选修2-1第一章单元综合测试

选修2-1第一章单元综合测试选修2-1第一章单元综合测试选修2-1第一章单元综合测试资料仅供参考文件编号：2022年4月选修2-1第一章单元综合测试版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：单元综合测试一(第一章综合测试)时间：120分钟分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列语句中能作为命题的是()A．3比5大 B．太阳和月亮C．高一年级的学生 D．x2＋y2＝0【答案】A【解析】由于可以明确地肯定3比5大这一语句为假，根据命题的概念，故应选A.2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【答案】D【解析】原命题是全称命题，则其否定是存在性命题，故选D.3．命题“π≥”使用的逻辑联结词的情况是()A．没有使用逻辑联结词B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“或”D．使用了逻辑联结词“非”【答案】C【解析】“π≥”的意思为：“π>或π＝”．故选C.4．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的两个命题的序号是()A．①与② B．③与④C．②与④ D．①与③【答案】D【解析】①成立．若l⊥α，α∥β，则l⊥β.又因为m⊂β，故l⊥m.②不成立，l与m也可能异面或相交．③成立，若l∥m，l⊥α，则m⊥α.又m⊂β，则α⊥β.④不成立．举反例即可知α与β可能相交．5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3,则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是()A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3【答案】A【解析】根据一个命题的否命题的构成，即将条件和结论均否定，因此所求命题的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”．6．(2014·天津理)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题考查简易逻辑中充分性、必要性．当a>b⇒a|a|>b|b|，当a>b>0时，a|a|－b|b|＝a2－b2＝(b－a)(a－b)>0成立，当b<a<0时a|a|－b|b|＝a2＋b2>0成立，当b<0<a时，a|a|－b|b|＝a2＋b2>0成立，同理由a|a|>b|b|⇒a>b.选C.7．若“∃x∈R,2x≤a”为假命题，则实数a的取值范围是()A．a≤0 B．a<0C．a≥0 D．a>0【答案】A【解析】命题“∃x∈R,2x≤a”为假命题，其否定为“∀x∈R,2x>a”为真命题．只要2x>0≥a即可，故a≤0.8．(2014·湖南理)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④【答案】C【解析】本题考查命题的真假及逻辑联结词．当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2<y2，所以命题q为假命题，所以②③为真命题，故选C.9．命题p：在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角，则命题“綈p”是()A．在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都不是锐角B．在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B不都是锐角C．在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都不一定是锐角D．以上都不对【答案】B【解析】由命题的否定知B正确．10．下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x＝3”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：∃x∈R，使x2＋x＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0【答案】C【解析】根据逆否命题的定义知选项A正确；x＝3⇒|x|>0，但|x|>0⇒/x＝3，知选项B正确；“p且q”为假命题，则至少有一个为假命题，知选项C不正确；由命题p的否定知选项D正确．11．“a＝eq\f(1,8)”是“对任意的正数x,2x＋eq\f(a,x)≥1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a＝eq\f(1,8)⇒2x＋eq\f(a,x)＝2x＋eq\f(1,8x)≥2eq\r(2x×\f(1,8x))＝1.另一方面，对任意正数x,2x＋eq\f(a,x)≥1，只要2x＋eq\f(a,x)≥2eq\r(2x×\f(a,8x))＝2eq\r(2a)≥1⇒a≥eq\f(1,8)，所以选A.12．(2014·全国新课标Ⅰ理)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1,x－2y≤4))的解集记为D.有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中真命题是()A．p2，p3 B．p1，p4C．p1，p2 D．p1，p3【答案】B【解析】本题考查线性规划和逻辑的知识．不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1,x－2y≤4))表示的平面区域如图所示．可以验证选项P1，P2正确，所以选B.二、填空题(每小题4分，共16分)13．“相似三角形的面积相等”的否命题是“________”，它的否定是“________”．【答案】若两个三角形不相似，则它们的面积不相等有些相似三角形的面积不相等【解析】首先分清原命题的条件和结论，否命题是对条件和结论同时进行否定，而命题的否定是只对命题的结论进行否定．14．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是________．【答案】若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不全大于0【解析】原命题与逆否命题等价．15．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数a【答案】0≤a≤eq\f(1,2)【解析】命题p：|4x－3|≤1⇔eq\f(1,2)≤x≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0⇔a≤x≤a∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2),a＋1≥1))，∴0≤a≤eq\f(1,2).16．下列三个命题中，真命题的序号有________(写出所有真命题的序号)．①将函数y＝|x＋1|的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝|x|.②圆x2＋y2＋4x－2y＋1＝0与直线y＝eq\f(1,2)x相交，所得弦长为2.③若sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，则eq\f(tanα,tanβ)＝5.【答案】③【解析】①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x＋2|.②错误，圆心坐标为(－2,1)，半径为2，圆心到直线y＝eq\f(1,2)x的距离为eq\f(4\r(5),5)，圆截直线所得弦长为2eq\r(4－\f(4\r(5),5)2)＝eq\f(4\r(5),5).③正确，sin(α＋β)＝eq\f(1,2)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,3)，两式相加，得2sinαcosβ＝eq\f(5,6)，两式相减，得2cosαsinβ＝eq\f(1,6)，将以上两式相除，即得eq\f(tanα,tanβ)＝5.三、解答题(共74分)17．(本题满分12分)写出命题“若eq\r(x－2)＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．【解析】逆命题：若x＝2且y＝－1，则eq\r(x－2)＋(y＋1)2＝0；真命题．否命题：若eq\r(x－2)＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；真命题．逆否命题：若x≠2或y≠－1，则eq\r(x－2)＋(y＋1)2≠0；真命题．18．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；(2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0；(3)p：a>2，q：a>5；(4)p：a<b，q：eq\f(a,b)<1.【解析】(1)在△ABC中，∠A>∠B⇔BC>AC.所以p是q的充要条件．(2)a＝3⇒(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0⇒/a＝3.所以p是q的充分而不必要条件．(3)a>2⇒/a>5，但a>5⇒a>2，所以p是q的必要而不充分条件．(4)a<b⇒/eq\f(a,b)<1，且eq\f(a,b)<1⇒/a<b，所以p是q的既不充分也不必要条件．19．(本题满分12分)已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；(2)若p是綈q的充分条件，求实数m的取值范围.【解析】由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴A＝[－1,3]．由x2－2mx＋m2－4≤0得m－2≤x≤m＋2，∴B＝[m－2，m＋2]．(1)若A∩B＝[0,3]，则m－2＝0，∴m＝2，此时，B＝[0,4]，符合题意．(2)綈q：x>m＋2或x<m－2.由题意得A⊆(－∞，m－2)∪(m＋2，＋∞)，∴m－2>3或m＋2<－1，解得m>5或m<－3.即m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．【解析】在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是：在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函数的图象(如图)特征可知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2p－2－2p2－p＋1≤0，,4－2p－2－2p2－p＋1≤0，))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p≥1或p≤－\f(1,2)，,p≥\f(3,2)或p≤－3，))∴p≥eq\f(3,2)或p≤－3.故p的取值范围是－3<p<eq\f(3,2).21．(本题满分13分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p与q有且只有一个正确，求a【解析】当0<a<1时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内单调递减；当a>1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减．曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)2－4>0.即a<eq\f(1,2)或a>eq\f(5,2).(1)p正确，q不正确．则a∈(0,1)∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤a≤\f(5,2)且a≠1))))，即a∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)p不正确，q正确．则a∈(1，＋∞)∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<\f(1,2)或a>\f(5,2)))))，即a∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞)).综上所述，a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)