人教新教材高中数学优质课件第1章-集合与常用逻辑用语-全称量词与存在量词

1.5.1

全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词课标定位素养阐释1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.理解全称量词命题与存在量词命题的含义,并能判断其真假.3.体会全称量词与存在量词在数学命题中的应用.4.提升数学抽象和逻辑推理能力.课标定位1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

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习自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随

自主预习·新知导学自主预习·新知导学一、全称量词与全称量词命题【问题思考】1.给出下列语句:①3x+2是无理数;②x有算术平方根;③对一切无理数x,3x+2还是无理数;④所有实数x都有算术平方根.(1)语句①②是命题吗?(2)比较语句①和③,②和④,它们之间有什么关系?(3)语句③④是命题吗?若是命题,你能判断它们的真假吗?一、全称量词与全称量词命题提示:(1)语句①②中含有变量x,无法判断它们的真假,故①②不是命题.(2)语句③在①的基础上,用短语“一切”对变量x进行限定;语句④在②的基础上,用短语“所有”对变量x进行限定.(3)③④是能判断真假的语句,是命题;③是真命题,④是假命题.提示:(1)语句①②中含有变量x,无法判断它们的真假,故①②2.

2.3.做一做:下列命题中全称量词命题的个数是(

)①任意一个自然数都是正整数;②所有的偶数都是合数;③三角形的内角和是180°.A.0 B.1

C.2

D.3解析:命题①②含有全称量词,命题③可以叙述为“任意一个三角形的内角和都是180°”,故三个都是全称量词命题.答案:D3.做一做:下列命题中全称量词命题的个数是()二、存在量词与存在量词命题【问题思考】1.给出下列语句:①x>5;②x是有理数;③存在实数x,使x>5;④至少有一个实数x,使x是有理数.(1)语句①②是命题吗?(2)比较语句①和③,②和④,它们之间有什么关系?(3)语句③④是命题吗?若是命题,你能判断它们的真假吗?二、存在量词与存在量词命题提示:(1)不是.(2)语句③在①的基础上,用短语“存在”对变量x的取值进行限定;语句④在②的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定.(3)③④是命题,都是真命题.提示:(1)不是.2.

2.3.做一做:下列命题是存在量词命题的是(

)A.一元二次函数的图象关于y轴对称B.正方形都是平行四边形C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案:D3.做一做:下列命题是存在量词命题的是()【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)“有理数全是实数”是全称量词命题.(√)(2)同一个全称量词命题的表述是唯一的.(×)(3)“全等三角形的面积相等”是存在量词命题.(×)【思考辨析】

合作探究·释疑解惑合作探究·释疑解惑探究一

全称量词命题与存在量词命题的判定【例1】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;(3)对任意实数a,b,若a>b,则(4)有些三角形不是直角三角形;(5)负数的平方是正数;(6)若x>0,则x+2>2.探究一全称量词命题与存在量词命题的判定【例1】判断下列分析:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键有两点:一是是否具有两类命题所要求的量词或形式;二是根据命题的含义判断指的是全体,还是全体中的个别元素.分析:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键有两点解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.(4)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.(5)省略了全称量词“所有”或“都”,是全称量词命题.(6)省略了全称量词“所有”,可以改写为“对所有实数x,若x>0,则有x+2>2”,是全称量词命题.解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,反思感悟1.判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词.2.同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.反思感悟【变式训练1】

给出下列四个命题:①有理数是实数;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④凡是三角形,都有内切圆.其中是全称量词命题的是

.(填序号)

解析:在④中含有全称量词“凡是”,为全称量词命题.③为存在量词命题.①可以改写为“所有的有理数都是实数”,②可以改写为“所有的矩形都不是梯形”,故①②④为全称量词命题.答案:①②④【变式训练1】给出下列四个命题:探究二

