薛定谔方程及其应用举例

薛定谔方程及其应用举例2.微观领域的基本方程是什么？问题：3.薛定谔方程应满足什么要求？4.在什么条件有定态薛定方程？6.用薛定谔方程解决问题的思路是什么？5.薛定谔方程能解决什么问题？……1.采用什么方程求出非自由粒子的波函数？7.怎么求出微观粒子最可能出现的位置？一、薛定谔方程■历史背景1924年德布罗意指出了微观粒子具有波动性---德布罗意物质波1925年戴维孙实验证实了电子具有波动性1925年底在一次物理年会上(德)德拜提出：即然电子具有波动性，就必然有波动方程，应该认真研究.1926年上半年(德)薛定谔找到了这个波动方程薛定谔创建波动方程的思路:

分析力学中的哈密顿原理(变分原理)是物理学中最普遍的根本原理.当科学研究遇到新情况时,往往要构建新的拉氏函数,然后由哈密顿原理出发去演绎出新的运动方程。哈密顿原理力学→牛顿定律几何光学→费马原理热力学→最小熵产生原理量子力学→?薛定谔从哈密顿-雅可比方程出发，联想到统计物理学中的熵表达式=klnΩ,则试探性地将其中的哈密顿作用量S写成(构建)对氢原子(势能=-e2/r),运用变分原理得到波动方程:ψ:波函数可推出:S:哈密顿作用量E:系统能量q:广义坐标H:哈密顿函数称此为定态薛定谔方程这正是氢原子能级波动方程找到了但是，ψ的物理意义是什么？连薛定谔本人也不清楚！说明构建成功了■薛定谔方程1926年(德)玻恩给出了波函数的物理解释--波函数的统计诠释:

描述粒子运动状态的波函数ψ(x,y,z,t)，则表示粒子在时刻t,在x,y,z附近单位体积内出现的概率.

ψψ*=概率密度波函数ψ代表微观粒子的概率波(概率幅)重要!!!波函数有了物理意义后，后辈物理学家从如下两种途经也创建出了薛定谔方程(注：不是推导)：⑴从基本物理概念出发，创建薛定谔方程；⑵从概率计算物理量平均值出发，创建薛定谔方程.⑴从基本物理概念出发，创建薛定谔方程薛定谔方程应满足如下要求：①方程应含有波函数对时间的一阶导数以便反映出微观粒子运动状态随时间的变化.②方程应是线性的以便反映出波动性的普遍规律---波的叠加原理.③方程应与Ek=p2/(2m)相适应因为方程属非相对论的.④方程中的系数不应包含状态参量如能量E、动量p等因为若含有了这些参量，则方程只能描述具有该参量值的特定系统，从而失去了普遍性.※先找出自由粒子的波动方程己知自由粒子波函数根据要求①,ψ对时间t求一阶导数有:根据要求③,ψ对空间变量x,y,z求二阶导数有:∴无ψ的平方以上项→线性→满足要求②系数无状态参量E、p→满足要求④自由粒子的薛定谔方程这就是非自由粒子的薛定谔方程∴※找出非自由粒子的波动方程设非自由粒子在保守力场中,其势能为U(x,y,z,t),粒子能量E为：利用非自由粒子在力场U(x,y,z,t)中的波函数满足的波动方程此方程可视作用在波函数ψ上而得到能量算符动量算符⑵从概率计算物理量平均值出发，创建薛定谔方程.☆坐标平均值由概率论知，电子出现x的平均值x为：(为方便考虑一维)若物理量F是x的幂函数，则F(x)的平均值F为：☆动量平均值设电子出现坐标x处的概率密度----ψψ*设电子在动量空间为px的概率密度-φφ*由概率论知，电子动量的平均值px为：(注：在动量空间)若物理量G是px的幂函数，则G(px)的平均值G为：实测的是坐标概率密度ψψ*.因此需要进行φ↔ψ转换由付里叶变换:∴ψ(x,t)↔φ(px,t)有一一对应关系坐标空间波函数动量空间波函数φ(px,t)与ψ(x,t)一样，只是在动量空间里。将电子动量平均值从动量空间计算转化到坐标空间计算同样可证：若物理量G是px的幂函数，则G(px)的平均值G为：对于三维有：哈密顿算子可见只需替换即可动量算符☆能量平均值采用同样的方法有：☆找出非自由粒子的薛定谔方程能量空间波函数φ由粒子的能量与动量的关系对两边取平均值有能量算符∴非自由粒子的薛定谔方程■定态薛定谔方程若U(r,t)=U(r)(即不含时间t),则可令ψ(r,t)=ψ(r)f(t)代入薛定谔方程并整理有：=E∵等式左右两边分别是独立变量t、r

的函数∴E是常量----定态薛定谔方程若U(r,t)=U(r)(即不含时间t),则薛定谔方程的解为:(注：C含在ψ(r)中)说明几点：⑵U(r,t)=U(r)→解定态薛定谔方程→求出波函数和能量⑶定态薛定谔方程作替换哈密顿算符哈密顿量本征方程E称为算符H的本征值ψ称为算符H本征值为E的本征函数利用界面连续、有限、单值、归一化条件求本征方程，解出本征值和相应的本征函数。归结为数学问题：⑴由德布罗意关系E=hω知，E是粒子总能量。粒子系统处于定态时，其能量E具有确定值。

二、薛定谔方程应用举例■

概述用量子力学求解微观粒子的波函数的思路：粒子在力场上的势能U(x,y,z)利用波函数的标准条件：连续、单值、有限和归一化条件同时求出粒子的波函数ψ和能量E求出粒子出现的概率分布等■

一维无限深方势阱如图粒子的势能为xU0a求微观粒子在此力场中的波函数和能量以及概率分布。解：因为势能U(x)不含时间→解定态薛定谔方程(一维)

0<x<a:0令这是二阶常系数常微分方程其通解为ψ(x)=Aeikx+Be-ikx向右传播向左传播U(x)=0

x≤0,x≥a:U(x)→∞令其通解为ψ(x)=Ceλx+De-λx∵U→∞有λ→∞

∴ψ(x)=Ceλx∵波函数有限→C=0

∴ψ(x)≡0这表明粒子不可能进入x≤0,x≥a的区域。

(x≤0,x≥a)

但若U=有限值，则粒子有可能进入x≤0,x≥a的区域。请同学们自证

x=0(左边界):

x<0→波函数ψ(x)≡0

x>0→波函数ψ(x)=Aeikx+Be-ikx波函数在边界x=0处应连续→A+B=0→B=－A∴ψ(x)=A(eikx－e–ikx)=2iAsinkx=Csinkx

x=a(右边界)

:

x<a→波函数ψ(x)=Csinkx

x>a→波函数ψ(x)≡0

(0<x<a,C≠0)波函数在边界x=a处应连续→ψ(a)=Csinka=0

∴sinka=0

ka=nπ

n=1,2,3,…

ψ(