高中数学人教B版本册总复习总复习 2023版第3章对数与对数函数

3．2对数与对数函数3．对数及其运算第1课时对数概念与常用对数1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．(重点)2．理解对数的底数和真数的范围．(易混点)3．掌握对数的基本性质及对数恒等式．(难点)[基础·初探]教材整理1对数的概念阅读教材P95～P96，完成下列问题．1．在指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)中，幂指数x，又叫做以a为底y的对数．2．一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数．3．对数恒等式alogaN＝N.4．对数与指数间的关系ab＝N⇔b＝logaN(a>0，a≠1)．5．常用对数以10为底的对数叫做常用对数，通常把log10N记作lg_N.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对数的运算实质是求幂指数．()【解析】(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×.log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；(3)√.由对数的定义可知(3)正确．【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2对数的性质阅读教材P96“第6行”～P96“例1”以上内容，完成下列问题．1．负数和零没有对数．2．loga1＝0(a＞0，a≠1)．3．logaa＝1(a＞0，a≠1)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为1a＝1，所以log11＝a.()(2)log(－2)(－2)＝1.()(3)任何一个指数式都可化为对数式．()【解析】(1)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；(2)×.因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，真数应大于0，所以(2)错；(3)×.只有满足底数大于0且不等于1的指数式才能化为对数式，如(－2)4＝16就不能化为对数式，故(3)错．【答案】(1)×(2)×(3)×[小组合作型]对数的概念(1)对数式lg(2x－1)中实数x的取值范围是________；(2)对数式log(x－2)(x＋2)中实数x的取值范围是______．【精彩点拨】根据对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0求解．【自主解答】(1)由题意可知对数式lg(2x－1)中的真数大于0，即2x－1>0，解得x>eq\f(1,2)，所以x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,x－2>0，,x－2≠1，))解之得x>2，且x≠3，所以实数x的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)．【答案】(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))(2)(2,3)∪(3，＋∞)根据对数的概念，对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式组，可求得对数式中字母的取值范围.[再练一题]1．对数式log(2x－3)(x－1)中实数x的取值范围是______.【导学号：60210079】【解析】由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,2x－3>0，,2x－3≠1，))解之得x>eq\f(3,2)，且x≠2，所以实数x的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)指数式与对数式的互化(1)将下列的对数式化为指数式或将指数式化为对数式：【精彩点拨】(1)根据ax＝N⇔logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)求解；(2)由于a，b是对数，所以可考虑用指数式表示出a，b，再把它们代入式子中．【自主解答】(1)①因为43＝64，所以log464＝3.②因为logx3＝2，所以x2＝3.④因为lg1000＝3，所以103＝1000.(2)∵a＝log310，b＝log37，∴3a＝10,3b＝7，∴3a－b＝eq\f(3a,3b)＝eq\f(10,7).1．指数式与对数式的互化互为逆运算，在利用ax＝N⇔logaN＝x(a>0且a≠1，N>0)互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．2．在对数式、指数式的互化求值时，要注意灵活运用指数的定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．[再练一题]2．已知logax＝logac＋b，求x的值．【解】[探究共研型]对数的基本性质探究1是不是所有的实数都有对数？【提示】负数和0没有对数．探究2根据对数的定义及对数与指数的关系，你能求出loga1，logaa分别等于什么吗？【提示】因为a0＝1，所以loga1＝0；因为a1＝a，所以logaa＝1.探究3你能推出对数恒等式aeq\s\up8(logaN)＝N(a>0且a≠1，N>0)吗？【提示】因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得aeq\s\up8(logaN)＝N.A．10 B．13C．100 D．±100(2)求x的值：【精彩点拨】(1)利用对数恒等式aeq\s\up8(logaN)＝N求解；(2)利用“底数”的对数为1，“1”的对数为0，由外到内逐层求解．【自主解答】(1)由＝25，得2x－1＝25，所以x＝13.【答案】B得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2＋2x－1＝2x2－1，,3x2＋2x－1>0，,2x2－1>0且2x2－1≠1，))解得x＝2.