多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

(圆满版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)(圆满版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)(圆满版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)第八章偏导数与全微分参照答案第八章偏导数与全微分一、选择题1.假定u=u(x,y)是可微函数，且u(x,y)yx21,uyx2x,那么uyx2[A]xyA.11C.-1D.12B.22.函数zx2y26x2y6[D]A.在点(-1,3)处取极大值B.在点(-1,3)处取极小值C.在点(3,-1)处取极大值D.在点(3,-1)处取极小值3.二元函数fx,y在点x0,y0处的两个偏导数fxx0,y0,fyx0,y0存在是函数f在该点可微的[B]A.充分而非必需条件B.必需而非充分条件C.充分必需条件D.既非充分也非必需条件4.设u=x2+2y2+3z2+xy+3x-2y-6z在点O(0,0,0)指向点A(1,1,1)方向的导数u[D]lA.535353536B.C.3D.365.函数zx3y33xy[B]A.在点(0,0)处取极大值B.在点(1,1)处取极小值C.在点(0,0),(1,1)处都取极大值D.在点(0,0),(1,1)处都取极小值6.二元函数fx,y在点x0,y0处可微是fx,y在该点连续的[A]A.充分而非必需条件B.必需而非充分条件C.充分必需条件D.既非充分也非必需条件7.ysinyx0(01),那么dy=[B]dxA.1cosyB.1C.1cosyD.1cosy1cosy18.函数zxy5020xy〔x>0，y>0〕[D]A.在点(2,5)处取极大值B.在点(2,5)处取极小值C.在点(5,2)处取极大值D.在点(5,2)处取极小值9.二元函数fx,y在点x0,y0处连续的是fx,y在点x0,y0处可微的[A]A.必需而非充分条件B.充分而非必需条件-1-第八章偏导数与全微分参照答案C.充分必需条件D.既非充分也非必需条件10.曲线x=t,y=t2,z=t3全部切线中与平面x+2y+z=4平行的切线有[B]A.1条条条D.不存在11．设f(x,y)xy，那么f(x,y)By2x2yxA.xyB.x2y2x2y2y2x2y4x2y4x4C.x4D.x4y4y412．为使二元函数f(x,y)xy沿某一特别路径趋势(0,0)的极限为2，这条路线应选择xy为BA.xyB.xyC.xD.2xy43y3213．设函数zf(x,y)知足2z2，且f(x,1)x2，fy(x,1)x1，那么f(x,y)By2A.y2(x1)y2B.y2(x1)y2C.y2(x1)y2D.y2(x1)y214．设f(x,y)3x2y，那么f(xy,f(x,y))CA.3xy4x4yB.xyx2yC.3xy6x4yD.3xy4x6y．为使二元函数f(x,y)xy2在全平面内连续，那么它在(0,0)处应被增补定义为B15x2y2D.16．函数f(xy,xy)x2y2，那么f(x,y)f(x,y)CxyA.2x2yB.2x2yC.xyD.xy17．假定f(y)x2y2(x0)，那么f(x)BxxA.x21B.x21C.x21D.xxx2118．假定zyx，那么在点D处有zzyxA.(0,1)B.(e,1)C.(1,e)D.(e,e)-2-第八章偏导数与全微分参照答案19．设zxy2，那么以下结论正确的选项是A2z2z2z2zA.0B.0xyyxxyyx2z2zD.二者大小没法确立C.y0xyx0,xy020.函数f(x,y)xsin1ysin1,xy0，那么极限limf(x,y)〔C〕.x0yxy0(A)等于1(B)等于2(C)等于0(D)不存在21.函数zxy在点(0,0)(D).(A)有极大值(B)有极小值(C)不是驻点(D)无极值22.