第二次课 柏努利方程

化工原理

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wangshui2000@王wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心第一章流量与流速1定态流动与非定态流动2连续性方程3能量衡算方程式4柏努利方程的应用5wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心一、流量与流速1、流量单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。若流量用体积来计量，称为体积流量VS；单位为：m3/s。若流量用质量来计量，称为质量流量WS；单位：kg/s。

体积流量和质量流量的关系是：2、流速单位时间内流体内的质点在流动方向上流过的距离，称为流速u。单位为：m/s。平均流速数学表达式为：

wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心流量与流速的关系为：质量流速：单位时间内流体流过管道单位面积的质量，用G表示，单位为kg/(m2.s)。数学表达式为：对于圆形管道，——管道直径的计算式生产实际中，管道直径应如何确定？，一般液体的流速为1～3m/s，气体流速为8～12m/s一、流量与流速wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心二、定态流动与非定态流动流动系统定态流动流动系统中流体的流速、压强、密度等有关物理量仅随位置而改变，而不随时间而改变流动体系非定态流动上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流动。wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心二、定态流动与非定态流动wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心三、连续性方程在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段。衡算基准：1s对于连续稳定系统：

wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：若流体为不可压缩流体——一维稳定流动的连续性方程

三、连续性方程wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心对于圆形管道：表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径的平方成反比。三、连续性方程wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心例

如附图所示的输水管道，管内径为：d1=2.5cm；d2=10cm；d3=5cm。（1）当流量为4L/s时，各管段的平均流速为若干？（2）当流量增至8L/s或减至2L/s时，平均流速如何变化？

d1

d2

d3三、连续性方程wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心

(2)各截面保持不变，流量增至8L/s时，流量增为原来的2倍，则各段流速亦增加至2倍，即：u1＝16.3m/s，u2=1.02m/s，u3=4.08m/s解(1)根据连续性方程，则流量减小至2L/s时，即流量减小1/2，各段流速亦为原值的1/2，即：u1＝4.08m/s，u2=0.26m/s，u3=1.02m/s三、连续性方程wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心四、能量衡算方程式1、流体流动的总机械能衡算

假设：流体无粘性：在流动过程中无摩擦损失；流体在管道内作稳定流动；在管截面上液体质点的速度分布是均匀的；流体的压力、密度都取在管截面上的平均值；

d1

d2

d3wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心四、能量衡算方程式

1）流体本身具有的机械能位能:

流体因处于重力场内而具有的能量。质量为m流体的位能单位质量流体的位能1122u1u2Z1Z200wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心动能：流体以一定的流速流动而具有的能量。

质量为m，流速为u的流体所具有的动能单位质量流体所具有的动能静压能（流动功）流动的流体通过某截面，需要克服静压力而做功，因此而具有的能量四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心某一体积流体在截面处所具有的压力该流体通过截面所走的距离为该流体通过截面的静压能单位质量流体所具有的静压能

单位质量流体本身所具有的机械总能量为：四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心3）总能量衡算衡算范围：截面1-1’和截面2-2’间的管道和设备。衡算基准：1kg流体。设1-1’截面的流体流速为u1，压强为P1，截面积为A1，比容为ν1；

截面2-2’的流体流速为u2，压强为P2，截面积为A2，比容为v2。取o-o’为基准水平面，截面1-1’和截面2-2’中心与基准水平面的距离为Z1，Z2。1122u1u2Z1Z200四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心对于定态理想流体流动系统：∑输入能量=∑输出能量Σ输入能量Σ输出能量上式称为柏努利方程式，它适用于不可压缩非粘性的流体。通常把非粘性的液体称为理想液体，故又称上式为理想液体柏努利方程式。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心伯努利家族简介

近代科学史上，最著名的科学家家族可能要算伯努利家族了。伯努利家庭是瑞士的一个曾产生过11位科学家的家族。其中著名的有雅可比·伯努利、雅可比的弟弟约翰·伯努利、约翰的次子丹尼尔·伯努利等。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心雅可比·伯努利（JacobBernoulli1654-1705）雅可比·伯努利是伯努利家族中重要的一员，卓越的数学家。他同莱布尼兹共同协作，对于微积分的发展做出了出色的贡献，为常微分方程的积分法奠定了充分的理论基础。在研究曲线问题时他提出了一系列的概念，如对数螺线、双纽线，悬链线等。他继承和深入地研究并发展了微积分学，创立了变分法。雅可比还是概率论的早期研究者。许多概率论方面的术语都是以他的名字命名的。对于物理学方面的研究，雅可比也有一定贡献。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心约翰·伯努利(JohannBernoulli,1667—1748)

