给-第五章换元积分法教学要求熟练掌握

换元积分法教学要求：熟练掌握12教学重点第一类换元积分（凑微分法）；第二类换元积分。问题

cos

2xdx

sin

2x

C

,解决方法

利用复合函数，设置中间变量.过程2令t

2

x

dx

1

dt,22

23

cos

2xdx

1

cos

tdt

1

sin

t

C

1

sin

2x

C

.一、第一类换元法（凑微分法）4

f

[

(

x)]

(

x)dx

F

(

(

x))

C第一类换元公式（凑微分法）定理1设

f

(u)

具有原函数

F

(u),

u

(

x)

连续可导，则有换元公式：5

f

[

(

x

)

]

(

x

)

d

x

f

(

u

)

d

uF

(

(

x))

C令

(

x)

u

f

[

(

x)]d

(

x)回代u

(

x

)

（凑微分法）的计算过程：6注：1）该公式称之为第一换元积分法或凑微分法2）换元后，积分形式简化，且易求。

f

[

(x)]

(x)dx

f

[(x)]d

(x)

F

(

(x))

C例1

求

(5x

7)9

dx.因dx

1

d

(5

x

7)

故有5解：u

9

du

u

101

15

105=

1

C

1

(5x

7)10

C

(回代变量)5(5x7)9dx

1(5x7)9d(5x7)

令(u

5x7)au

axb

f

(ax

b)dx

1

[

f

(u)du]一般地8练习

求

dx.13

2x解2因为dx

1

d

(3

2x)3

2x11d

(3

2x)2 3

2xdx

1

2

u

22

1

1du

1

ln

u

C

1

ln(3

2

x)

C

.au

axb

f

(ax

b)dx

1

[

f

(u)du]9例2

求1

x2

dx.

a22

21(

12adx

1

1

)dxa

xa

x a

x解：2a

1

2a

1

dx

1

dx

1

a

xa

x2a

1

2a1

d(a

x)

11

d(a

x)a

x a

x

2a

2a

1

ln

a

x

1

ln

a

x

C.

ln

x

dx.x例3

求

x解：因1

dx

d

ln

x,2

1

(ln

x)2

C(回代变量)(令u

ln

x)x故有

ln

x

dx

ln

xd

ln

x21

u

2udu

Cf

ln

x

1

dx

f

ln

x

d

ln

xx练习

求dx.x(1

2ln

x)1解x(1

2ln

x)dx

1d

(ln

x)1

2ln

x12 1

2ln

xd

(1

2ln

x)(令u

1

2

ln

x)

1

122

u

2

1

1

du

1

ln

u

C

1

ln(1

2ln

x)

C

.f

ln

x

1

dx

f

ln

x

d

ln

xx

sin

x

dxcos

x解：原式例4.求

tan

xdx.cos

x

1

d

cos

x(令u

cos

x)u

1

du

ln

u

C

ln

cos

x

C

f

(cos

x)

sin

xdx

f

(cos

x)d

cos

x

cos

x

dxsin

x解：原式练习 求

cot

xdx.(令u

sinx)sinx

1

dsinxu

1

du

ln

u

C

ln

sin

x

C

f

(sin

x)

cos

xdx

f

(sin

x)d

sin

x例5

求

sin3

x

cos

xdx.解：sin3

x

cos

xdx

sin3

xd

sin

x令u

sin

x,

f

(sin

x)

cos

xdx

f

(sin

x)d

sin

x

f

(cos

x)

sin

xdx

f

(cos

x)d

cos

x4u3du

1

u4

C4

1

(sin

x)4

C15例6

求

sin3

x

cos5

xdx.解sin3

x

cos5

xdx

sin2

x

cos5

xd(cos

x)

(1

cos2

x)cos5

xd(cos

x)

(cos7

x

cos5

x)d(cos

x)

cos7

xd(cos

x)

cos5

xd(cos

x)

