随机变量的方差课件

1.离散型2.连续型3.Y=g(X)4.Z=g(X,Y)数学期望的定义复习1.离散型2.连续型3.Y=g(X)4.Z=g(X,Y)性质2

E（CX）=CE（X）性质3

E（X+Y）=E（X）+E（Y）性质4设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有

E（XY）=E（X）·E（Y）性质推广：（1）E(X1+X2+…+Xn)=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）若X1，X2，…，Xn相互独立，则

E(X1X2…Xn）=E(X1)E(X2)…E(Xn)（2）E(C1X1+C2X2+…+CnXn)=E(C1X1)+E(C2X2)+…+E(CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+…+CnE(Xn)特别地E（E(X)）=E(X)性质1

E（C）=C，其中C为常数．数学期望的性质复习性质2E（CX）=CE（X）性质3E方差概念的引出

引例

从甲，乙两车床加工的零件中各取５件，测得尺寸如下(单位：cm):甲：8,9,10,11,12；乙：9.6,9.8,10,10.2,10.4已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm,问那一台车床好？以Ｘ甲，Ｘ乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度。易得：

E(Ｘ甲)=E(Ｘ乙)＝10.但甲和乙零件的质量有显著差异，甲加工的零件只有１件合格，乙加工零件全合格。可见不仅需要考虑平均长度，而且需要考虑这些长度值是否较整齐。1081191210故考虑

E(|X-E(X)|)E[X-E(X)]2§4.2随机变量的方差方差概念的引出引例从甲，乙两车床加工的零件中各取1.方差的概念D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2并称为X的标准差或均方差记为。2.方差的几何意义随机变量X的方差反映出X的取值与其数学期望的偏离程度．若较小，则X取值比较集中，否则，X取值比较分散．因此，方差是刻画X取值分散程度的一个量．

定义设X是随机变量，如果E[X-E(X)]2存在，则称E[X-E(X)]2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即1.方差的概念D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2并其中P{X=xk}=pk

k=1,2,3,….连续型随机变量

离散型随机变量3.方差的计算4.方差计算公式其中P{X=xk}=pkk=1,2,3,=E(X2)-[E(X)]24.方差计算公式公式证明D(X)=E{[X–E(X)]2}=E{X

2-2X·E(X)+[E(X)]2}=E(X

2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2例1

设随机变量X～0-1分布，其概率分布为P{X=1}=p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D(X)

解

因E(X)=p，而E(X2)=12·p+02·q=p，于是D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=pq。=E(X2)-[E(X)]24.方差计算公式公式解求D(X)。所以或16)()()]([)(22==-=dxxfxdxxfXExXD例2设随机变量X具有概率密度解求D(X)。所以或16)()()]([)(22==-=性质2

D(CX)=C2D(X)性质3

D(X+C)=D(X)，D(aX+b)=a2

D(X)性质4若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D（X+Y）=D（X）+D（Y）性质5

D（X）=0的充要条件是P{X=E(X)}=1

推广若X1,X2,…,Xn相互独立，练习

若X1,X2,X3相互独立，期望分别为9,10,12；方差分别为2,1,4,求Y=2X1+3X2+X3的期望和方差。6021为常数，则有性质1D(C)=0

5.方差的性质性质2D(CX)=C2D(X)性质3证明

(2)D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C2E{[X-E(X)]2}=C2D(X)(3)D(X+C)=E{[(X+C)-E(X+C)]2}=E{[X–E(X)]2}=D(X)而E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

=E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)

=E(XY)-E(X)E(Y)由于X,Y相互独立，故有E(XY)=E(X)E(Y)

从而有E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，(4)D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}于是D(X+Y)=D(X)+D(Y)．练习若X，Y相互独立，证明D(X-Y)=D(X)+D(Y)。=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]}2=E[XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)]证明(2)D(CX)=E{[CX-E6.常见分布的数学期望和方差1)0-1分布概率分布为E(X)=p

2)二项分布设随机变量X～B（n，p），其概率分布为:D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p)=pq

X10Pp1-p6.常见分布的数学期望和方差1)0-1分布

2)二项分布设随机变量X～B(n,p),其概率分布为:则D(X)）=E(X2)-[E(X)]2。事实上所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=n(n-1)p2+np-n2p2=npq2)二项分布设随机变量X～B(n,p),其概率分3)