二元函数zx2y2在原点(0,0)处〔A〕.(A)连续，但偏导不存在(B)可微(C)偏导存在，但不连续(D)偏导存在，但不能够微23．设uf(r)，而rx2y2z2，f(r)拥有二阶连续导数，那么2u2u2ux2y2z2B〕.(A)f''(r)1f'(r)(B)f''(r)2f'(r)rr(C)1f''(r)1f'(r)(D)1f''(r)2f'(r)r2rr2r24．函数zf(x,y)在点(x0,y0)处连续是它在该点偏导存在的〔D〕.(A)必需而非充分条件(B)充分而非必需条件(C)充分必需条件(D)既非充分又非必需条件25．函数z1x2y2的极大值点是〔D〕.(A)(1,1)(B)(1,0)(C)(0,1)(D)(0,0)26．设f(x,y)y，那么fx(2,1)〔B〕.arcsinx1(B)11(D)1(A)44(C)2227．极限limx2y2〔B〕.x4yx0y0-3-第八章偏导数与全微分参照答案(A)等于0(B)不存在(C)等于21(D)存在且不等于0及1228．zf(x,y)假定在点P0(x0,y0)处的两个一阶偏导数存在，那么〔B〕.(A)f(x,y)在点P0连续(B)zf(x,y0)在点x0连续(C)dzz|Pdxz|Pdy(D)A,B,C都不对x0y029.设函数zxy，那么dz=〔A〕．(A)．yxy1dxxylnxdy(B)．yxy1dxxydy(C)．xydxxylnxdy(D)．yxy1dxxylnydyzu2lnv,ux,vxy,那么z30.yy〔C〕2x2lnxyx22x2x2333lnxy3〔A〕yy〔B〕yy2x2lnxyx22xlnxyxy3y322〔C〕〔D〕yy31．函数z=1x2y2的定义域是〔D〕〔A.〕D={(x,y)|x2+y2=1}〔B.〕D={(x,y)|x2+y21}〔C.〕D={(x,y)|x2+y2<1}〔D.〕D={(x,y)|x2+y21}32．设f(x,y)xy，那么以下式中正确的选项是〔C〕；x2y2(A)fx,yf(x,y)；(B)f(xy,xy)f(x,y)；x(C)f(y,x)f(x,y)；(D)f(x,y)f(x,y)33．设zexcosy，那么2z〔D〕；xy(A)exsiny；(B)exexsiny；(C)excosy；(D)exsiny34．f(xy,xy)x2y2，那么ff〔C〕；xy-4-第八章偏导数与全微分参照答案(A)2x2y；(B)xy；(C)2x2y(D)xy．z35.设z2x23xyy2，那么xy〔B〕〔A〕6〔B〕3〔C〕-2〔D〕2.zfx,y,那么z36.设xx0,y0〔B〕limfx0x,y0yfx0,y0limfx0x,yfx0,y0xx〔A〕x0〔B〕x0limfx0x,y0fx0,y0fx0x,y0xlimx〔C〕x0〔D〕x0设由方程ezxyz0确立的隐函数zfx,y,那么z37.x〔B〕zzyy〔A〕1z〔B〕xz1〔C〕x1z〔D〕x1z38.二次函数zln(4x2y2)x21的定义域是〔D〕y21A.1＜x2y2≤4；B.–1≤x2y2＜4；C.–1≤x2y2≤4；D.1＜x2y2＜4。39.f(x,y)在点(x,y)处的偏导数fx(x,y)和fy(x,y)连续是f(x,y)可微分的〔B〕充分必需条件；B.充分非必需条件；C.必需非充分条件；D.非充分又非必需条件。40.抛物面zx2y2上点P处的切平面平行于平面2xyz30，那么点P的坐标是〔C〕A.(1,1,0)；B.(1,1,0)；C.(1,1,5)；D.(1,1,5)22242441.设zexyyx2，那么z︱(1,2)〔B〕yA.e1；B.e21；C.2e1；D.2e1。42.设二元函数zx3y33x23y29x的极小值点是〔A〕A.〔1，0〕；B.〔1，2〕；C.〔-3，0〕；D.〔-3，2〕-5-第八章偏导数与全微分参照答案uxy,那么u43.设x1,1〔B〕1〔A〕0〔B〕2〔C〕-1〔D〕144.设zfx,y是由方程xyzsin(xyz)决定的隐函数，那么

