2023年高三数学平面向量知识点与题型总结文科

知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算１、向量的概念:①向量:既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.②零向量：长度为０的向量,记为，其方向是任意的，与任意向量平行③单位向量：模为１个单位长度的向量④平行向量（共线向量):方向相同或相反的非零向量⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量2、向量加法:设，则＋=＝(1）;（2)向量加法满足互换律与结合律;,但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量:与长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差,③作图法:可以表达为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点）４、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ,它的长度与方向规定如下：（Ⅰ);（Ⅱ)当时,λ的方向与的方向相同;当时，λ的方向与的方向相反;当时，，方向是任意的5、两个向量共线定理:向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=６、平面向量的基本定理:假如是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任历来量，有且只有一对实数使：,其中不共线的向量叫做表达这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表达1平面向量的坐标表达：平面内的任历来量可表达成，记作＝（x,ｙ)。2平面向量的坐标运算:若，则若,则若=（x,y),则=（x，y)若，则若，则若，则三.平面向量的数量积1两个向量的数量积:已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cｏs叫做与的数量积（或内积)规定２向量的投影:︱︱ｃｏs=∈R,称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影３数量积的几何意义:·等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系:5乘法公式成立：;6平面向量数量积的运算律：①互换律成立:②对实数的结合律成立:③分派律成立：特别注意:(１)结合律不成立：;(2）消去律不成立不能得到（3)=０不能得到＝或=7两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量，则·=8向量的夹角:已知两个非零向量与,作=,=，则∠AOB=（）叫做向量与的夹角ｃoｓ==当且仅当两个非零向量与同方向时,θ=00,当且仅当与反方向时θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直:假如与的夹角为９00则称与垂直,记作⊥10两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝Ｏ平面向量数量积的性质【练习题】1、给出下列命题：①两个具有共同终点的向量,一定是共线向量;②若A，B,C，Ｄ是不共线的四点,则＝是四边形ＡBＣD为平行四边形的充要条件;③若a与b同向，且|a｜>|b|,则a＞b;④λ，μ为实数，若λa=μb,则a与b共线.其中假命题的个数为()A．1ﻩB．2C．3 ﻩ ﻩﻩD．42．设a０为单位向量,①若a为平面内的某个向量，则a＝|ａ|ａ0；②若ａ与a０平行，则a＝|a|a0;③若a与a0平行且|a|＝1，则ａ=a０．上述命题中，假命题的个数是（)A．0ﻩ ﻩﻩ B．1C．２ ﻩﻩ Ｄ．33、设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a+8b,＝3（a－b)．求证:Ａ,B，D三点共线；(２)试拟定实数k,使kａ＋b和a＋ｋb共线．