泊松分布

设随机变量X~Ｐ()，概率分布为：，k=0,1,2,3,…,λ＞0D（X）=E（X2）-[E（X）]2因此

D（X）=E（X2）-[E（X）]2=λ2+λ-λ2=λ

3)泊松分布设随机变量X~Ｐ()，概率分布为：4)

几何分布设随机变量X服从几何分布，分布律为

其中0<p<1为常数，则4)几何分布设随机变量X服从几何分布，分布律为5)均匀分布

设X～U[a,b]概率密度为：5)均匀分布设X～U[a,b]概率密度为：6)指数分布

设X～E(λ)概率密度为：故6)指数分布设X～E(λ)概率密度为：，（—∞＜x＜+∞)7)正态分布

设X～N（μ,σ2）概率密度为：，（—∞＜x＜+∞)7)正态分布设X～N（μ,σ，（—∞＜x＜+∞)7)正态分布

设X～N(,2)概率密度为：，（—∞＜x＜+∞)7)正态分布设X～N(,D（X）=D（X1+X2+…+Xn）i=1,2,…,n显然Xi均服从（0-1）分布,即E（Xi）=p,D(Xi)=pq，（i=1，2，…，n）且X1，X2，…，Xn相互独立。于是E（X）=E（X1+X2+…+Xn）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）=np=D（X1）+D（X2）+…+D（Xn）=npq解

令则X=X1+X2+…+Xn

例3在n重贝努里试验中，用X表示n次试验中事件A发生的次数，记P(A)=p，求E(X)，D(X)．D（X）=D（X1+X2+…+Xn）i=1,2,…,n显然例4设随机变量X的期望E(X)和方差D(X)都存在，则称为X标准化随机变量,试求

和解注意到均为常数，再由期望及方差的性质可得：我们称上例的过程为对随机变量X的标准化例4设随机变量X的期望E(X)和方差D(X)练习题1设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中的概率为0.4，则E(X2)=()．2随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X+e-2X)=().3随机变量X与Y独立，且X～N(1,2)，Y～N(0,1),则Z=2X-Y+3的期望与方差分别为()．二、单选题一、填空题设Ｘ和Ｙ是两个随机变量，则下式正确的是（）．三、计算题设有n个同样的盒子和n个同样的小球分别编号为1,2,3,…，n．将n个球随机地放入n个盒子中去，每个盒子放一个球，求与盒子编号相同的小球数的数学期望()．18.45,9(A)练习题1设X表示独立射击目标10次所击中

21/λ2(b-a)2/12npqpqD(X)1/(a+b)/2nppE(X)N(,2)E()U[a,b]P(λ)B(n,p)0-1分布1.D(X)=Var(X)=E{[X—E(X)]2}3.常见分布的期望与方差2.D(X)的性质(略)小结21/λ2(b-a)2/12npqpqD(X)1/本节结束本节结束1.离散型2.连续型3.Y=g(X)4.Z=g(X,Y)数学期望的定义复习1.离散型2.连续型3.Y=g(X)4.Z=g(X,Y)性质2

E（CX）=CE（X）性质3

E（X+Y）=E（X）+E（Y）性质4设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有

E（XY）=E（X）·E（Y）性质推广：（1）E(X1+X2+…+Xn)=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn）若X1，X2，…，Xn相互独立，则

E(X1X2…Xn）=E(X1)E(X2)…E(Xn)（2）E(C1X1+C2X2+…+CnXn)=E(C1X1)+E(C2X2)+…+E(CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+…+CnE(Xn)特别地E（E(X)）=E(X)性质1

E（C）=C，其中C为常数．数学期望的性质复习性质2E（CX）=CE（X）性质3E方差概念的引出

引例

从甲，乙两车床加工的零件中各取５件，测得尺寸如下(单位：cm):甲：8,9,10,11,12；乙：9.6,9.8,10,10.2,10.4已知标准尺寸为10(cm),公差d=0.5cm,问那一台车床好？以Ｘ甲，Ｘ乙分别表示甲、乙两车床加工零件的长度。易得：

E(Ｘ甲)=E(Ｘ乙)＝10.但甲和乙零件的质量有显著差异，甲加工的零件只有１件合格，乙加工零件全合格。可见不仅需要考虑平均长度，而且需要考虑这些长度值是否较整齐。1081191210故考虑

E(|X-E(X)|)E[X-E(X)]2§4.2随机变量的方差方差概念的引出引例从甲，乙两车床加工的零件中各取1.方差的概念D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2并称为X的标准差或均方差记为。2.方差的几何意义随机变量X的方差反映出X的取值与其数学期望的偏离程度．若较小，则X取值比较集中，否则，X取值比较分散．因此，方差是刻画X取值分散程度的一个量．

