高数下课件-ch9-41线性方程解结构

Oy(tOy(ty设有一重物铅直悬挂于弹簧下端处于平衡状态．现将重物自平衡位置O向拉开一段距离后突然松开,则重物在作用下，将围绕平衡位置上下振设重物质量m振动过程中物体对平衡O的位移为y(t)，则有弹性恢复力：fk (kk md2

kymd2y，ky0

2若在运动过程中，还 到与速度v成正比的阻力 2

ky

2md md2ydym

ky

dt23若另有一周期性的外力作用于物体：f3kydyhsint

d2 md2

ky (1)(2)(3yp(x)yq(x)yf((4)式称为

若f(x)0，yp(x)yq(x)y0 若f(x)0，yp(x)yq(x)yf(x)非齐次线性方程．若p、q是与x则ypyqyfx)y(n)p(x)y(n1)p(x)yf(y 1.

yp(x)yq(x)y

定理1若y1，y2是ypxyqxy0C1y1C2y2也是它的一个解，其中C1，C2注意(1)C1y1C2y2因为C1C2可能例若y1sin2x与y2sinxcosx均是齐次方程(5的特解 C1y1C2y2C1sin2xC2sinxcos(C1C)sin 显然y0是ypxyqxy0对区间对区间I上的两个函数y1(x), y2(x其中之一是另一个的常数倍是另一个的常数倍

k

则称y1x)、则称y1x)、y2x)否则称它们(或线性独立例如ysinx， cosx， y1tanx不是常数y y2所以y1与y22若y1，y2是ypxyqxy0无关的特解,则C1y1C2y2其中C1，C2为任意常线性相关与无关的概念推广到nnC1y1C2y2yn0，则称定理3 (n阶线性齐次方程解的结构)如果函数y1(x),y2(x),,yn(x)是方程 y(n)p(x)y(n1)p(x)y y(x)C1y1(x)C2y2( yn(（C1,Cn为任意常数yp(x)yq(x)yf( 分析：设y1是方程(6)的一个解 则y1p(x)y1q(x)y1f(y2是方程y2p(x)y2q(x)y2f(y1y2满足(y1y2)p(x)(y1y2)q(x)(y1y2[y1p(x)y1q(x)y1][y2p(x)y2q(x)y2]y1y2ypxyqxy04如果函数y1x)和y2x是非齐次方程ypx)yqx)yfx),则y1xy2x)是非齐次方程对应齐次方程ypxyqxy0的解定理5(非齐次方程解的结构 理若ycx)是齐次方程ypxyqxy0的通解，ypx)是非齐次方程ypxyqxyfx)的一个ycx)ypx)是非齐次方程的通解．例例 已y315x 231 2２e15x1)e2y3

1xe2x是方程yy6ye25

的三个特解写出方程解易知对应齐次方 yy6y y4

y12e3

x1)e2x

(e3

1xe2xe3

1e2x，5y5

e3x1xe2x1xe2xe3 yC(e3x1e2x)Ce3x1xe2x yy6ye2xsinx设

是方程yy6ye2x的一个解，yy6ye2x 设y2是方程yy6ysinx(7(8)，即知y1y2

(yy)(yy)6(yy)e2xsin 说明：方程yy6ye2xyy6ysinx