全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例2】

用量词符号“∀”“∃”表示下列命题,并判断其真假.(1)实数都能写成小数形式;(2)有一个实数x,使(3)平行四边形的对角线互相平分;(4)至少有一个集合A,满足A⫋{1,2,3}.探究二全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例2】用量解:(1)∀x∈R,x能写成小数形式,因为无理数不能写成小数形式,所以该命题是假命题.所以该命题是假命题.(3)∀x∈{x|x是平行四边形},x的对角线互相平分,由平行四边形的性质可知此命题是真命题.(4)∃A∈{A|A是集合},A⫋{1,2,3}.因为存在A={3},使A⫋{1,2,3}成立,所以该命题是真命题.解:(1)∀x∈R,x能写成小数形式,因为无理数不能写成小数反思感悟全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)对于全称量词命题“∀x∈M,p(x)”,要判断它为真,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假,只需在M中找到一个x,使p(x)不成立.(2)对于存在量词命题“∃x∈M,p(x)”,要判断它为真,只需在M中找到一个x,使p(x)成立,要判断它为假,需要判断“∀x∈M,p(x)不成立”.反思感悟【变式训练2】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)对任意x∈N,2x+1是奇数;(2)∃x,y为正实数,使x2+y2=0;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(4)存在一组m,n的值,使m-n=1.【变式训练2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,解:(1)是全称量词命题,由于对任意x∈N,2x+1都是奇数,故该命题是真命题.(2)是存在量词命题,因为x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故该命题是假命题.(3)是全称量词命题,由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系,知该命题是真命题.(4)是存在量词命题,当m=4,n=3时,m-n=1成立,故该命题是真命题.解:(1)是全称量词命题,由于对任意x∈N,2x+1都是奇数探究三

利用全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值范围【例3】

已知命题p:∃x∈R,使x2+2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.解:因为p为真命题,即方程x2+2x+2-a=0有实根,所以Δ=4-4(2-a)≥0,即a≥1.即实数a的取值范围为a≥1.探究三利用全称量词命题、【例3】已知命题p:∃x∈R,将本例中的条件“∃x∈R,x2+2x+2-a=0”改为“∀x∈R,x2+2x+2-a>0”,其他条件不变,求实数a的取值范围.解:由∀x∈R,x2+2x+2-a>0为真命题,得函数y=x2+2x+2-a=(x+1)2+1-a的图象在x轴上方,即1-a>0,得a<1.故实数a的取值范围为a<1.将本例中的条件“∃x∈R,x2+2x+2-a=0”改为“∀x反思感悟利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)含参数的全称量词命题为真命题时,常转化为不等式的恒成立问题,最终通过构造函数转化为函数的相关问题来处理.(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题,最终借助根的判别式或函数等相关知识来处理.反思感悟易

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析易错辨析对量词理解不到位致错【典例】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.(1)矩形有一个外接圆;(2)非负实数有两个平方根.错解:(1)存在量词命题.(2)存在量词命题.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?对量词理解不到位致错提示:(1)误认为含有存在量词“有一个”,(2)误认为含有存在量词“有两个”,即判断为存在量词命题.正解:(1)可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”,是全称量词命题.(2)可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”,是全称量词命题.提示:(1)误认为含有存在量词“有一个”,(2)误认为含有存防范措施1.全称量词命题就是陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题,存在量词命题就是陈述在某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题,是对某集合一些元素的限定,而不是对结论的限定.2.注意对全称量词命题和存在量词命题概念的理解,培养数学抽象素养.防范措施随

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习随堂练习1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是(

)A.任何一个实数乘零都等于零B.自然数都是正整数C.存在一个负数x,使x+1>2D.所有二次函数的图象都开口向上解析:选项B指的是所有的自然数都是正整数,故是全称量词命题,A,D显然是全称量词命题,C是存在量词命题.答案:ABD1.(多选题)下列命题是全称量词命题的是()解析:显然选项A,C是真命题;选项B,当x=0时,0∈N,但0<1.故B是假命题;选项D,当x=2时,2∈Q,

,故D是真命题.答案:ACD解析:显然选项A,C是真命题;选项B,当x=0时,0∈N,但3.存在量词命题“至少有一个整数,它既能被3整除又能被5整除”是

命题.(填“真”或“假”)

答案:真4.若对任意x>3,x>a恒成立,则a的取值范围是

.

