上海市上海师大附中2022年高一数学第一学期期末经典试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．已知点的坐标分别为,直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是1,则点的轨迹方程为A. B.C. D.2．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另一种是两底角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，．根据这些信息，可得sin54°＝（）A. B.C. D.3．已知扇形的周长是6，圆心角为，则扇形的面积是（）A.1 B.2C.3 D.44．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）A. B.C. D.5．在上，满足的的取值范围是A. B.C. D.6．已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．如图所示，正方体中，分别为棱的中点，则在平面内与平面平行的直线A.不存在 B.有1条C.有2条 D.有无数条8．下列四个函数，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.9．已知，，，则、、的大小关系为（）A. B.C. D.10．如图，在等腰梯形中，，分别是底边的中点，把四边形沿直线折起使得平面平面.若动点平面，设与平面所成的角分别为（均不为0）.若，则动点的轨迹围成的图形的面积为A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______12．已知，且，写出一个满足条件的的值___________13．已知角的终边经过点，则的值为_______________.14．请写出一个最小正周期为，且在上单调递增的函数__________15．直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则__________三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．已知集合，（1）求集合，；（2）若关于的不等式的解集为，求的值17．设是函数定义域内的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“弱不动点”，也称在区间上存在“弱不动点”．设函数，（1）若，求函数的“弱不动点”；（2）若函数在上不存在“弱不动点”，求实数的取值范围18．已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若关于的方程在上有2个不等的实数解，求实数的取值范围19．设是实数，（1）证明：f(x)是增函数；（2）试确定的值，使f(x)为奇函数20．已知函数的部分图象如图所示（1）求的解析式及对称中心坐标：（2）先把的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若当时，求的值域21．函数的定义域，且满足对于任意,有(1)求的值(2)判断的奇偶性，并证明(3)如果，且在上是增函数，求的取值范围

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、B【解析】设，直线的斜率为，直线的斜率为.有直线的斜率与直线的斜率的差是1,所以.通分得：，整理得：.故选B.点睛：求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程2、C【解析】先求出，再借助倍角公式求出，通过诱导公式求出sin54°.【详解】正五边形的一个内角为，则，，，所以故选：C.3、B【解析】设扇形的半径为r，弧长为l，先由周长求出半径和弧长，即可求出扇形的面积.【详解】设扇形的半径为r，弧长为l，因为圆心角为，所以.因为扇形的周长是6，所以，解得：.所以扇形的面积是.故选：B4、A【解析】根据题意可得圆锥母线长为，底面圆的半径为，求出圆锥高即可求出体积.【详解】半径为半圆卷成一个圆锥，可得圆锥母线长为，底面圆周长为，所以底面圆的半径为，圆锥的高为,所以圆锥的体积为.故选：A.5、C【解析】直接利用正弦函数的性质求解即可【详解】上，满足的的取值范围：.故选C【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查计算能力，是基础题6、D【解析】根据图象可得：，，，.，则.令，，，而函数.即可求解.【详解】解：函数，的图象如下：根据图象可得：若方程有四个不同的解，，，，且，则，，，.，，则.令，，，而函数在，单调递增.所以，则.故选：D.【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意借助图象分析问题，属于中档题.7、D【解析】根据已知可得平面与平面相交，两平面必有唯一的交线，则在平面内与交线平行的直线都与平面平行，即可得出结论.【详解】平面与平面有公共点，由公理3知平面与平面必有过的交线，在平面内与平行的直线有无数条，且它们都不在平面内，由线面平行的判定定理可知它们都与平面平行.故选：D.