②∵logeq\s\do5((eq\r(2)－1))eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝x，∴(eq\r(2)－1)x＝eq\f(1,\r(3＋2\r(2)))＝eq\f(1,\r(\r(2)＋12))＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1，∴x＝1.对数恒等式是利用对数的定义推导出来的，要注意其结构特点：1它们是同底的；2指数中含有对数的形式；3其值为对数的真数.)[再练一题]3．已知log2(log3(log4x))＝log3(log4(log2y))＝0，求x＋y的值．【解】∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3.∴x＝43＝64.同理求得y＝16.∴x＋y＝80.1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．e0＝1与loge1＝0B．8＝eq\f(1,2)与log8eq\f(1,2)＝－eq\f(1,3)C．log39＝2与9eq\s\up8(\f(1,2))＝3D．log77＝1与71＝7【解析】由指数、对数互化的关系：ax＝N⇔x＝logaN可知A，B，D都正确；C中log39＝2⇔9＝32.【答案】C2．已知logx8＝3，则x的值为()\f(1,2) B．2C．3 D．4【解析】由logx8＝3，得x3＝8，∴x＝2.【答案】B3．若对数log(x－1)(4x－5)有意义，则x的取值范围是()\f(5,4)≤x＜2 \f(5,2)＜x＜2\f(5,4)＜x＜2或x＞2 D．2≤x≤3【解析】x应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－5>0，,x－1>0，,x－1≠1，))∴x>eq\f(5,4)，且x≠2.【答案】C4．计算＝________.【解析】＝22·＝4×5＝20.【答案】205．求下列各式中的x.【导学号：97512045】(1)log2x＝－eq\f(2,3)；(2)log5(log2x)＝0.【解】(1)x＝2eq\s\up12(－eq\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(2,3)).(2)log2x＝1，x＝2.

第2课时对数的运算1．理解对数的运算性质．(重点)2．知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．[基础·初探]教材整理1对数的运算性质阅读教材P98至P98“例4”以上部分，完成下列问题．如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk(Ni＞0，i＝1,2，…k)(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM__(n∈R)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)logaxy＝logax·logay.()(3)loga(－2)3＝3loga(－2)．()【解析】(1)√.根据对数的运算性质可知(1)正确；(2)×.根据对数的运算性质可知logaxy＝logax＋logay；(3)×.公式logaMn＝nlogaM(n∈R)中的M应为大于0的数．【答案】(1)√(2)×(3)×教材整理2换底公式与自然对数阅读教材P100至P101“例6”以上部分，完成下列问题．1．对数换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)．2．自然对数：lnN＝eq\f(lgN,lge)⇒lnN≈.计算：log29·log34＝________.【解析】由换底公式可得log29·log34＝eq\f(2lg3,lg2)·eq\f(2lg2,lg3)＝4.【答案】4[小组合作型]对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)lg14－2lgeq\f(7,3)＋lg7－lg18；(2)eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg＋2lg2)；(3)log3eq\f(\r(4,27),3)＋lg25＋lg4＋7eq\s\up12(log72)；(4)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5eq\s\up12(2log53).【导学号：60210082】【精彩点拨】当对数的底数相同时，利用对数运算的性质，将式子转化为只含一种或少数几种真数的形式再进行计算．【自主解答】(1)原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.(2)原式＝eq\f(2lg2＋lg3,2＋lg36－2＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,2lg2＋lg3＋2lg2)＝eq\f(2lg2＋lg3,4lg2＋2lg3)＝eq\f(1,2).(3)原式＝log3eq\f(3\s\up12(\f(3,4)),3)＋lg(25×4)＋2＝log33－eq\f(1,4)＋lg102＋2＝－eq\f(1,4)＋2＋2＝eq\f(15,4).(4)原式＝2log32－(log325－log39)＋3log32－5log532＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[再练一题]1．求下列各式的值：(1)lg25＋lg2·lg50；(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25.【解】(1)原式＝lg25＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg25＋1－lg25＝1.(2)eq\f(2,3)lg8＋lg25＋lg2·lg50＋lg25＝2lg2＋lg25＋lg2(1＋lg5)＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＋lg25＋lg2＋lg2·lg5＝2＋lg5(lg5＋lg2)＋lg2＝2＋lg5＋lg2＝3.