗震救灾工作；(4)一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签；(5)箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里．[解析](1)不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．(2)不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．(3)不是简单随机抽样．因为50名官兵是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．(4)是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能的抽样．(5)不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样．要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它本身的特点与简单随机抽样的几个特点是否完全符合．(1)如果一个总体满足下列两个条件，那么可用简单随机抽样抽取样本：①总体中的个体之间无差异：②总体个数不多．(2)判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样练习1：(2015·北京师大附中)在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性()A．与第几次抽样无关，第一次抽中的可能性要大些B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些D．每个个体被抽中的可能性无法确定[答案]B练习2：(2015·孝感高一检测)现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验，下列说法正确的是()A．80件产品是总体B．20件产品是样本C．样本容量是80D．样本容量是20[答案]D练习3：下列问题中，最适合用简单随机抽样的是()A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C．某学校有在编人员160人．其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本D．某乡农田有山地8000亩，丘陵12000亩，平地24000亩，洼地4000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量[答案]B类型二抽签法的应用例2：某班有30名学生，要从中抽取6人参加一项活动，请用合适的抽样方法写出抽样的过程．[解析]一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．在用抽签法解决问题的过程中，为了使每一个个体被抽到的可能性相等，要特别注意每一次抽签前要将号签搅匀，这样才能保证抽样的公平性．利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：①编号时，如果已有编号(如学号，标号等)，可不必重新编号．②号签要求大小、形状完全相同．③号签要搅拌均匀．④要逐一不放回地抽取．[答案]第一步，将30名学生进行编号，号码为：01,02，…，30.第二步，用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号．第三步，将得到的号签放入一个不透明的容器中，并充分搅匀．第四步，从容器中依次抽取6个号签，并记录上面的编号．第五步，所得号码对应的6名学生就是要抽取的对象．练习1：某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组，请用抽签法确定志愿小组成员，并写出抽样步骤．[解析]抽样步骤是：第一步，将18名志愿者编号，号码是01,02，…，18；第二步，将号码分别写在同样的小纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀；第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步，与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．练习2：抽签法中确保样本代表性的关键是()A．制签 B．搅拌均匀 C．逐一抽取 D．抽取不放回[答案]B类型三随机数表法的应用例3：某车间工人加工了一批零件共40件，为了了解这批零件的质量情况，要从中抽取10件进行检验，如何采用随机数表法抽取样本？写出抽样步骤．[解析]在随机数表法抽样的过程中要注意：①编号要求位数相同．②第一个数字的选取是随机的．③读数的方向是任意的，且事先定好．[答案]抽样步骤是：第一步，先将40件零件编号，可以编为00,01,02，…，38,39.第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，例如从教材附表的随机数表中的第8行第9列的数5开始．为便于说明，我们将随机数表中的第6行至第10行摘录如下：1622779439495443548217379323788735209643842634916484421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795457608632440947279654491746096290528477270802734328第三步，从选定的数5开始向右读下去，得到一个两位数字号码59，由于59>39，将它去掉；继续向右读，得到16，将它取出；继续下去，又得到19,10,12,07,39,38,33,21，随后的两位数字号码是12，由于它在前面已经取出，将它去掉，再继续下去，得到34.