zx〔D〕xsinyzcosyzz〔A〕z〔B〕yz〔C〕yz〔D〕xzexyyx2,那么z45.设y1,2(B)〔A〕e1〔B〕e21〔C〕2e1〔D〕2e1二、填空题1.xlim(1x)ye22yy2.函数u=ln(x2y2z2)在点M(1,2,-2)2的梯度gradu={1,2,-2}93.limsin(xy)2x2yy04.zf(xy)是可微函数，那么dzyf'(xy)dxxf'(xy)dy5.limxy=4(x,y)(0,0)xy42．设rx2y2z2，那么2rrrgradr＝2xi2yj2zk67．曲线z1x2y2在点(1,1,3)处的切线与Y轴的正向夹角是3x18．设rln(x2y222xr2yr2zrz)，那么gradrx2y2z2i2y2z2jx2y2z2kx9．函数zxy的中断点是xy0x3y310．函数uxyz在点(1,1,1)沿方向(2,1,3)的方导游数是0-6-第八章偏导数与全微分参照答案函数ulnxyz的定义域是(x,y,z)x0,y0,z0或x0,y0,z0或x0,y0,z0或x0,y0,z012.二元函数zln4arcsin1的定义域是1x2y24x2y2x2y213．函数u3x2y22y4x6z在原点沿方向l{2,3,1}的方导游数为