解析:对任意x>3,x>a恒成立,即大于3的数恒大于a,故a≤3.答案:a≤33.存在量词命题“至少有一个整数,它既能被3整除又能被5整除人教新教材高中数学优质课件第1章--集合与常用逻辑用语-全称量词与存在量词1.5.1

全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词课标定位素养阐释1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.2.理解全称量词命题与存在量词命题的含义,并能判断其真假.3.体会全称量词与存在量词在数学命题中的应用.4.提升数学抽象和逻辑推理能力.课标定位1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

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习自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易错辨析随

自主预习·新知导学自主预习·新知导学一、全称量词与全称量词命题【问题思考】1.给出下列语句:①3x+2是无理数;②x有算术平方根;③对一切无理数x,3x+2还是无理数;④所有实数x都有算术平方根.(1)语句①②是命题吗?(2)比较语句①和③,②和④,它们之间有什么关系?(3)语句③④是命题吗?若是命题,你能判断它们的真假吗?一、全称量词与全称量词命题提示:(1)语句①②中含有变量x,无法判断它们的真假,故①②不是命题.(2)语句③在①的基础上,用短语“一切”对变量x进行限定;语句④在②的基础上,用短语“所有”对变量x进行限定.(3)③④是能判断真假的语句,是命题;③是真命题,④是假命题.提示:(1)语句①②中含有变量x,无法判断它们的真假,故①②2.

2.3.做一做:下列命题中全称量词命题的个数是(

)①任意一个自然数都是正整数;②所有的偶数都是合数;③三角形的内角和是180°.A.0 B.1

C.2

D.3解析:命题①②含有全称量词,命题③可以叙述为“任意一个三角形的内角和都是180°”,故三个都是全称量词命题.答案:D3.做一做:下列命题中全称量词命题的个数是()二、存在量词与存在量词命题【问题思考】1.给出下列语句:①x>5;②x是有理数;③存在实数x,使x>5;④至少有一个实数x,使x是有理数.(1)语句①②是命题吗?(2)比较语句①和③,②和④,它们之间有什么关系?(3)语句③④是命题吗?若是命题,你能判断它们的真假吗?二、存在量词与存在量词命题提示:(1)不是.(2)语句③在①的基础上,用短语“存在”对变量x的取值进行限定;语句④在②的基础上,用短语“至少有一个”对变量x的取值进行限定.(3)③④是命题,都是真命题.提示:(1)不是.2.

2.3.做一做:下列命题是存在量词命题的是(

)A.一元二次函数的图象关于y轴对称B.正方形都是平行四边形C.不相交的两条直线是平行直线D.存在实数大于等于3答案:D3.做一做:下列命题是存在量词命题的是()【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)“有理数全是实数”是全称量词命题.(√)(2)同一个全称量词命题的表述是唯一的.(×)(3)“全等三角形的面积相等”是存在量词命题.(×)【思考辨析】

合作探究·释疑解惑合作探究·释疑解惑探究一

全称量词命题与存在量词命题的判定【例1】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题:(1)凸多边形的外角和等于360°;(2)有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b|;(3)对任意实数a,b,若a>b,则(4)有些三角形不是直角三角形;(5)负数的平方是正数;(6)若x>0,则x+2>2.探究一全称量词命题与存在量词命题的判定【例1】判断下列分析:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键有两点:一是是否具有两类命题所要求的量词或形式;二是根据命题的含义判断指的是全体,还是全体中的个别元素.分析:判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题,关键有两点解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,是全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.(3)含有全称量词“任意”,故是全称量词命题.(4)含有存在量词“有些”,故是存在量词命题.(5)省略了全称量词“所有”或“都”,是全称量词命题.(6)省略了全称量词“所有”,可以改写为“对所有实数x,若x>0,则有x+2>2”,是全称量词命题.解:(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”,反思感悟1.判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题,关键看命题中是否含有全称量词或存在量词.2.同一个全称量词命题或存在量词命题的表述方法可能不同.反思感悟【变式训练1】