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是16,19,10,12,07,39,38,33,21,34.与这10个号码对应的零件即是抽取的样本个体．练习1：用随机数表法进行抽样，有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定随机数表开始的数字，这些步骤的先后顺序应该是________．(填序号)[答案]①③②练习2：假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60颗进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001,002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第2列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的4颗种子的编号________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954[答案]301,637,169,555练习3：为了检验某种产品的质量，决定从1001件产品中抽取10件进行检查，用随机数表法抽取样本的过程中，所编的号码的位数最少是________位．[答案]四类型四合理运用抽样方法例4：一个学生在一次理科综合学科竞赛中要回答的8道题是这样产生的：从15道物理题中随机抽取3道；从20道化学题中随机抽取3道；从12道生物题中随机抽取2道，请选用合适的方法确定这个学生所要回答的三门学科的题的序号(物理题的编号为1～15，化学题的编号为16～35，生物题的编号为36～47)．[解析]由题意可知样本由3类组成，需分别在物理题、化学题、生物题中抽取．由于每类总体和样本的个数都较少，所以采用抽签法或随机数法都可以完成．解答抽样问题时，要注意所抽出的样本既要能准确地反映总体特征，又要能方便操作．[答案]解法一：抽签法．第一步，将物理、化学、生物题编号，号码是1,2,3，…，47；第二步，将1～47这47个编号分别写到大小、形状都相同的号签上；第三步，将物理、化学、生物题的号签分别放人三个不透明的容器中，都搅拌均匀；第四步，分别从装有物理、化学、生物题的容器中逐个抽取3个、3个、2个号签，并记录所得号签的编号，这便是所要回答的问题的序号．解法二：随机数法．第一步，将物理题的编号对应地改成01,02，…，15，其余两门学科的题的编号不变；第二步，在随机数表中任选一个数作为开始，任选一个方向作为读数方向，例如选出第10行第2列的数7开始向右读；第三步，从选定的数7开始向右读．每次读取两位，凡不在01～47中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，从01～15中选3个号码，从16～35中选3个号码，从36～47中选2个号码，依次可得到08,24,40,44,29,05,28,14；第四步，对应以上编号找出所要回答的问题的序号，物理题的序号为：5,8,14；化学题的序号为：24,28,29；生物题的序号为：40,44.练习1：现在有一种游戏，其用具为四副扑克，包括大小王在内共216张牌，参与人数为6人，并围成一圈．游戏开始时，从这6人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫开牌)，然后按逆时针方向，根据这张牌上的数字来确定抓牌的先后，这6人依次从216张牌中抓取36张牌，问这种抓牌的方法是不是简单随机抽样？[答案]简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始的牌，其他各张牌虽然是逐张抓牌，但是各张在谁手里已被确定，只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的，其他215张牌已经确定，即这215张扑克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌被抽取的可能性不相同，所以不是简单随机抽样．练习2：为了了解2015年参加市运会的240名运动员的身高情况，从中抽取40名运动员进行测量．下列说法正确的是()A．总体是240名运动员B．个体是每一个运动员C．40名运动员的身高是一个个体D．样本容量是40[答案]选D.根据统计的相关概念并结合题意可得，此题的总体、个体、样本这三个概念的考察对象都是运动员的身高，而不是运动员，并且一个个体是指一名运动员的身高，选项A，B表达的对象都是运动员，选项C未将个体和样本理解透彻．在这个问题中，总体是240名运动员的身高，个体是每个运动员的身高，样本是40名运动员的身高，样本容量是40.因此选D.类型五系统抽样概念的理解例5：下列抽样中不是系统抽样的是()A．从号码为1～15的15个球中任选3个作为样本，先在1～5号球中用抽签法抽出i0号，再将号码为i0＋5，i0＋10的球也抽出B．工厂生产的产品，用传送带将产品送入包装车间的过程中，检查人员从传送带上每5min抽取一件产品进行检验C．搞某项市场调查，规定在商店门中随机地抽一个人进行询问，直到调查到事先规定的调查人数为止D．某电影院调查观众的某一指标，通知每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈[解析]本题C显然不是系统抽样，因为事先不知道总体数量，抽样方法也不能保证每个个体等可能入样，总体也没有分成均衡的几部分，故C不是系统抽样．[答案]C练习1：某市场想通过检查发票及销售记录的2%来快速估计每月的销量总额．采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按顺序往后将65号，115号，165号，…抽出，发票上的销售额组成一个调查样本．这种抽取样本的方法是()A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．