81414.函数zln(xlny)的定义域是{(x,y)|x0,y1或x0,0y1}15.曲面exxyz3在点(0,1,2)处的法线方程为xy1z220116．极限lim2xy41xy4x0y017．假定f(x,y)3x2y，那么f[xy,f(x,y)]6x4y3xy18．设有函数u(x,y,z)xyz，那么du|(1,2,2)4dxdz19.函数z1x2y2的极大值点是(0,0)xy2r2,0,2},那么方导游数u20．设函数uz3,l{222l1,1,121．设函数zfxy,x2y2可微,那么zxf12yf2y22．曲面z2x2y2上一点〔1，-1，3〕处的切平面方程为4x2yz3023.4zx2y2在点P〔0,1,3〕处的切平面方程2y+z=5，法线方程xy1z302124、设zex22xy，那么全微分dz=2ex22xyxydxxdy25、设z=11n(x2y2),那么2z=2xy2xy(x2y2)226、f(xy,xy)x2y2,f(x,y)f(x,y)2x2yxy-7-第八章偏导数与全微分参照答案27.2xy4=1limxy4x0y0lnzxzzzyz，那么xxzx28.29.zsinxy,那么dzdzycosxydxxcosxydy三、计算与证明1.设z=f(x+y,xy)的二阶偏导数连续,求2zxy解：z=f1'f2'yx2zf12''(xy)xyf22f2=f11'''''xy2.求平面xyz1和柱面x2y21的交线上与xoy平面距离最短的点3410解：设(x,y,z)是交线上任一点，由，距离函数f(x,y,z)=z又设L(x,y,z,,)z(xyz1)(x2y21)3410Lx32x0(1)Ly42y0(2)令：Lz2z100(3)Lxyz10(4)3410Lx2y210(5)(1)与(2)比较，得：y3x，443代入(5),得：x；相应的有：y55进而得交线上的两点：(4,3,35)，(4,3,85)556556此中：点(4,3,35)到xoy平面的距离是355566点(4,3,85)到xoy平面的距离是855566比较得：所求点是(4,3,35)556-8-第八章偏导数与全微分参照答案3.证明极限limxy2不存在x2y4x0y0证明：当(x,y)沿着曲线y2=x趋于(0,0)时，limxy2＝limy4124y4y42y0x0当(x,y)沿着曲线2y2=x趋于(0,0)时，limxy2＝lim2y422444x0xyy04yy5y0所以，极限limxy2不存在2y4x0y0x4.设z=xf(xy,ey),求2zxy解：z=ff1'xyx2zeyf2x2yf11''xyeyf12=2xf1''''xy5.求曲线x=t-sint,y=1-cost,z=4sint,在点M(21,1,22)处的切线及法平面方程2解：因为x'=1-cost,yt'=sint,z'=2costtt2而点M(21,1,22)所对应的参数为t=2点M的切向量T={1,1,2}x1y1z22故点M处的切线方程为2112点M处法平面方程为:x+y+2z=426.求曲面ezzxy3在点(2,1,0)处的切平面方程及法线方程解：令F(x,y,z)=ezzxy3那么Fx'y,Fy'x,Fz'ex1-9-第八章偏导数与全微分参照答案故Fx'(2,1,0)1,F'(2,1,0)2,F'(2,1,0)0yz所以:点(2,1,0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0点(2,1,0)x2y1处的法线方程为120z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz解：zycos(xy)，zsin(xy)ycos(xy)xy故：dz=[ycos(x+y)]dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dygradz=(ycos(x+y),sin(x+y)+ycos(x+y))xyb0与曲面zx2y28.设直线l:z3在平面上，而平面相切于点xay0M(1,-2,5),求a,b之值解：点M处曲面的法向量n={2x,2y,-1}M={2,-4,-1}点M处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0即:2x-4y-z-5=0,此即平面之方程由直线l可得y=-x-b,z=x-a(x+b)-3代入得:(5+a)x+4b+ab-2=0解得:a=-5,b=-29.设函数z=f(u,v),那么u,v拥有二阶连续偏导数，此中x2zu=3x+2y,v=，求yxy解：z=3f1'1f2'xy2z=6f11''xf22''23x)f12''1f2'xyy3(y2y2y10.limx6y6能否存在？假如存在，等于多少？假如不存在，说明原因。(x2y4)5(x,y)(0,0)解：不存在。limx6y60。limx6y6limx9。24524525x02x0y)x0,yx(xy)(2x)y0(x11.求u对于x,y,z的一阶偏导数：uxyz解：uyzxyz1。uzyz1xyzlnxuxyzyzlnxlnyxyz-10-第八章偏导数与全微分参照答案12、说明函数在何时获得极值，并求出该极值：z(xy1)2解：函数定义域R2。因为z0，故xy10时极小；无极大。z2(xy1)0x解方程组，可知函数驻点散布在直线xy10上。z2(xy1)0y对于此直线上的点都有z0。可是z0恒建立。所以函数在直线xy10上的各点获得极小值z0。13.lim(x2y2)x2y2(x,y)(0,0)解：lim(x2y2)x2y2=limex2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)而x2y2ln(x2y2)1x2y22ln(x2y2)4lim1(x2y2)2ln(x2y2)0，。故原式=e01x,y(0,0)414.求u的一阶全微分：uzx2y2解：du2z2(xdxydy)dz(x22)x2y2yxxt15、求函数u在点M〔1，2，-2〕沿曲线y2t2在此点的切线方向上的x2y2z2z2t4方导游数。解：uy2z2，uxy3，x3y(x2y2z2)2(x2y2z2)2uxz。z3(x2y2z2)2在点〔1，2，-2〕它们的值分别是8,2,2272727曲线在该点切线方向余弦为1,4,8。999方导游数为u81242816g()gg)l2799243M27279-11-第八章偏导数与全微分参照答案sin(xy)lim(x,y)(0,a)x解：limsin(xy)=sin(xy)gxlimxyy=a(x,y)(0,a)(x,y)(0,a)17.求由下式决定的隐函数z对于x和y的一阶偏导数：xyze(xyz)。解：等式两头对x求偏导数，得1ze(xyz)(1z)xx故z1。利用对称性可得z1xy18.用拉格朗日法求条件极值：zx2y2,xy1(a0,b0)ab解：设F(x,y)x2y2(xy1)，解方程组abF2x10xaF2y10ybxy1ab2a2b2ab2a2b可得a2b2,xa2b2,ya2b2。因为当x或y时都有z。故函数只幸好有限处获得极小值〔最小〕值：当xab2,ya2b2时，函数获得极小〔最小〕值za2b2a2b2a2b22ab19.求极限lim1x2y132sin(xy).x0xyy0解：原式1x2y1sin(xy)limx2yxyx0lim00lim0012