1

cos8

x

1

cos6

x

C.8

6通过三角变换可化为sec

xdx

ln

|

sec16x

tan

x

|

C.例7

求s

e

c

xdx.解1

cos

xdx

s

e

c

xdx

cos

x

dxcos

x

211

sin2

xd

(sin

x)u

sin

x1

1

u211du

1

du1

u

2

1

u2

1

u

1

ln

|

1

u

|

C

1

ln

|

1

sin

x

|

C.2

1sin

x17练习

求

c

s

c

x

d

x

.解

csc

xdx

sin

x1sin2

xdx

sin

x

dx

11

cos2

xd

(cos

x)u

cos

x

1

u21

du1

u

112

1

udu

1

1

ln

1

u

C

1

ln

1

cos

x

C

.2 1

u2 1

cos

x例8

求

x

2

1

d

x

.a

2122d

x

a

x解：

21ad

(

x

)a1

(

x

)1

u2

1

du

arcsin(令ua

arcsia

f

x

x

1dx

1

f

x

dx

练习

求dx.

a21

x2解a

x

12dxx

21

a2a22

dx

1

1

a

a

a

x

21

11a

ad

x

1

arctan

x

C

.

f

x

x

1dx

1

f

x

dx

例9

求

s

in

x

d

x

.xsin

xsin

xdx

2sin

xd

x

2

cosx

C.xxdx

2

2解：

f

x

x

1dx

1

f

x

dx

练求

sin

2xdx.2解（一）

sin

2xdx

1

sin

2xd

(2

x)1

cos2

x

C;2解（二）

sin

2xdx

2

sin

x

cos

xdx

C;

2

sin

xd

(sin

x)

sin

x2解（三）

sin

2xdx

2

sin

x

cos

xdx

2

cos

xd

(cos

x)

cos

x2

C

.21练习2

求解dx.11

cos

x11

cos

xdx

1

cos

x1

cos

x

1

cos

x

dx

1

cos

x

dx

1

cos2

x11

cos

x

dxsin2

x

d

(sin

x)sin2

xdx

sin2

x1

C

.22sin

x1

cot

x

23一般地，

f

(ax

b)dx

1

f

ax

bd

ax

b

a

0a

f

(sin

x)

cos

xdx

f

(sin

x)d

sin

x

f

(cos

x)

sin

xdx

f

(cos

x)d

cos

x

f

x

x

1dx

1

f

x

dx

0x

f

ln

x

1

dx

f

ln

x

d

ln

x24第二类换元法

sin5

t

cos2

tdt

（应用“凑微分”即可求出2结5

果）问题1

x

2

dx

?

x5解决方法改变中间变量的设置方法.过程令

x

sin

t

dx

cos

tdt

,1

x

2

dx

(sin

t

)5

x51

sin2

t

cos

tdt26f

(

(t))

'(t)具有原函数F

(t),则换元公式'

F

(

1

(x))

C定理2.设x

(t)可导，且具有反函数，又设f

(x)dx

f

[

(t)]

(t)dt

t

1

(

x)称为第二类积分换元公式

f

[

(t)]

'

(t)dtF

(t)

Cx

f

(x)dx

F

(

1

(x))

Ct

1

(

x)27注：1）寻找适当的变元替换x

t

；计算不定积分代换t

1x，求出I.'

F(1(x))

Cf

(x)dx

f

[(t)]

(t)dtt1

(

x)例9

求解：令t

=1

xx

,

则

x

t

2

,

dx

2

td

t

1

dx

.1

t

1

t1

x

1

dx

1

2tdt

2

t

dt

2

(1

1

)dt

2

dt

2

1

d

(t

1)1

t

1

t

2t

2

ln

|

t

1

|

C

2

x

2ln

|

x

1|

C.28a

xdx练习

求

一般地，被积函数为无理函数时，先利用变换将无理函数转化为有理函数，再求不定积分.解：令t

a

x

,则x

t

2

a,

dx

2tdt故

a

xdx

t

2tdt

2t

2dt32

t

3

C3

2

(

a

x)3

C30例10

求3

1

4

xdx

1x解：令x

t

4

,则t

4

x

,

dx

4t

3dt13(1

t

)

4

t

3

dt41

13

1

x

dx

t

2x故1133

4

(1

t)

tdt

4

(1t)

