高中数学人教B版本册总复习总复习3

必修②模块检测班级____姓名____考号____分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b的位置关系是()A．平行或不共面B．相交C．不共面D．平行答案：A解析：满足条件的情形如下：2．过点M(2，－m)，N(4m,1)的直线的倾斜角为45°，则|MN|等于\r(2)B．2eq\r(2)\r(3)D．2eq\r(3)答案：B解析：kMN＝eq\f(1＋m,4m－2)＝tan45°＝1，∴m＝1，|MN|＝eq\r(4m－22＋1＋m2)＝2eq\r(2).3．下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，正确命题是()A．若l⊂β，且α⊥β，则l⊥αB．若l⊥β，且α∥β，则l⊥αC．若l⊥β，且α⊥β，则l⊥αD．若α∩β＝m，且l∥m，则l∥α答案：B解析：由线面垂直和面面平行的判定与性质易证l⊥α成立．4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为6π，则这个正四棱柱的体积为()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：设正四棱柱的底面边长是a，球半径是R，则有4πR2＝6π，4R2＝\r(2a2＋22)＝2R,2a2＝4R2－4＝2.因此该正四棱柱的体积是2a2＝2，选B.5．一个空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为()A．1B．2C．4D．8答案：B解析：V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(1＋2)×2×2＝2.6．点P(2，m)到直线l：5x－12y＋6＝0的距离为4，则m的值为()A．1B．－3C．1或eq\f(5,3)D．－3或eq\f(17,3)答案：D解析：利用点到直线的距离公式．7．已知0＜r＜eq\r(2)＋1，则两圆x2＋y2＝r2与(x－1)2＋(y＋1)2＝2的位置关系是()A．外切B．相交C．外离D．内含答案：B解析：设圆(x－1)2＋(y＋1)2＝2的圆心为O′，则O′(1，－1)，两圆的圆心距离d(O，O′)＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2).显然有|r－eq\r(2)|＜eq\r(2)＜eq\r(2)＋r.所以两圆相交．8．已知点A(2,4,3)，B(4,1,9)，C(10，－1,6)，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．有一个内角为30°的直角三角形C．钝角三角形D．有一个内角为45°的直角三角形答案：D解析：AB＝eq\r(4＋9＋36)＝7，AC＝eq\r(64＋25＋9)＝7eq\r(2)，BC＝eq\r(36＋4＋9)＝7，AB2＋BC2＝AC2，且AB＝BC，故△ABC为等腰直角三角形．9．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，关于直线y＝2x对称，那么A．D＝2FB．E＝2C．E＋2D＝0D．D＝E答案：B解析：若圆关于直线y＝2x对称，则需圆心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))在直线y＝2x上，即－eq\f(E,2)＝2(－eq\f(D,2))⇒E＝2D.10．一束光线从点A(4,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝2上的最短路程是()\r(13)B．2eq\r(13)\r(13)＋eq\r(2)\r(13)－eq\r(2)答案：D解析：A(4,1)关于x轴的对称点为B(4，－1)，圆心C(2,2)，则A点经x轴反射到圆上的最短路程为|BC|－r＝eq\r(13)－eq\r(2).11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12π\r(3)πC．3πD．12eq\r(3)π答案：C解析：原图应是一条侧棱垂直于底面的四棱锥，且底面是正方形，边长为1，可补成一个正方体内接于球，则有2R＝eq\r(3)，∴R＝eq\f(\r(3),2).∴S球＝4πR2＝4π×eq\f(3,4)＝3π.12．已知点A(－1,1)，B(3,1)，直线l过点C(1,3)且与线段AB相交，则直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是()A．相交B．相离C．相交或相切D．相切或相离答案：D解析：∵kAC＝1，kBC＝－1，直线l斜率的范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)，直线BC方程为：x＋y－4＝0，圆(x－6)2＋y2＝2的圆心(6,0)到直线BC的距离为eq\r(2)，因此圆(x－6)2＋y2＝2与直线BC相切，画图可知，直线l与圆(x－6)2＋y2＝2的位置关系是相切或相离．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．过直线l1：3x－y－5＝0，l2：x＋2y－4＝0的交点且与直线x＋5y－1＝0平行的直线方程是________．答案：x＋5y－7＝0解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－5＝0，,x＋2y－4＝0，))可得交点坐标为(2,1)．