其他的抽样方法[答案]C练习2：下列问题中，最适合用系统抽样抽取样本的是()A．从10名学生中，随机抽2名学生参加义务劳动B．从全校3000名学生中，随机抽100名学生参加义务劳动C．从某市30000名学生中，其中小学生有14000人，初中生有10000人，高中生有6000人，抽取300名学生了解该市学生的近视情况D．从某班周二值日小组6人中，随机抽取1人擦黑板[答案]B练习3：某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11 B．12 C．13 D．14[答案]B类型六系统抽样方案的设计例6：为了了解某地区今年高一学生期末考试数学学科的成绩，拟从参加考试的15000名学生的数学成绩中抽取容量为150的样本．请用系统抽样写出抽取过程．[解析]由于总体容量恰被样本容量整除，所以分段间隔k＝eq\f(15000,150)＝100，按系统抽样方法的四个步骤抽取样本．[答案](1)对全体学生的数学成绩进行编号：1,2,3，…，15000.(2)分段：由于样本容量与总体容量的比是1100，所以我们将总体平均分为150个部分，其中每一部分包含100个个体．(3)在第一部分即1号到100号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是56.(4)以56作为起始数，然后顺次抽取156,256,356，…，14956，这样就得到一个容量为150的样本．练习1：(2015·河北省衡水一中月考)将参加数学竞赛的1000名学生编号如下000,001,002，…，999，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样方法分成50个部分，第一组编号000,001，…，019，如果在第一组随机抽取的号码为015，则第30个号码为________．[答案]595练习2：为了了解高二2013名学生中使用数学教辅的情况，请你用系统抽样抽取一个容量为50的样本．[答案]由于eq\f(2013,50)不是整数，所以先从总体中随机剔除13个个体．步骤：(1)随机地将这2013个个体编号为1,2,3，…，2013.(2)利用简单随机抽样，先从总体中剔除13个个体(可利用随机数表)，剩下的个体是2000能被样本容量50整除，然后再重新编号为1,2,3，…，2000.(3)确定分段间隔.eq\f(2000,50)＝40，则将这2000名学生分成50组，每组40人，第1组是1,2,3，…，40；第2组是41,42,43，…，80；依次下去，第50组是1961，1962，…，2000.(4)在第1组用简单随机抽样确定第一个个体编号i(i≤40)．(5)按照一定的规则抽取样本．抽取的学生编号为i＋40k(k＝0,1,2，…，39)，得到50个个体作为样本，如当i＝2时的样本编号为2,42,82，…，1962.练习3：中央电视台动画城节目为了对本周的热心小观众给予奖励，要从已确定编号的一万名小观众中抽出十名幸运小观众．现采用系统抽样法抽样，其组容量为()A．10 B．100 C．1000 D．10000[答案]C练习4：(2015·北京大学附中高考一轮单元复习精品练习)有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人做问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号可能为()A．5,10,15,20 B．2,6,10,14 C．2,4,6,8 D．5,8,11,14[答案]A类型七不同抽样方法的正确选取与比较例7：解答下列各题：(1)从某厂生产的703件产品中随机抽取70件测试某项指标，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程；(2)从某厂生产的703件产品中随机抽取7件测试某项指标，请合理选择抽样方法进行抽样，写出抽样过程；(3)从某厂生产的30件产品中随机抽取4件测试某项指标，请合理选择抽样方法进行抽样，写出抽样过程．[解析]根据题目特点选择合理的抽样方法实施抽样过程．[答案](1)①将703件产品以随机方式编号；②从总体中剔除3件(可用随机数表法)，将剩下的700件产品重新编号(号码为1,2，…，700)，并分成70段；③在第一段1,2，…，10这10个编号中用简单随机抽样抽出一个(如4)作为起始号码；④将编号为4,14,24，…，694的个体抽出，组成样本．(2)第一步，将703件产品以随机方式编号，号码为001,002，…，703；第二步，在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如，从第8行第29列的数“7”开始，任选一个方向作为读数方向，如，向右读；第三步，从数“7”开始向右读，每次读三位，凡不在001～703中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到286,443,387,211,234,297,560；这7个号码就是所要抽取的7个样本个体的号码．(3)第一步，将30件产品以随机方式编号，号码为1,2，…，30；第二步，将这30个号码分别写在一个大小、形状都一样的30张小纸条上，揉成小球，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；第四步，从袋子中逐个抽取4个号签，并记录上面的号码；第五步，从总体中将与抽到的号签上的号码相一致的个体取出．练习1：某工厂有一线职工650人，管理人员25人，现从一线职工中抽取25人，从管理人员中抽取2人到外单位进行参观学习，在这个抽样过程中，最适合的抽样方法为()A．随机数表法抽签法B．随机数表法C．系统抽样法抽签法D．抽签法[答案]C1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．从无数个个体中抽取10个个体作为样本B．从含有50个个体的总体里一次性抽取5个个体作为样本C．