[(t

1)

1]d(t

1)

4133

4

(1

t)

d(t

1)

4

(1

t)

d(t

1)7343

37

34

4[

(1

t

)(1

t

)

]

C7343447

12

(1

x

)

3(1

x

)

C练习求1

dx.x(1

3

x

)解令x

t

6

dx

6t

5dt

,1

dx

x(1

3

x

)6t5

t

3

(1

t

2

)

dt

1

t

2

dt6t

21

t

22

6

t

1

1dt

dt21

t

6

1

1x

]

C

.x

arctan316

6[t

arctan

t

]

C

6[6例11

求a2

x2

dx

(a

0)故

a2

x2

dx

a2

a2

sin2

t

a

costdt

a2

cos2

tdt

a2

(1

cos

2t)dta

2解：令x

asin

t,则dx

a

costdt,t

arcsin

x

(

t

)atxx

2

a

2322331sin

2t)

C

回代变量2

2a2 (t

)

)[其中sin

2t

2

sin

t

cos

t(t

arcsin)2

a

4x

xaxxaaaax

1

a2

arcsin

x

1

a2

sin(2

arcsin

x

)

C(2

sin(arcsin )

cos(arcsin )

2 1

(a练习求

x

3解令x

2sin

t4

x

2

dx.dx

2cos

tdt

2 2

t

,

4

x

2

dx

2sin

t

3

x

34

4sin2

t

2cos

tdt

32

sin3t

cos2

tdt

32

sin

t(1

cos2t

)cos2

tdt

32

(cos2t

cos4

t

)d

cos

t3

51

1

32(

cos

t

cos

t

)

C3

5x2t4

x

23

534

4

4

x2

3

1

4

x2

5

C

.例12

求解令x

a

tan

t

dx

a

sec2

tdt1dx

(a

0).

a2x2

a2x21

1dx

a

sec2

tdta

sec

t

sec

tdtln

|

sec

t

tan

t

|

Caxx

2

a

2t

C.ax

x2

a2

ln

a352 2

t

,

36例13

求2

1

dx

(a

0).(x

a2

)2a解：令x

a

tan

t,则dx

a

sec2

tdt,t

arctan

x12a

3

(1

cos

2t

)dt32

3a

sec

t

a

1

1dt

1

cos2

tdt

1

asec2

t故

(x2

a2

)2

dx

(a2

a2

tan2

t)2

dt

1

(t

1

sin

2t)

C2a3

2372a3

1

(arctan

x

2a3

ax

ax2

a2

x2

a2

1

(arctan

x

2a3

ax2

a21

(t

sin

t

cos

t)

C)

C)

Cax例14

求解

令x

a

sec

t

dx

a

sect

tan

tdt1dx

(a

0).

a2x2

2

t

0,

dx

a

sec

t

tan

tdtx21

a2

a

tan

t

sec

tdt

ln(sec

t

tan

t

)

Caxt22x

ax238

C

.a

a2

x

ln

a39例15

求x

2

x

2

1

1

dx.解：令x

tan

t

,则dx

sec

2

tdt

,

1

Csin(arctanx)

1x2C.x1

C(回代变量)sin

t

222

sec

t

dt

cos

t

dt

1

d

sin

ttan

tsin

tsin

t1

sec2

tx2故

2

dx

2

dtx

1

tan

t

sec

t根据上面的例子，可以归纳出以下几条规律：(1)

当被积函数中含有无理因子时，应选取变换消去被积函数中的无理因子；一般规律如下：当被积函数中含有(2)

a2

x2可令x

a

sin

t;a2(3)

x2可令x

a

tan

t;x240(4)

a2可令x

a

sec

t

.41第一换元法和第二换元法的关系：(一)联系：两种方法的实质是同一个公式的两种不同使用方法.(二)主要区别：(1)第一换元法是先分解被积函数，再作变换并求不定积分,即

f

[

(x)]

'

(x)dx

f

(u)du，得到的是第一换元法，此时

f

(u)du

比

f

[

(x)]

