(完整版)数列的极限讲解

第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质三、收敛准则上一页目录下一页退出引例设有半径为

R

的圆,用其内接正

n

边形的面积An逼近圆面积S.——刘徽割圆术(公元三世纪)概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积上一页目录下一页退出2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”上一页目录下一页退出一、数列极限的定义例如上一页目录下一页退出注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数上一页目录下一页退出随着n趋于无穷,数列的通项有以下两种变化趋势:可以看到,通项无限趋近于一个确定的常数;(2)通项不趋近于任何确定的常数.问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出定义

如果对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn>时的一切nx,不等式e<-axn都成立,那末就称常数a是数列nx的极限,或者称数列nx收敛于a,记为

,limaxnn=

或).(naxn如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：上一页目录下一页退出几何解释:其中上一页目录下一页退出数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：上一页目录下一页退出例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定

寻找N,但不必要求最小的N.上一页目录下一页退出例3证上一页目录下一页退出例4证上一页目录下一页退出例4-1证注意到为了使于是

a=因此,则当n>N时,有只要使二、收敛数列的性质1、有界性例如,有界无界上一页目录下一页退出收敛数列的有界性如果数列收敛,那么数列一定有界.问题

对于无限多项如何求M

？定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.上一页目录下一页退出关系：收敛有界注极限的唯一性2、唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.上一页目录下一页退出例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.上一页目录下一页退出

3、保号性

定理3若=a,a＞0（或a＜0），则N＞0,当n＞N时,

＞0（或＜0）.证由极限定义，对，，当时，，即，故当时，.类似可证的情形.上一页目录下一页退出3、子数列的收敛性注意：例如，上一页目录下一页退出定理4收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．证证毕．上一页目录下一页退出定义5

数列{xn}的项若满足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,则称数列{xn}为单调增加数列;

若满足x1≥x2≥…≥xn≥xn+1≥…,则称数列{xn}为单调减少数列;

当上述不等式中等号都不成立时,则分别称{xn}是严格单调增加和严格单调减少数列.收敛准则

单调增加且有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限.三、收敛准则上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出上一页目录下一页退出