约翰·伯努利青年时曾经商，后研究数学和医学。曾在巴黎留学，1695年任荷兰格罗宁根大学教授；1705年任巴塞尔大学教授；1699年被选为法国科学院院士；1712年被选为英国皇家学会会员。他还是彼得堡科学院和柏林科学院的名誉院士。约翰·伯努利也是变分法的重要创始人之一。他提出的关于捷线问题对变分学的发展起到了重要的推动作用。1696年约翰提出捷线问题后开始钻研几何问题，并取得了巨大成功。约翰在物理学发展中同样做出了出色贡献。他所发现的虚功原理对物理学的发展产生了重大的推动作用。这一原理也称虚位移原理，是约翰于1717年发现的。它的发现对于分析力学的发展具有重要理论价值。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心丹尼尔·伯努利(DanielBernoulli1700—1782)

丹尼尔·伯努利是约翰的第二个儿子，是这个家族中最杰出的一位。他1700年2月8日出生在荷兰的格罗宁根，1782年3月17日卒于瑞士的巴塞尔。曾与欧拉(L.Euler)一起工作。先后任解剖学、植物学、生理学、物理学和哲学教授，他的学术著作非常丰富，全部数学和力学著作、论文超过80多种，为此，他先后获得巴黎科学院的10次以上的奖赏，受到欧洲学者们的爱戴，获得了相当高的荣誉。1747年他成为柏林科学院的成员，1748年成为巴黎科学院的成员，1750年被选为英国皇家学会会员。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心丹尼尔·伯努利以《流体力学》(1738)一书著称于世，书中提出流体力学的一个重要定理，反映了流体中能量守恒定律，这个定理和相应的公式后称为伯努利定理和伯努利公式。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心上式表明：三种形式的能量可以相互转换；总能量不会有所增减，即三项之和为一常数；单位质量流体机械能守恒四、能量衡算方程式1122u1u2Z1Z200wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心流体在管道流动时的压力变化规律四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心gz为单位质量流体所具有的位能；由此知，柏努利方程的每一项都是单位质量流体的能量。位能、静压能及动能均属于机械能，三者之和称为总机械能或总能量。p/ρ为单位质量流体所具有的静压能；u2/2为单位质量流体所具有的动能;柏努利方程式的物理意义四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心柏努利方程式的其他形式若将上面的柏努利方程各项均除以重力加速度g，则得上式为单位重量流体能量守恒方程式z为位压头；p/ρg为静压头；u2/2g称为动压头（dynamichead）或速度压头(velocityhead)。z+p/ρg+u2/2g为总压头四、能量衡算方程式J/Nwangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心当气体在两截面间的压力差较大时，应考虑流体压缩性的影响，必须根据过程的性质（等温或绝热）按热力学方法处理，在此不再作进一步讨论。对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对压强变化小于原来压强的20%，仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体的平均密度ρm代替。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心实际流体由于有粘性，管截面上流体质点的速度分布是不均匀的从而引起能量的损失。简单实验观察流体在等直径的直管中流动时的能量损失。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心四、能量衡算方程式？两截面处的静压头分别为

z1＝z2；

u22/2g＝u12/2g

；

1截面处的机械能之和大于2截面处的机械能之和。两者之差，即为实际流体在这段直管中流动时的能量损失。>wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心因此实际流体在机械能衡算时必须加入能量损失项。由此方程式可知，只有当1-1截面处总能量大于或等于2-2截面处总能量时，流体才能克服阻力流至2-2截面。式中