4、已知两点A（４,1),Ｂ(7,－3),则与同向的单位向量是()A.eｑ＼b\ｌc\（\rc＼)(\a\vs４＼ａl\cｏ1(＼f(３，５），－\f(4,5))) ﻩ ﻩﻩﻩＢ.eq＼b\lc\(＼rｃ＼)(\a\vs4\al\ｃo1(-＼f(3,5)，＼f(4,５)）)Ｃ.eq＼ｂ\lc\（\rc＼)（＼a\vs4\al\ｃo1(－＼ｆ(4,5)，\f(３,５)))ﻩ ﻩ ﻩＤ.eq＼b\lｃ\（\rc\)(\ａ\vs4＼al\cｏ1(\f(４,5)，－\f(３，5))）5、在△ABC中,Ｍ为边ＢC上任意一点，N为ＡM中点,=λ+μ，则λ＋μ的值为()A.ｅq\f(1,2）ﻩＢ.eｑ\f(1,3)C．eq\f(1，4)ﻩ D．１6、已知两个单位向量e1，ｅ２的夹角为eｑ\f(π，3），若向量ｂ1=e1-2ｅ２，ｂ2＝3e1+４e2,则b１·b２＝＿_____＿_.7、已知|ａ|＝1,|b｜＝2,a与ｂ的夹角为12０°,a＋b＋c=0，则a与c的夹角为()A．１5０°ﻩ B.９０°C．6０°ﻩ ﻩﻩＤ.３０°8、已知a与b为两个不共线的单位向量，ｋ为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则ｋ=__＿＿__＿_．9、设向量a，b满足|ａ｜＝1，|ａ-b|＝eq\r（3),a·(a-b)=０,则|2a+b|＝()A．2ﻩB．２eq\r(3)Ｃ.４ﻩ ﻩﻩﻩD.4eq\r(3)10、已知向量a=（siｎｘ，1)，b=eq\b\ｌc\(\rc\)（＼a＼vs４\al\co1(ｃosx,－\f(1，2))）.(1)当a⊥b时,求｜a+ｂ|的值；(２)求函数f(x）＝ａ·(b-a)的最小正周期．1１、已知ｆ（x)＝ａ·ｂ,其中a=（２ｃosｘ，-eｑ\r（3)sｉn2x)，ｂ=(ｃosx,1）（x∈Ｒ)．(１)求f(ｘ)的周期和单调递减区间;(2）在△AＢC中,角A,B,Ｃ的对边分别为a,b，ｃ,f(A）=-1,a=eq\r(7），·＝3，求边长b和c的值(b>ｃ）.AOMNPB1２、如图,在中,a，ｂ,M为OB的中点，N为AB的中点，P为ON、AM的交点，则等(AOMNPBAabBabCabDａb１3.△AＢＣ中,ＡB边的高为ＣＤ，若＝a,＝b，a·b＝0,|a|＝1,|ｂ|＝2，则＝(）A.eq\ｆ(1，3)ａ－eq\ｆ(1,3）bﻩ B.eq\f(2，3)ａ-eq\f（2,3)bC.eq\f（3,5）a－ｅq\f(3,５）b ﻩ ﻩＤ．eｑ\f(4,5）a－eq\ｆ(4,5）ｂ14.(２０23·郑州质检)若向量a＝(ｘ－1，2),ｂ＝(４，y）互相垂直，则9x＋3y的最小值为(）A．12ﻩﻩ ﻩﻩ Ｂ．2eq\r(3)C．3eｑ\r（2) ﻩﻩﻩ D.61５．(20２3·山西省四校联考)在△OＡB(Ｏ为原点）中，=(2cｏｓα,2ｓinα)，=(5cosβ，５ｓinβ），若·＝－5，则△OAB的面积Ｓ=（)Ａ．eq\r(３)ﻩﻩﻩ B.ｅｑ\f(\r（３),2）C．5eq＼r（3) ﻩﻩﻩ D.eq\f(5\r(３),2)16、若ａ,ｂ,c均为单位向量，且ａ·b＝0，(a－c)·(b-c）≤0，则|a＋b-ｃ|的最大值为()．A.eq\r（２)-1B．1C.ｅq\r(２)D．21７、已知△ＡＢC为等边三角形，AB=２.设点P,Q满足eｑ＼o(AP,＼s＼uｐ6(→））=λeｑ＼o(AＢ,\s＼uｐ６(→)),eq\ｏ(AQ，＼s\uｐ6（→))=(1－λ）eq\ｏ（AC,\ｓ\ｕｐ6(→))，λ∈R,若ｅq\ｏ(BQ，\s\uｐ6（→))·ｅｑ\o(ＣP,\s＼up6(→))=-eｑ\f(３,2)，则λ=()．Ａ．eq＼f（１,2）B.eｑ＼f(1±\ｒ(２)，２)C．eq\ｆ(1±\r(１0),2）D.ｅq\ｆ(-3±2＼r(2),２)18如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(０，０)，B(４,1)，Ｃ（6,8)．（1）求顶点D的坐标；(2)若=2,F为AD的中点,求AE与BF的交点I的坐标．．【课后练习题】1.下列等式:①０eq\a＼vs4＼al(－)ａ＝－a；②-(-a)=ａ；③a+（－ａ)=０；④ａ＋0eq\a\ｖs4\aｌ(＝)ａ;⑤a-b＝a＋(-b)．对的的个数是()A．2ﻩＢ．3C．