【点睛】本题考查平面的基本性质、线面平行的判定，熟练掌握公理、定理是解题的关键，属于基础题.8、A【解析】先判断各函数最小正周期，再确定各函数在区间上单调性，即可选择判断.【详解】最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递减；最小正周期为，在区间上单调递增；最小正周期为，在区间上单调递增；故选：A9、C【解析】利用对数函数、指数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，，，因此，.故选：C.10、D【解析】由题意，PE=BEcotθ1，PF=CFcotθ2，∵BE=CF，θ1=θ2，∴PE=PF以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，设E（﹣，0），F（，0），P（x，y），则（x+）2+y2=[（x﹣）2+y2]，∴3x2+3y2+5ax+a2=0，即（x+a）2+y2=a2，轨迹为圆，面积为故答案选：D点睛：这个题考查的是立体几何中点的轨迹问题，在求动点轨迹问题中常用的方法有：建立坐标系，将立体问题平面化，用方程的形式体现轨迹；或者根据几何意义得到轨迹，但是注意得到轨迹后，一些特殊点是否需要去掉二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、【解析】求出二次函数的对称轴，即可得的单增区间，即可求解.【详解】函数的对称轴是，开口向上，若函数在区间是单调递增函数，则，故答案为：12、π（答案不唯一）【解析】利用，可得，又，确定可得结果.【详解】因为，所以，，则，或，，又，故满足要求故答案为：π（答案不唯一）13、【解析】到原点的距离.考点：三角函数的定义.14、或（不唯一）.【解析】根据函数最小正周期为，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在上单调递增，构造即可.【详解】解：根据函数最小正周期为，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在上单调递增，构造即可，如或满足题意故答案为：或（不唯一）.15、【解析】，所以，，故．填三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1），（2）【解析】（1）根据集合的并集、补集概念即可求解；（2）根据交集的概念和一元二次不等式的解法即可得解.【小问1详解】因为，所以因为，所以，【小问2详解】因为所以的解集为所以解为所以解得，17、（1）0（2）【解析】（1）解方程可得；（2）由方程在上无解，转化为求函数的取值范围，利用换元法求解取值范围，同时注意对数的真数大于0对参数范围有限制，从而可得结论【小问1详解】当时，，由题意得，即，即，得，即，所以函数的“弱不动点”为0【小问2详解】由已知在上无解，即在上无解，令，得在上无解，即在上无解记，则在上单调递减，故，所以，或又在上恒成立，故在上恒成立，即在上恒成立，记，则在上单调递减，故，所以，综上，实数的取值范围是18、（1）（2）【解析】（1）利用三角恒等变换化简，由周期公式求解即可；（2）先求出的解析式，再把所求转化为方程在上有2个不等的实数解，令，根据图象即可求得结论【小问1详解】解：，即，所以函数的最小正周期为【小问2详解】解：由已知可得，方程在上有2个不等的实数解，即方程在上有2个不等的实数解令，因为，，，，，令，则，，作出函数图象如下图所示：要使方程在上有2个不等的实数解，则19、（1）见解析（2）1【解析】（1）设x1、x2∈R且x1＜x2，用作差法，有f（x1）﹣f（x2）=，结合指数函数的单调性分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，可得f（x）的单调性且与a的值无关；（2）根据题意，假设f（x）是奇函数，由奇函数的定义可得，f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣（a﹣），对其变形，解可得a的值，即可得答案【详解】(1)证明：设x1、x2∈R且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（a﹣）﹣（a﹣）=，又由y=2x在R上为增函数，则＞0，＞0，由x1＜x2，可得﹣＜0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）为增函数，与a的值无关，即对于任意a，f（x）在R为增函数；（2）若f（x）为奇函数，且其定义域为R，必有有f（﹣x）=﹣f（x），即a﹣=﹣（a﹣），变形可得2a==2，解可得，a=1，即当a=1时，f（x）为奇函数【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.20、（1），()（2）【解析】（1）先根据图象得到函数的最大值和最小值，由此列方程组求得的值，根据周期求得的值，根据求得的值，由此求得的解析式，进而求出的对称中心；（2）根据三角变换法则求得函数的解析式，再换元即可求出的值域【小问1详解】由图象可知：,解得：，又由于,可得：,所以由图像知,,又因为所以,.所以令(),得：()所以的对称中心的坐标为()【小问2详解】依题可得，因为，令，所以，即的值域为21、（1）0；（2）偶函数；（3）见解析【解析】(1)令，代入，即