某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加篮球比赛D．一彩民从装有30个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽取7个号签[答案]D2．用随机数法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号②获取样本号码③选定开始的数字④选定读数的方向⑤抽取样本这些步骤的先后顺序应为()A．①②③④⑤ B．①③④②⑤ C．③②⑤①④ D．⑤④③①②[答案]B3．某报告厅有50排座位，每排有60个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座位号为18,78,138，…的50位听众进行座谈，这是运用了()A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样 D．有放回抽样[答案]C4．为了了解参加一次知识竞赛的1252名学生的成绩，决定采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本．那么总体中应随机剔除的个体数目是()A．2 B．4 C．5 D．6[答案]A5．某中学从已编号(1～60)的60个班级中，随机抽取6个班级进行卫生检查，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6个班级的编号可能是()A．6,16,26,36,46,56 B．3,10,17,24,31,38C．4,11,18,25,32,39 D．5,14,23,32,41,50[答案]A6．某市为了了解本市4600名高三理科毕业生的数学成绩，要从中抽取200名进行数据分析，那么这次考察的总体为________，样本容量为________．[答案]4600名高三理科毕业生的数学成绩2007．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数表法抽取10件进行检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1,2,3，…，100；②001,002,003，…，100；③00,01,02，…，99.其中最恰当的编号是________．[答案]③8．若总体中含有1645个个体，按0001至1645进行编号，采用系统抽样的方法从中抽取容量为35的样本，则编号后确定编号分为________段，分段间隔k＝________，每段有________个个体．若第5段抽取的号码为190，则第1段应抽取的号码为________．[答案]35474729．某校高一年级有36名足球运动员，要从中抽出7人调查学习负担情况．试用两种简单随机抽样方法分别取样．[答案]方法一(抽签法)第一步，将36名足球运动员进行编号，分别为1,2,3，…，36；第二步，将36个号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透明的盒子里，充分搅拌，依次抽取7个号签，并记录上面的号码；第四步，与这7个号码对应的足球运动员就是要抽取的样本．方法二(随机数表法)第一步，将36名足球运动员进行编号，分别为00,01,02,03，…，35；第二步，在随机数表中任选一数作为开始数字，任选一方向作为读数方向．比如，选第4行第9个数字“2”，方向向右读；第三步，从“2”开始，向右读，每次读取两位，凡不在00～35中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到26,27,31,05,03,15,12.第四步，将与这7个号码26,27,31,05,03,15,12相对应的足球运动员选出，就构成了我们所要的样本．10．某单位共有在岗职工624人，为了调查工人上班时，从离开家到来到单位的路上平均所用时间，决定抽取24名工人调查这一情况，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？[答案]第一步，将624名在岗职工随机的编号：1,2,3，…，624；第二步，由于样本容量与总体容量的比是126，所以我们将总体平均分成24个部分，其中每一部分包含26个个体；第三步，在第一部分，即1号到26号用简单随机抽样，抽取一个号码，比如是8；第四步，以8作为起始数，然后顺次抽取34、60、86、112、138、164、190、216、242、268、294、320、346、372、398、424、450、476、502、528、554、580、606，这样就得到一个容量为24的样本．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固（1）一、选择题1．从某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩中抽取200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，200名学生成绩的全体是()A．总体 B．个体C．从总体中所取的一个样本 D．总体的容量[答案]C[解析]总体是5000名学生的成绩，个体是每一名学牛的成绩.200名学生成绩的全体是样本，总体的容量为5000.2．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，用随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，检验其质量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验[答案]D3．