4 ﻩ ﻩ Ｄ．5解析:选C2．(２0２3·福州模拟)若a+b+c＝0,则a，b，c(）A.都是非零向量时也也许无法构成一个三角形B．一定不也许构成三角形C.都是非零向量时能构成三角形D．一定可构成三角形解析:选A3．（2０２3·威海质检)已知平面上不共线的四点O，Ａ，B,C.若＋2＝3,则eq＼ｆ(||，|｜）的值为()A.ｅq\f(1，2）ﻩﻩﻩﻩﻩB.eq\f(1,3)Ｃ．eq\ｆ(1,4）ﻩ ﻩ ﻩD.ｅq＼f(1,6)解析:选A4．(2023·海淀期末)如图，正方形ABCＤ中，点E是DC的中点，点Ｆ是BＣ的一个三等分点（靠近B)，那么=()A.ｅｑ\f(1，２)－ｅq\ｆ(1,3) ﻩﻩB．eq＼f（1,４）+eq＼f(1,２)C．eq\f(1,3）+eq\f(1,2） ﻩﻩﻩＤ.ｅq\f(1,2)-eq＼f(２,3)解析:选Ｄ5．(20２3·揭阳模拟）已知点O为△ABＣ外接圆的圆心,且＋+＝0，则△AＢC的内角Ａ等于()A．30°ﻩﻩﻩﻩ B．60°C．90°ﻩﻩ ﻩD.1２0°解析：选Ａ6.已知△ＡBC的三个顶点A、Ｂ、C及平面内一点P满足++＝,则点P与△AＢC的关系为()A．P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在ＡB边所在直线上Ｄ.P是AC边的一个三等分点解析:选Ｄ7．(2023·郑州五校联考)设点M是线段BＣ的中点,点Ａ在直线BC外,２＝16，|＋|=|－|,则||＝＿___＿＿_＿.答案:28．(２0２3·大庆模拟)已知O为四边形ＡBCD所在平面内一点，且向量,，,满足等式+＝＋,则四边形ＡBＣD的形状为_＿＿＿_＿＿_.答案：平行四边形9.设向量e1,ｅ２不共线，＝３(e1＋e2)，＝ｅ2－e１，＝２e1＋e2,给出下列结论：①Ａ,B，C共线;②Ａ，Ｂ,Ｄ共线;③B，C，D共线；④A，C，Ｄ共线,其中所有对的结论的序号为_______＿．答案：④10.设i,ｊ分别是平面直角坐标系Ox，Oｙ正方向上的单位向量,且＝－2ｉ＋mj，=ni＋j,＝５ｉ-j,若点A，B，C在同一条直线上，且m＝2ｎ,求实数m,ｎ的值．ｅｑ\b\lc\{＼rc\(\ａ\vs4\al＼co1(m=6,，n＝３，))或eq\b\lc\｛＼rc\（\a＼vs4\al＼ｃｏ1（ｍ＝3,,ｎ＝＼ｆ(3,2).))7.已知向量a＝ｅｑ\b＼lc\（\rc＼)（\a\ｖｓ4\al\ｃｏ1(8，＼f(x,2))),b=(x，1),其中x>０,若(ａ－２b）∥(2a+b)，则ｘ＝＿______＿.答案:4８．P＝{a｜a=（-１,1)＋m（1,２）,ｍ∈R},Q=｛ｂ|ｂ=(1，－2）＋n(２，３)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Ｑ等于＿＿______.答案:eｑ\b\lc\{\ｒc\}（\a\vs4\aｌ＼co１（－13，-2３))９．已知向量=(1,－3)，=(2,-1）,=（k+1，k-2)，若A,Ｂ,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是_______＿.答案:k≠110.已知A(1,1)，B(3，-1),C(a,b).(1)若Ａ，B,C三点共线，求a,b的关系式；(2)若=2,求点C的坐标.(５,－3）.１1.已知a＝(1,0),b=(２,１)．求:(1)|a+3ｂ|；（２)当k为什么实数时,ｋa－b与ａ+3b平行，平行时它们是同向还是反向?方向相反.12．已知Ｏ为坐标原点，A(0,２),Ｂ（4,6)，＝t1+t2．(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;(2）求证:当ｔ１＝１时，不管ｔ2为什么实数,A，B，Ｍ三点都共线.８.已知向量ａ，b夹角为４５°，且|a|=1,|２a-ｂ|=eq＼r(10)，则|b|＝_______＿.答案：3eq\r（2)9．已知向量ａ＝（２,-1）,b=(ｘ,－2）,c＝（3，y)，若a∥b，(a＋b)⊥(ｂ-c)，M(x,y)，Ｎ(ｙ，ｘ),则向量的模为__＿__＿_＿.答案:8ｅｑ\r(2）10.已知a＝（1,2)，ｂ＝(-2，n)，ａ与b的夹角是45°.(1）求ｂ；(2)若c与ｂ同向,且ａ与c-ａ垂直,求ｃ.c＝ｅq\f(1,2）ｂ＝