给出下列四个命题:①有理数是实数;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④凡是三角形,都有内切圆.其中是全称量词命题的是

.(填序号)

解析:在④中含有全称量词“凡是”,为全称量词命题.③为存在量词命题.①可以改写为“所有的有理数都是实数”,②可以改写为“所有的矩形都不是梯形”,故①②④为全称量词命题.答案:①②④【变式训练1】给出下列四个命题:探究二

全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例2】

用量词符号“∀”“∃”表示下列命题,并判断其真假.(1)实数都能写成小数形式;(2)有一个实数x,使(3)平行四边形的对角线互相平分;(4)至少有一个集合A,满足A⫋{1,2,3}.探究二全称量词命题与存在量词命题的真假判断【例2】用量解:(1)∀x∈R,x能写成小数形式,因为无理数不能写成小数形式,所以该命题是假命题.所以该命题是假命题.(3)∀x∈{x|x是平行四边形},x的对角线互相平分,由平行四边形的性质可知此命题是真命题.(4)∃A∈{A|A是集合},A⫋{1,2,3}.因为存在A={3},使A⫋{1,2,3}成立,所以该命题是真命题.解:(1)∀x∈R,x能写成小数形式,因为无理数不能写成小数反思感悟全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)对于全称量词命题“∀x∈M,p(x)”,要判断它为真,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断它为假,只需在M中找到一个x,使p(x)不成立.(2)对于存在量词命题“∃x∈M,p(x)”,要判断它为真,只需在M中找到一个x,使p(x)成立,要判断它为假,需要判断“∀x∈M,p(x)不成立”.反思感悟【变式训练2】

判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假.(1)对任意x∈N,2x+1是奇数;(2)∃x,y为正实数,使x2+y2=0;(3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P;(4)存在一组m,n的值,使m-n=1.【变式训练2】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,解:(1)是全称量词命题,由于对任意x∈N,2x+1都是奇数,故该命题是真命题.(2)是存在量词命题,因为x2+y2=0时,x=y=0,所以不存在x,y为正实数,使x2+y2=0,故该命题是假命题.(3)是全称量词命题,由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系,知该命题是真命题.(4)是存在量词命题,当m=4,n=3时,m-n=1成立,故该命题是真命题.解:(1)是全称量词命题,由于对任意x∈N,2x+1都是奇数探究三

利用全称量词命题、存在量词命题的真假求参数的取值范围【例3】

已知命题p:∃x∈R,使x2+2x+2-a=0为真命题,求实数a的取值范围.解:因为p为真命题,即方程x2+2x+2-a=0有实根,所以Δ=4-4(2-a)≥0,即a≥1.即实数a的取值范围为a≥1.探究三利用全称量词命题、【例3】已知命题p:∃x∈R,将本例中的条件“∃x∈R,x2+2x+2-a=0”改为“∀x∈R,x2+2x+2-a>0”,其他条件不变,求实数a的取值范围.解:由∀x∈R,x2+2x+2-a>0为真命题,得函数y=x2+2x+2-a=(x+1)2+1-a的图象在x轴上方,即1-a>0,得a<1.故实数a的取值范围为a<1.将本例中的条件“∃x∈R,x2+2x+2-a=0”改为“∀x反思感悟利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)含参数的全称量词命题为真命题时,常转化为不等式的恒成立问题,最终通过构造函数转化为函数的相关问题来处理.(2)含参数的存在量词命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题,最终借助根的判别式或函数等相关知识来处理.反思感悟易

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析易错辨析对量词理解不到位