∑Hf

——

压头损失，m。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心流体机械能衡算式在实际生产中的应用

（1）式中H―外加压头，m。（2）式中∑hf＝g∑Hf，为单位质量流体的能量损失，J/kg。

W＝gH，为单位质量流体的外加能量，J/kg。式(1)及(2)均为实际流体机械能衡算式，习惯上也称它们为柏努利方程式。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心5）柏努利方程的不同形式

a)若以单位质量的流体为衡算基准（32）式中∑hf＝g∑Hf，为单位质量流体的能量损失，J/kg。

W＝gH，为单位质量流体的外加能量，J/kg。四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心5）柏努利方程的不同形式

b)若以单位重量的流体为衡算基准单位为：m=m*N/N=J/N四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心c)若以单位体积流体为衡算基准静压强项P可以用绝对压强值代入，也可以用表压强值代入单位是：Pa=N/m2=Nm/m3=J/m3四、能量衡算方程式wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心柏努利方程不同形式比较四、能量衡算方程式单位是：？基准是：J/？wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心分析和解决流体输送有关的问题；柏努利方程是流体流动的基本方程式，它的应用范围很广。调节阀流通能力的计算等。液体流动过程中流量的测定；五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心1、应用柏努利方程的注意事项1）作图并确定衡算范围根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向，定出上下截面，以明确流动系统的衡算范围。2）截面的截取两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是连续的，所求得未知量应在两截面或两截面之间，截面的有关物理量Z、u、P等除了所求的物理量之外，都必须是已知的或者可以通过其它关系式计算出来。五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心3）基准水平面的选取基准水平面的位置可以任意选取，但必须与地面平行，为了计算方便，通常取基准水平面通过衡算范围的两个截面中的任意一个截面。如衡算范围为水平管道，则基准水平面通过管道中心线，ΔZ=0。4）单位必须一致在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外，还要求表示方法一致。五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心例1

用泵将贮槽(通大气)中的稀碱液送到蒸发器中进行浓缩，如附图所示。泵的进口管为φ89×3.5mm的钢管，碱液在进口管的流速为1.5m/s，泵的出口管为φ76×2.5mm的钢管。贮槽中碱液的液面距蒸发器入口处的垂直距离为7m，碱液经管路系统的能量损失为40J/kg，蒸发器内碱液蒸发压力保持在0.2kgf/cm2（表压），碱液的密度为1100kg/m3。试计算所需的外加能量。五、柏努利方程式的应用1122wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心式中，z1=0，z2=7；p1=0(表压)，p2=0+0.2kgf/cm2×9.8×104=19600Pa，u10,u2=u’1(d2/d1)2=1.5((89-2×3.5)/(76-2×2.5))2=2.0m/s代入上式，得W=128.41J/kg解：五、柏努利方程式的应用1122选取贮槽上液面为1－1,取截面1－1截面为势能标准面，蒸发器入口管出口的内侧为2－2截面，在1－1和2－2截面列伯努利方程wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心例2从高位槽向塔内加料。高位槽和塔内的压力均为大气压。要求料液在管内以1.5m/s的速度流动。设料液在管内压头损失为1.2m（不包括出口压头损失），试求高位槽的液面应该比塔入口处高出多少米？110022五、柏努利方程式的应用Hwangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心解：选取高位槽的液面作为1-1截面，选在管出口处内侧为2-2截面，以0-0截面为高度基准面，在1-1,2-2两截面间列柏努利方程，则有

u1=0（高位槽截面与管截面相差很大，故高位槽截面的流速与管内流速相比，其值很小可以忽略不计）式中p1=p2=0（表压）

u2=1.5m/sΣhf=1.2mz1=1.31m

计算结果表明，动能项数值很小，流体位能主要用于克服管路阻力。五、柏努利方程式的应用单位？110022wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心1）确定流体的流量

例3：20℃的空气在直径为800mm的水平管流过，现于管路中接一文丘里管，如本题附图所示，文丘里管的上游接一水银U管压差计，在直径为20mm的喉径处接一细管，其下部插入水槽中。空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计，当U管压差计读数R=25mm，h=0.5m时，试求此时空气的流量为多少m3/h?

(当地大气压强为101.33×103Pa)五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心分析：求流量Vh已知d求u直管任取一截面柏努利方程气体判断能否应用？五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’截面1-1’处压强：截面2-2’处压强为：流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心在截面1-1’和2-2’之间列柏努利方程式。以管道中心线作基准水平面。由于两截面无外功加入，We=0。能量损失可忽略不计Σhf=0。柏努利方程式可写为：式中：Z1=Z2=0

P1=3335Pa（表压），P2=-4905Pa（表压）五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心化简得：由连续性方程有：五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心联立(a)、(b)两式五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心2）确定容器间的相对位置例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送入塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为9.81×103Pa，进料量为5m3/h，连接管直径为φ38×2.5mm，料液在连接管内流动时的能量损失为30J/kg(不包括出口的能量损失)，试求高位槽内液面应为比塔内的进料口高出多少？五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心分析：解：取高位槽液面为截面1-1’，连接管出口内侧为截面2-2’,并以截面2-2’的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努利方程式：u、p已知高位槽、管道出口两截面垂直距离求△Z柏努利方程五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心式中：Z2=0；Z1=?