(1x2y1)(1x2yx2y(1x2y1)1sin(xy)1x2y1xy(2分).

1)sin(xy)(2分)xy(1分)-12-第八章偏导数与全微分参照答案20.设zf(x2y2,xy)，求2z.xy解：zf1'2xf2'y2xf1'yf2',(2分)x2z2x[f11''(2y)f12''x]f2'y[f21''(2y)f22''x]xy4xyf11''2x2f12''f2'2y2f21''xyf22''(3分).21.求抛物面zx2y2到平面xyz10的近来距离。解：设M(x,y,z)在zx2y2上，M到xyz10的距离为d，那么|xyz1|(1分),d3d2(xyz1)2.3记L(x,y,z,)(xyz1)2(x2y2z)，Lx2(xyz1)2x0Ly2(xyz1)2y0令2(xyz1)0(2分)LzLx2y2z0解得：xy1,z122

(2分).所以d1|1111|1(2分).32222322.求曲面zx2y2上与平面2x4yz0平行的切平面方程。解：曲面zx2y2的切平面的法向量为n1{2x,2y,1}(2分)，平面2x4yz0的法向量为n2{2,4,1}.要使zx2y2切平面与平面2x4yz0平行，必有n1//n2，即-13-第八章偏导数与全微分参照答案2x2y1分).24(21解之得，x1,y2,进而z5(2分).所以为2(x1)4(y2)(z5)0,y23．函数zarctan,求dz|(1,1).z1yy1分),解：因为y2(2)x2y2(2x(1,1)x(1,1)212x(1,1)z11x1分),y(1,1)y2x2y2(21x(1,1)2x2(1,1)所以dz|1dx1dy(1分).(1,1)22xf(y)确立，求z。24．设函数zz(x,y)由方程x2y2z2xx解：(方法一)令F(x,y,z)x2y2z2xf(y).x那么Fx2xf(y)yf'(y),Fy2yf'(y),Fz2z(2分)，xxxx所以zFxf(y)yf'(y)2xxxx(3分).xFz2z(方法二)方程x2y2z2xf(y)两边对x求导，并注意z是x,y的函数，得x2x2zzyyyyyyxf( )xf'( )(x2)f()f'(),xxxxx解得zf(y)yf'(y)2xxxx.x2z25a分红两个正数x,yxpqpq．怎样将正数之和，使得为最大，此中、是的正-14-第八章偏导数与全微分参照答案数。解：由拉格朗日乘数法，令L(x,y,)xpyq(xya)(2分).Lxpxp1yq0由Lyqxpyq10(2分)Lxya0解得驻点(ap,aq)(2分).pqpq又由题意当点(x,y)趋于界限x0或y0时，目标函数f趋于零，所以连续函数f在驻点取最大值。所以当xapq,yaq时，xpyq的值最大ppq26．设zf(x,y)g(u,v),ux3,vxy，此中f,g拥有一阶连续偏导数，求z.解：zuvxfx'gu'gv'(2分)xxxfx'3x2gu'yxy1gv'(3分).27．求曲线x2t2,ycos(t),z2lnt在对应于t2点处的切线及法平面方程。解：当t2时，对应点的坐标为(8,1,2ln2)；又参数方程的切线方向向量为：n|t2{4t,sin(t),2}|t2{8,0,1}(2分)，t故切线方程为x8y1z2ln2(2分)，801x88(z2ln2)或10.y而法平面方程为8(x8)(z2ln2)0(2分).28.求函数uxy2z3在点M0(1,1,1)处方导游数的最大值和最小值。解：u在点M0(1,1,1)处沿方向l的方导游数为：u(y2z3cos2xyz3cos3xy2z2cos)|M0lM0cos2cos3cos(2分).令l0{cos,cos,cos},g{1,2,3},-15-第八章偏导数与全微分参照答案u000那么gl|g||l|cos,为g与l的夹角。要使

ul

取最大值，那么cos＝1，即＝0，也就是g与l0同向时，uM0l

取最大值，0即：当l01{1,2,3}时，u14l

取最大值|g|14(3分).0同理，要使

ul

取最小值，那么cos＝-1，即＝，也就是g与l0反向时，uM0l

取最小0值，即：当l01{1,2,3}时，u取最小值|g|14(3分).14lM029.设函数zf(x2y,exy)，求z，z．xy解：设ux2y，vexy，那么u2xy，ux2，vyexy，vxexyxyxy故zfufv=2xyf+yexyfxuxvxuvzfufv=x2f+xexyfyuyvyuv30.设zzx,y是由x3y3z3xyz60所确立的隐函数，求它在点〔1，2，-1〕及z处的偏导数xy的值。z3x2yzxM03z2xyz3y2xzyM032xyz

1分5,M0=(1,2,1)(3)M011分)5M0斜边长为m的全部直角三角形中，求有最大周长的直角三角形直角边的边长．解：设两条直角边的边长为x，y，周长为S，那么Smxy〔1分〕并知足x2y2m2．由-16-第八章偏导数与全微分参照答案F(x,y,)mxy(x2y2m2)〔2分〕F12x0x令F12y0〔3分〕yFx2y2m20解得xy2m2因为全部直角三角形的直角极点位于直径为m的半圆周上，最小周长不存在，进而实诘问题只有最大值，此时有最大周长的直角三角形的边长均是2m。2eusinv，而uzz32.．设zxy,vxy,求x,yzzuzvxuxvx=eusinvyeucosv1=uysinvcosv〔3分〕ezzuzvyuyvy=eusinvxeucosv1=euxsinvcosv33.．设zfx2y2,且f可微，求yzxz。xyz2xf(2分)z2yf(2分)yzxz0(2分)xyxy34．求曲面ezzxy3在点2,1,0处的切平面与法线的方程.fx,y,zezzxy3那么f1,f2,f0〔3分〕x2,1,0y2,1,0z2,1,0切平面方程为x22y10z00即x2y40〔2分〕-17-第八章偏导数与全微分参照答案x2y1法线方程为12〔2分〕z035.将正数12分红三个正数x,y,z之和，使得ux3y2z为最大.〔8分〕Fx3x2y2z0解：令F(x,y,z)x3y2z(xyz12)，那么Fy2x3yz0〔3分〕Fzx3y20xyz12解得独一驻点(6,4,2)〔4分〕，故最大值为umax634