对数运算的实际应用抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的%，则至少要抽几次？(lg2≈0)【精彩点拨】根据题中的已知条件建立不等关系式，然后利用对数来解不等式．【自主解答】设至少抽n次可使容器内空气少于原来的%，原先容器中的空气体积为a.则a(1－60%)n<%a，即<，两边取常用对数，得n·lg<lg，∴n>eq\f(lg,lg＝eq\f(－3,2lg2－1)≈.故至少需要抽8次才能使容器内的空气少于原来的%.解对数应用题的步骤[再练一题]2．地震的震级R与震释放的能量E的关系为R＝eq\f(2,3)(lgE－．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2023年4月28日发生强度至少为级的地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为级，而2023年3月11日，日本本州岛发生级地震，那么此次地震释放的能量是级地震释放能量的________倍．【解析】设级地震所释放的能量为E1,级地震所释放的能量为E2.由＝eq\f(2,3)(lgE1－，得lgE1＝eq\f(3,2)×＋＝.同理可得lgE2＝eq\f(3,2)×＋＝，从而lgE1－lgE2＝－＝6.故lgE1－lgE2＝lgeq\f(E1,E2)＝6，则eq\f(E1,E2)＝106＝1000000，即级地震释放的能量是级地震释放能量的1000000倍．【答案】1000000[探究共研型]对数换底公式的应用探究1假设eq\f(log25,log23)＝x，则log25＝xlog23，即log25＝log23x，从而有3x＝5，进一步可以得到什么结论？【提示】进一步可以得到x＝log35，即log35＝eq\f(log25,log23).探究2由探究1，你能猜测eq\f(logcb,logca)与哪个对数相等吗？如何证明你的结论？【提示】eq\f(logcb,logca)＝logab.假设eq\f(logcb,logca)＝x，则logcb＝xlogca，即logcb＝logcax，所以b＝ax，则x＝logab，所以eq\f(logcb,logca)＝logab.(1)已知log1227＝a，求log616的值；(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值．【精彩点拨】(1)中两对数的底数不同，可用换底公式换成常用对数，为便于发现关系，可将真数都化为质数进行计算．(2)中各个对数的底数都不相同，需先统一底数再化简求值．【自主解答】(1)由log1227＝a，得eq\f(3lg3,2lg2＋lg3)＝a，∴lg2＝eq\f(3－a,2a)lg3.∴log616＝eq\f(lg16,lg6)＝eq\f(4lg2,lg2＋lg3)＝eq\f(4×\f(3－a,2a),1＋\f(3－a,2a))＝eq\f(43－a,3＋a).(2)法一原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log253＋\f(log225,log24)＋\f(log25,log28)))·log52＋eq\f(log54,log525)＋eq\f(log58,log5125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋\f(2log25,2log22)＋\f(log25,3log22)))log52＋eq\f(2log52,2log55)＋eq\f(3log52,3log55)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·(3log52)＝13log25·eq\f(log22,log25)＝13.法二原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg125,lg2)＋\f(lg25,lg4)＋\f(lg5,lg8)))eq\f(lg2,lg5)＋eq\f(lg4,lg25)＋eq\f(lg8,lg125)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3lg5,lg2)＋\f(2lg5,2lg2)＋\f(lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg5)＋\f(2lg2,2lg5)＋\f(3lg2,3lg5)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13lg5,3lg2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(lg2,lg5)))＝13.法三原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3log25＋log25＋\f(1,3)log25))(log52＋log52＋log52)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋1＋\f(1,3)))log25·log52＝3×eq\f(13,3)＝13.1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如logab·logba＝1，logab·logbc·logcd＝logad，logambn＝eq\f(n,m)logab，logaan＝n，lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．[再练一题]3．求值：log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9)＝________.【解析】原式＝log252·log32－4·log53－2＝eq\f(2lg5,lg2)·eq\f(－4lg2,lg3)·eq\f(－2lg3,lg5)＝16.【答案】161．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logab·logcb＝logcaB．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logacD．loga(b＋c)＝logab＋logac【解析】利用对数的换底公式进行验证，logab·logca