下列抽样实验中，适合用抽签法的有()A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件产品中取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验[答案]B[解析]A，D中个体的总数较大，不适于用抽签法；C中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法；B中个体数和样本容量较小，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看做是搅拌均了．4．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08 B．07C．02 D．01[答案]D[解析]由题意知选定的第一个数为65(第1行的第5列和第6列)，按由左到右选取两位数(大于20的跳过、重复的不选取)，前5个个体编号为08,02,14,07,01.故选出来的第5个个体的编号为01.5．关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是()A．要求总体中的个体数有限B．从总体中逐个抽取C．这是一种不放回抽样D．每个个体被抽到的机会不一样，与先后顺序有关[答案]D[解析]简单随机抽样，除具有A、B、C三个特点外，还具有：是等可能抽样，各个个体被抽取的机会相等，与先后顺序无关．6．用随机数法从100名学生(男生30人)中抽取10人，则某女生被抽到的可能性为()A.eq\f(1,100) B.eq\f(1,30)C.eq\f(1,70) D.eq\f(1,10)[答案]D二、填空题7．从10个“08奥运福娃”玩具中任取一个检验其质量，则应采用的抽样方法为________．[答案]抽签法[解析]总体个数较少，易于使用抽签法．8．现有30个零件，从中抽取10个进行检查，用随机数表法进行抽样，方法步骤如下：第一步，将30个零件编号00,01,02，…，29.第二步，在下面的随机数表中，从第3行第3列数开始向右读，得到抽取的样本号码依次是________．第三步，所得号码对应的10件产品就是所需抽取的对象．161277943949544354821737932378844217533157245506887704744767630163785916955567199810507175332112342978645607825242074438576086324409472796544917460962[答案]01,16,19,10,21,12,29,07,09,27[解析]第三步，从0开始向右读，读到01<29，将它取出；继续向右读，得到16,19,10,21,12,29,07.将它们取出；继续下去，随后的两位数号码是07.由于它前两已取出，将它去掉；再继续下去，又得到09,27.至此，10个样本的号码已取得．于是，所要抽取的样本号码是：01,16,19,10,21,12,29,07,09,27.三、解答题9．上海某中学从40名学生中选1名作为上海男篮拉拉队的成员，采用下面两种方法：方法一将这40名学生从1～40进行编号，相应的制作写有1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅拌均匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签对应的学生幸运入选．方法二将39个白球与一个红球混合放在一个暗箱中搅拌均匀，让40名学生逐一从中摸取一个球，摸到红球的学生成为拉拉队的成员．试问这两种方法是否都是抽签法？为什么？这两种方法有何异同？[解析]抽签法抽样时给总体中的N个个体编号各不相同，由此可知方法一是抽签法，方法二不是抽签法．因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而方法二中39个白球无法相互区分．这两种方法的相同之处在于每名学生被选中的机会都相等．10．(2015·上海高一检测)2011年5月，西部志愿者计划开始报名，上海市闸北区共有50名志愿者参与了报名，现要从中随机抽出6人参加一项活动，请用抽签法进行抽样，并写出过程．[解析]第一步，将50名志愿者编号，号码为1,2,3，…，50.第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签．第三步，将所有号签放入一个不透明的箱子中，充分搅匀．第四步，一次取出1个号签，连取6次，并记录其编号．第五步，将对应编号的志愿者选出即可．基础巩固（2）一、选择题1．系统抽样适用的总体应是()A．容量较小的总体B．总体容量较大C．个体数较多但均衡无差异的总体D．任何总体[答案]C[解析]系统抽样的适用范围应是总体中的个体数目较多且无差异．2．某校高三年级有12个班，每个班随机的按1～50号排学号，为了了解某项情况，要求每班学号为20的同学去开座谈会，这里运用的是()A．抽签法 B．随机数表法C．系统抽样法 D．以上都不是[答案]C3．从2007名学生中选取50名参加全国数学联赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的可能性()A．不全相等 B．均不相等C．都相等，且为eq\f(50,2007) D．都相等，且为eq\f(1,40)[答案]C4．用系统抽样法(按等距离的规则)从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号．按编号顺序平均分成20段(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是()A．7 B．5C．4 D．3[答案]B[解析]用系统抽样知，每段中有8人，第16段应为从121到128这8个号码，125是其中的第5个号码，所以第一段中被确定的号码是5.5．有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4人进行问卷调查，若用系统抽样方法，则所抽的编号可能为()A．5,10,15,20 B．2,6,10,14C．2,4,6,8 D．