P1=0(表压)；P2=9.81×103Pa(表压）由连续性方程∵A1>>A2,We=0，∴u1<<u2,可忽略，u1≈0。将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心3）确定输送设备的有效功率

例：如图所示，用泵将河水打入洗涤塔中，喷淋后流入下水道，已知管道内径均为0.1m，流量为84.82m3/h，水在塔前管路中流动的总摩擦损失(从管子口至喷头，进入管子的阻力忽略不计)为10J/kg，喷头处的压强较塔内压强高0.02MPa，塔内液面维持衡定，水从塔中流到下水道的阻力损失可忽略不计，泵的效率为65%，求泵所需的功率。五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心分析：求NeNe=WeWs/η求We柏努利方程P2=?塔内压强流体流动非连续截面的选取？解：取塔内水面为截面3-3，下水道截面为截面4-4，取地平面为基准水平面，在3-3和4-4间列柏努利方程：五、柏努利方程式的应用44wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心将已知数据代入柏努利方程式得：44五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心式中：计算塔前管路，取河水表面为1-1截面，喷头内侧为2-2截面，取地平面为水平面基准，在1-1和2-2截面间列柏努利方程。44五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心将已知数据代入柏努利方程式电机的功率：五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心4)管道内流体的内压强及压强计的指示例：如图，一管路由两部分组成，一部分管内径为40mm，另一部分管内径为80mm，流体为水。在管路中的流量为13.57m3/h，两部分管上均有一测压点，测压管之间连一个倒U型管压差计，其间充以一定量的空气。若两测压点所在截面间的摩擦损失为260mm水柱。求倒U型管压差计中水柱的高度R为多少为mm?五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心解：取两测压点处分别为截面1-1和截面2-2，管道中心线为基准水平面。在截面1-1和截面2-2间列单位重量流体的柏努利方程。式中：z1=0，z2=0分析：求R1、2两点间的压强差柏努利方程式u已知五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心代入柏努利方程式：五、柏努利方程式的应用R=?wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心因倒U型管中为空气，若不计空气质量，P3=P4=P五、柏努利方程式的应用？wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心例2：水在本题附图所示的虹吸管内作定态流动，管路直径没有变化，水流经管路的能量损失可以忽略不计，计算管内截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’处的压强，大气压强为760mmHg，图中所标注的尺寸均以mm计分析：求P求u柏努利方程某截面的总机械能求各截面P理想流体五、柏努利方程式的应用22’wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心

解：在水槽水面1－1’及管出口内侧截面6－6’间列柏努利方程式，

并以6－6’截面为基准水平面式中：P1=P6=0（表压）u1≈0代入柏努利方程式五、柏努利方程式的应用22’wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心u6=4.43m/su2=u3=……=u6=4.43m/s取截面2-2’基准水平面,z1=3m，P1=760mmHg=101330Pa对于各截面压强的计算，仍以2-2’为基准水平面:Z2=0,Z3=3m，Z4=3.5m，Z5=3m五、柏努利方程式的应用22’wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心（1）截面2-2’压强（2）截面3-3’压强五、柏努利方程式的应用22’wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心（3）截面4-4’压强（4）截面5-5’压强从计算结果可见：P2>P3>P4

，而P4<P5<P6，这是由于流体在管内流动时，位能和静压能相互转换的结果。22’五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心5）流向的判断

在φ45×3mm的管路上装一文丘里管，文丘里管上游接一压强表，其读数为137.5kPa(表压），管内水的流速u1=1.3m/s，文丘里管的喉径为10mm，文丘里管喉部接一内径为5mm的玻璃管，玻璃管下端插入水池中，池内水面到管中心线的垂直距离为3m，若将水视为理想流体，试判断池中水能否被吸入管中？若能吸入，再求每小时吸入的水量为多少m3/h？五、柏努利方程式的应用wangshui2000@北京化工大学物性及过程模拟中心分析：判断流向比较总势能求P？柏努