定义设X是随机变量，如果E[X-E(X)]2存在，则称E[X-E(X)]2为X的方差，记为D(X)或Var(X)，即1.方差的概念D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2并其中P{X=xk}=pk

k=1,2,3,….连续型随机变量

离散型随机变量3.方差的计算4.方差计算公式其中P{X=xk}=pkk=1,2,3,=E(X2)-[E(X)]24.方差计算公式公式证明D(X)=E{[X–E(X)]2}=E{X

2-2X·E(X)+[E(X)]2}=E(X

2)-2E(X)·E(X)+[E(X)]2例1

设随机变量X～0-1分布，其概率分布为P{X=1}=p，P{X=0}=q，0＜p＜1，p+q=1，求D(X)

解

因E(X)=p，而E(X2)=12·p+02·q=p，于是D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=pq。=E(X2)-[E(X)]24.方差计算公式公式解求D(X)。所以或16)()()]([)(22==-=dxxfxdxxfXExXD例2设随机变量X具有概率密度解求D(X)。所以或16)()()]([)(22==-=性质2

D(CX)=C2D(X)性质3

D(X+C)=D(X)，D(aX+b)=a2

D(X)性质4若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D（X+Y）=D（X）+D（Y）性质5

D（X）=0的充要条件是P{X=E(X)}=1

推广若X1,X2,…,Xn相互独立，练习

若X1,X2,X3相互独立，期望分别为9,10,12；方差分别为2,1,4,求Y=2X1+3X2+X3的期望和方差。6021为常数，则有性质1D(C)=0

5.方差的性质性质2D(CX)=C2D(X)性质3证明

(2)D(CX)=E{[CX-E(CX)]2}=C2E{[X-E(X)]2}=C2D(X)(3)D(X+C)=E{[(X+C)-E(X+C)]2}=E{[X–E(X)]2}=D(X)而E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

=E(XY)-E(X)E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y)

=E(XY)-E(X)E(Y)由于X,Y相互独立，故有E(XY)=E(X)E(Y)

从而有E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0，(4)D(X+Y)=E{[(X+Y)-E(X+Y)]2}于是D(X+Y)=D(X)+D(Y)．练习若X，Y相互独立，证明D(X-Y)=D(X)+D(Y)。=E{[X-E(X)]2}+E{[Y-E(Y)]2}+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E{[X-E(X)]+[Y-E(Y)]}2=E[XY-E(X)Y-E(Y)X+E(X)E(Y)]证明(2)D(CX)=E{[CX-E6.常见分布的数学期望和方差1)0-1分布概率分布为E(X)=p

2)二项分布设随机变量X～B（n，p），其概率分布为:D(X)=E(X2)-[E(X)]2=p-p2=p(1-p)=pq

X10Pp1-p6.常见分布的数学期望和方差1)0-1分布

2)二项分布设随机变量X～B(n,p),其概率分布为:则D(X)）=E(X2)-[E(X)]2。事实上所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=n(n-1)p2+np-n2p2=npq2)二项分布设随机变量X～B(n,p),其概率分3)

泊松分布

设随机变量X~Ｐ()，概率分布为：，k=0,1,2,3,…,λ＞0D（X）=E（X2）-[E（X）]2因此

D（X）=E（X2）-[E（X）]2=λ2+λ-λ2=λ

3)泊松分布设随机变量X~Ｐ()，概率分布为：4)

几何分布设随机变量X服从几何分布，分布律为

其中0<p<1为常数，则4)几何分布设随机变量X服从几何分布，分布律为5)均匀分布

设X～U[a,b]概率密度为：5)均匀分布设X～U[a,b]概率密度为：6)指数分布

设X～E(λ)概率密度为：故6)指数分布设X～E(λ)概率密度为：，（—∞＜x＜+∞)7)正态分布

设X～N（μ,σ2）概率密度为：，（—∞＜x＜+∞)7)正态分布设X～N（μ,σ，（—∞＜x＜+∞)7)正态分布

设X～N(,2)概率密度为：，（—∞＜x＜+∞)7)正态分布设X～N(,D（X）=D（X1+X2+…+Xn）i=1,2,…,n显然Xi均服从（0-1）分布,即E（Xi）=p,D(Xi)=pq，（i=1，2，…，n）且X1，X2，…，Xn相互独立。于是E（X）=E（X1+