'(x)dx容易计算;(2)第二换原法是先变换后再求不定积分,即

f

(x)dx

f

[

(t)]

'(t)dt，得到的是第二换元法，此时

f

[

(t)]

'(t)dt比

f

(x)dx容易计算.基积表2本(17)分(18)(16)(19)

tan

xdx

lncos

x

C;

cot

xdx

lnsin

x

C;

sec

xdx

ln(sec

x

tan

x)

C;

csc

xdx

ln(csc

x

cot

x)

C;142dx

1

arctan

x

C;(20)

x2

a

a

a2书中P205常用不定积分的补充(22)2a a

dx

a2

x21(23)adx

arcsin

x

C;

x2

a2x2

a2

)

C

.dx

ln(

x

1(24)x2

a2

1

dx

1

ln

|

x

a

|

C;(21)2a x

a

x2

a2基本积分表24344三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换，根式代换基本积分表(2)第一类换元积分（凑微分法）练习练求

cos

3

x

cos

2

xdx.练习2

设

f

(sin2

x)

cos2

x,

求f

(

x).练习3求1dx.

1

ex45练

求

cos

3

x

cos

2

xdx.2解cos

Acos

B

1[cos(A

B)

cos(A

B)],2cos

3

x

cos

2

x

1(cos

x

cos

5

x),2

cos

3

x

cos

2

xdx

1

(cos

x

cos5

x)dx

1

sin

x

1

sin

5

x

C

.2

1046解练习2

设

f

(sin2

x)

cos2

x,

求f

(

x).令u

sin2

xf

(u)

1

u,

cos2

x

1

u,2f

(u)

1

udu

u

1

u2

C

,247f

(

x)

x

1

x2

C

.练习3

求1dx.

1

ex解11

exdx

1

ex1

e

x

exdxdxxe

x1

e

1

e

x

dx

1

e

x

dxd

(1

ex

)4811

ex

dx

x

ln(1

e

x

)

C

.49练习4

求dx.x

(1

x)3练习5

求dx.1

x2

8

x

25练习6

求1

(1

xx

12

)e

x

dx.练习7

求dx.12

x

3

2x

1练习8

求2dx.4

x2

arcsin

x1练习9

求

sin2

x

cos5

xdx.练习4

求dx.x

(1

x)3解(1

x)3

dxx

dx

x

1

1(1

x)3

]d

(1

x)1

1(1

x)2

(1

x)3

[2

12(1

x)2111

x

C

C

C

.50111

x

2(1

x)2

练习5

求dx.1

x2

8

x

25解

x2dx

8

x

2511dx(

x

4)

912

1

3

x

4

1232

1

31

d

x

4

33

dx

12

x

4

1

arctan

x

4

C

.3

351练习6

求1

(1

xx

12

)e

x

dx

.解11

x

x

1

x

2

,xx

12

)e

x

dx

(1

1)11xe

d(

x

xx152x

e

x

C

.练习7

求dx.12

x

3

2

x

1原式dx

2

x

12

x

3

2

x

12

x

3

2

x

3

2

x

12

x

1dx

1

42

x

3dx

1

42

x

1d

(2

x

1)8

82

x

3d

(2x

3)

1

1

1

2

x

33

1

2

x

13

C

.12

1253练习8

求解2dx.4

x2

arcsin

x124

x2

arcsin

xdx

121d

xx

x

21

2

arcsin

222arcsin

x1

254d(arcsin

x

)

lnarcsin

x

C

.练习9

求

sin2

x

cos5

xdx.解

sin2

x

cos5

xdx

sin2

x

cos4

xd

(sin

x)

sin2

x

(1

sin2

x)2

d

(sin

x)

(sin2

x

2sin4

x

sin6

x)d

(sin

x)

1

sin3

x

2

sin5

x

1

sin7

x

C

.3

5

755第二类换元积分练习x

5dx1

x

2练

求练习2

求d

x

.1

e

x1练习3

求dx1练习4

求x

(

x

7

2

)1dx

.x

4

x

2

156练习求x5dx1

x21

x

2

x

2

t

2