高中数学人教A版1直线与圆的位置关系 学业分层测评9

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2­4­12所示，AB是⊙O的直径，MN与⊙O切于点C，AC＝eq\f(1,2)BC，则sin∠MCA＝()图2­4­12\f(1,2) \f(\r(2),2)\f(\r(3),2) \f(\r(5),5)【解析】由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC.∵sin∠ABC＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(AC,\r(AC2＋BC2))＝eq\f(AC,\r(5)AC)＝eq\f(\r(5),5)，故选D.【答案】D2．如图2­4­13，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()图2­4­13A．4 B．5C．6 D．7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】B3.如图2­4­14所示，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()图2­4­14A．2 B．3C．2eq\r(3) D．4【解析】连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝2eq\r(3)，故选C.【答案】C4．如图2­4­15，PC与⊙O相切于C点，割线PAB过圆心O，∠P＝40°，则∠ACP等于()【导学号：07370043】图2­4­15A．20° B．25°C．30° D．40°【解析】如图，连接OC，BC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°.∵OC＝OB，∴∠B＝eq\f(1,2)∠POC＝25°，∴∠ACP＝∠B＝25°.【答案】B5．如图2­4­16所示，已知AB，AC与⊙O相切于B，C，∠A＝50°，点P是⊙O上异于B，C的一动点，则∠BPC的度数是()图2­4­16A．65°B．115°C．65°或115°D．130°或50°【解析】当点P在优弧上时，由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°.∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠BPC＝65°.当P点在劣弧上时，∠BPC＝115°.故选C.【答案】C二、填空题6.如图2­4­17所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.图2­4­17【解析】∵PB切⊙O于点B，∴∠PBA＝∠ACB.又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB，∴△ABD∽△ACB.∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(AD,AB)，∴AB2＝AD·AC＝mn，∴AB＝eq\r(mn).【答案】eq\r(mn)7．如图2­4­18，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上．AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________．图2­4­18【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4.【答案】48.如图2­4­19，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.图2­4­19【解析】连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵PB＝OB＝2，OC＝2，∴PC＝2eq\r(3)，∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)三、解答题9．如图2­4­20所示，△ABT内接于⊙O，过点T的切线交AB的延长线于点P，∠APT的平分线交BT，AT于C，D.图2­4­20求证：△CTD为等腰三角形．【证明】∵PD是∠APT的平分线，∴∠APD＝∠DPT.又∵PT是圆的切线，∴∠BTP＝∠A.又∵∠TDC＝∠A＋∠APD，∠TCD＝∠BTP＋∠DPT，∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD为等腰三角形．10．如图2­4­21，AB是⊙O的弦，M是上任一点，过点M的切线与分别以A，B为垂足的直线AD，BC交于D，C两点，过M点作NM⊥CD交AB于点N，求证：MN2＝AD·BC.图2­4­21【证明】连接AM，MB，因为DA⊥AB，MN⊥CD，所以∠MDA＋∠MNA＝180°.又因为∠MNA＋∠MNB＝180°，所以∠MDA＝∠MNB，又因为CD为⊙O的切线，所以∠1＝∠2，所以△ADM∽△MNB，所以eq\f(AD,MN)＝eq\f(AM,BM)，同理eq\f(MN,BC)＝eq\f(AM,BM)，所以eq\f(AD,MN)＝eq\f(MN,BC)，即有MN2＝AD·BC.[能力提升]1．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝eq\r(3)，则CP＝()【导学号：07370044】\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)－1 D．2eq\r(3)＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥PA，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，在Rt△OPA中，由AP＝eq\r(3)，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝eq\r(3).【答案】A2．如图2­4­22，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C点，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()图2­4­22A．1 B．2C．3 D．4【解析】连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P，∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP，得PC2＝PB·PA，即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径为r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】A3．如图2­4­23，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB＝7，C是圆上一点使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，则AB＝__________.图2­4­23【解析】由PA为⊙O的切线，BA为弦，得∠PAB＝∠BCA.又∠BAC＝∠APB，于是△APB∽△CAB，所以eq\f(PB,AB)＝eq\f(AB,BC).而PB＝7，BC＝5，故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝eq\r(35).【答案】eq\r(35)4．如图2­4­24，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.图2­4­24证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.【证明】(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝eq\f(π,2).又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