5,8,9,14[答案]A[解析]根据系统抽样的特点，所选号码应是等距的，且每组都有一个，B、C中的号码虽然等距，但没有后面组中的号码；D中的号码不等距，且有的组没有被抽到，所以只有A组的号码符合要求．6．从N个号码中抽n个号码作为样本，考虑用系统抽样法，抽样间距为()A．[eq\f(N,n)] B.eq\f(N,n)C．n D．[eq\f(N,n)]＋1[答案]A[解析]当N能被n整除时，抽样间距为eq\f(N,n)；当N不能被n整除时，抽样间隔为[eq\f(N,n)]．二、填空题7．某班有学生54人，现根据学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的编号是________．[答案]16[解析]因是系统抽样，54不能被4整除，需先剔除2人，再重新编号分组，最后按系统抽样的步骤抽取，所以抽出的某某号，是编号，并不是学号．先按学号随机剔除2人，再重新给52人编号1～52，每组13人，因为第一组取到3号，29＝2×13＋3,42＝3×13＋3，所以还有一个同学的编号为1×13＋3＝16.8．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2,3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k号码的个位数字相同，若m＝6，则在第7组中抽取的号码是________．[答案]63[解析]本题的入手点在于题设中的“第k组中抽取的号码的个位数字与m＋k的个位数字相同”．由题设可知：第7组的编号为60,61,62,63，…，69，而第7组中抽取的号码的个位数字与6＋7＝13的个位数字相同，故第七组抽取的号码是63.三、解答题9．某集团有员工1019人，其中获得过国家级表彰的有29人，其他人员990人．该集团拟组织一次出国学习，参加人员确定为：获得过国家级表彰的人员5人，其他人员30人．如何确定人选？[解析]获得过国家级表彰的人员选5人，适宜使用抽签法；其他人员选30人，适用系统抽样法．(1)确定获得过国家级表彰的人员人选：①用随机方式给29人编号，号码为1,2，…，29；②将这29个号码分别写在一个小纸条上，揉成小球，制成号签；③将得到的号签放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀；④从袋子中逐个抽取5个号签，并记录上面的号码；⑤从总体中将与抽取的号签的号码相一致的个体取出，人选就确定了．(2)确定其他人员人选：第一步：将990人其他人员重新编号(分别为1,2，…，990)，并分成30段，每段33人；第二步，在第一段1,2，…，33这33个编号中用简单随机抽样法抽出一个(如3)作为起始号码；第三步，将编号为3,36,69，…，960的个体抽出，人选就确定了．(1)、(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选．10．一个总体中的1000个个体编号为0,1,2，…，999，并依次将其分为10个小组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第0组随机抽取的号码为x，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的后两位数为x＋33k的后两位数．(1)当x＝24时，写出所抽取样本的10个号码；(2)若所抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，求x的取值范围．[解析](1)当x＝24时，按规则可知所抽取样本的10个号码依次为：24,157,290,323,456,589,622,755,888,921.(2)当k＝0,1,2，…，9时，33k的值依次为0,33,66,99,132,165,198,231,264,297.又抽取样本的10个号码中有一个的后两位数是87，从而x可以为87,54,21,88,55,22,89,56,23,90.∴x的取值范围是{21,22,23,54,55,56,87,88,89,90}．能力提升（1）一、选择题1．下列问题中，最适合用简单随机方法抽样的是()A．某学校有学生1320人，卫生部门为了了解学生身体发育情况，准备从中抽取一个容量为300的样本B．为了准备省政协会议，某政协委员计划从1135个村庄中抽取50个进行收入调查C．从全班30名学生中，任意选取5名进行家访D．为了解某地区癌症的发病情况，从该地区的5000人中抽取200人进行统计[答案]C[解析]A中不同年级的学生身体发育情况差别较大，B、D的总体容量较大，C的总体容量小，适宜用简单随机抽样．2．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽出一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为()A.eq\f(mN,M) B.eq\f(mM,N)C.eq\f(MN,m) D．N[答案]A[解析]总体中带有标记的比例是eq\f(N,M)，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计的eq\f(mN,M).3．从某批零件中抽取50个，然后再从这50个中抽取40个进行合格检查，发现合格产品有36个，则该产品的合格率为()A．36% B．72%C．90% D．25%[答案]C[解析]eq\f(36,40)×100%＝90%.4．(2015·聊城高一检测)某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第一次抽到的可能性为a，第二次被抽到的可能性为b，则()A．a＝eq\f(3,10)，b＝eq\f(2,9) B．a＝eq\f(1,10)，b＝eq\f(1,9)C．a＝eq\f(3,10)，b＝eq\f(3,10) D．a＝eq\f(1,10)，b＝eq\f(1,10)[答案]C[解析]由简单随机抽样的定义知，每个个体在每次抽取中都有相同的可能性被抽到，故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是eq\f(3,10).二、填空题5．某中学高一年级有700人，高二年级有600人，高三年级有500人，以每人被抽取的机会为0.03，从该中学学生中用简单随机抽样的方法抽取一个样本，则样本容量n为________．[答案]54[解析]n＝(700＋600＋500)×0.03＝546．2010年3月，山西曝出问题疫苗事件，山西药监局对某批次疫苗进行检验，现将从800支疫苗中抽取60支，在利用随机数表抽取样本时，将800支疫苗按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检验的5支疫苗的编号是________(下面摘取了随机数表的第7行至第9行)．844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169555671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954[答案]785,567,199,507,175[解析]从第8行第7列的数7开始向右读数，得到一个三位数785，因为785<799，所以将785取出，再向右读数，得到一个三位数916.因为916>799，所以将它去掉，再向右读数，得到一个三位数955.因为955>799，所以将它去掉，再向右读数，得到一个三位数567.因为567<799，所以将567取出．按照这种方法再向右读数，又取出199,507,175，这就找出最先检验的5支疫苗的编号，即785,567,199,507,175.三、解答题7．现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的节能灯，准备从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数法设计抽样方案？[解析]方法一：第一步，将节能灯的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600；第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向，比如，选第6行第7列数“9”开始向右读；第三步，从数“9”开始向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到544,354,378,520,384,263；第四步，以上这6个号码所对应的6个产品就是要抽取的对象．方法二：第一步，将每个产品的编号加100，重新编号为110,111,112，…，199,200，…，700；第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向，比如，选第8行第1列数“6”开始向右读；第三步，从数“6”开始向右读，每次读取三位，凡不在110～700中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到630,163,567,199,507,175；第四步，这6个号码分别对应原来的530,63,467,99,407,75，这些号码对应的6个产品就是要抽取的对象．[点评]当题目中所给个体的编号位数不一致时不便于直接从随机数表中读取，这时需要对号码作适当的调整，调整时可用如下方法：(1)在位数少的数前添加“0”，凑齐位数，如，1,2，…，15可调整为01,02，…，15；(2)把原来的号码加上10的倍数，如：1,2,3，…，15每个数加10可调整为11,12，…，25；(3)把个体重新编号，按新编号抽取完以后，再对应找出原来的号码．当个体的编号位数较多，如个体的编号为四位时，我们只要从随机数表中的某一数字开始，每次连续读取四位数即可得到四位的编号，同样，要在随机数表中读取五位数，只要每次连续读取五位即可．8．为制定本市初中七、八、九年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的身高进行调查，现有三种调查方案：A．测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高；B．查阅有关外地180名男生身高的统计资料；C．在本市的市区和郊县各任选一所完全中学、两所初级中学，在这所学校有关的年级(1)班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高．为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么？[分析]根据每种调查方案所提供的资料逐一分析，看哪一种调查方案合理．[解析]A中少年体校的男子篮球、排球运动员的身高一定高于一般的情况，因此测量的结果不公平，无法用测量的结果去估计总体的结果；B中用外地学生的身高也不能准确的反映本地学生身高的实际情况；而C中的抽样方法符合随机抽样，因此用C方案比较合理．能力提升（2）一、选择题1．(2015·海南海口检测)某学校高一年级共有480名学生，为了调查高一学生的数学成绩，计划用系统抽样的方法抽取30名学生作为调查对象：将480名学生随机从1～480编号，按编号顺序平均分成30组(1～16号，17～32号，…，465～480号)，若从第1组中用抽签法确定的号码为5，则第8组中被抽中学生的号码是()A．25 B．133C．117 D．88[答案]C[解析]由系统抽样样本编号的确定方法进行求解．因为第1组抽出的号码为5，所以第8组应抽出的号码是(8－1)×16＋5＝117，故选C.2．(2015·山东临沂期中)为了解1202名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k为()A．40 B．30C．20 D．12[答案]A[解析]由抽样间隔的确定方法解题．由于1202不能被30整除，所以应从总体中剔除2个个体，由于1200÷30＝40，故选A.3．(2012·山东