设所求直线方程为x＋5y＋C＝0，将(2,1)代入方程可得C＝－7.14．已知圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么，这个圆柱的体积与这个球的体积之比为__________．答案：32解析：设圆柱的底面半径为r，侧面母线长为l，球的半径为R，则2r＝l，S侧＝2πr·l＝4πr2，S球＝4πR2.故r＝R.又V柱＝πr2·l＝πr2·2r＝2πr3，V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)πr3，故eq\f(V柱,V球)＝eq\f(3,2).15．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m，n⊂α，m∥β，则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；④m，n是两条异面直线，若m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β.其中，正确的命题是__________(写出所有正确命题的序号)答案：③④解析：①中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则可能m∥n或m、n异面，故①错误；②中，若m、n⊂α，m∥β，则只有当m与n不平行且n∥β时，α∥β，故②错误；③中，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,m⊥α))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(n⊥α,n⊥β))⇒α∥β，故③正确．④中，由m∥α，可过m作一平面与α相交于m1，于是m∥m1，同理，由m∥β，可知在β内存在直线m2，使m∥m2，这样就有m1∥m2，而m1⊂α，m2⊂β，所以可得m1∥β，同理在α内有直线n1∥β，根据m、n异面知m1、n1相交，所以α∥β，故④正确．16．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a>0，b>0)}，如果A∩B＝∅，则eq\r(a2＋b2)与ab的大小关系是________．答案：eq\r(a2＋b2)<ab解析：集合A表示的图形是圆x2＋y2＝1，集合B表示的图形是直线bx＋ay－ab＝0(a>0，b>0)．由A∩B＝∅，可知直线和圆没有公共点，即直线与圆相离，所以圆心到直线的距离大于圆的半径，所以eq\f(|－ab|,\r(a2＋b2))>1，即eq\r(a2＋b2)<ab.故填eq\r(a2＋b2)<ab.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足：(1)过点(－1,3)，且与l平行；(2)与直线l关于y轴对称．解：(1)∵l∥l′，∴l′的斜率为－eq\f(3,4)，∴直线l′的方程为：y－3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.(2)l与y轴交于点(0,3)，该点也在直线l′上，在直线l上取一点A(4,0)，则点A关于y轴的对称点A′(－4,0)在直线l′上，所以直线l′经过(0,3)和(－4,0)，故直线l′的方程为3x－4y＋12＝0.18．(12分)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝eq\r(2)，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．证明：(1)EF∥A1D1；(2)BA1⊥平面B1C1EF证明：(1)因为C1B1∥A1D1，C1B1⊄平面ADD1A1，所以C1B1∥平面A1D1DA又因为平面B1C1EF∩平面A1D1EF＝EF所以C1B1∥EF，所以A1D1∥EF.(2)因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥B1C1，又因为B1C1⊥B所以B1C1⊥平面ABB1A1，所以B1C1⊥在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan∠A1B1F＝tan∠AA1B＝eq\f(\r(2),2)，即∠A1B1F＝∠AA1B，故BA1⊥B1F，所以BA1⊥平面B1C119．(12分)已知长方体的三条棱AB、AC、AD端点的坐标分别为A(1,2,1)、B(1,5,1)、C(1,2,7)、D(3,2,1)，求这个长方体的体积和表面积．解：∵A(1,2,1)，B(1,5,1)，C(1,2,7)，D(3,2,1)，∴|AB|＝3，|AD|＝2，|AC|＝6所以长方体的长、宽、高分别为3、2、6，V长方体＝3×2×6＝36S表＝2(3×2＋3×6＋2×6)＝72.20．(12分)一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，俯视图为一个矩形与它的一条对角线．(1)用斜二测画法画出这个几何体的直观图；(2)求该几何体的表面积；(3)在几何体直观图中，问在线段PB上是否存在点M，使得PB⊥平面MAC？若存在，求线段PM的长；若不存在，请说明理由．解：(1)直观图如图所示．(2)由三视图得，底面ABCD为正方形，PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，而底面ABCD为正方形，BC⊥DC，所以BC⊥平面PCD，从而BC⊥PC，同理，AB⊥AP，因此，四个侧面都是直角三角形，即S△PAD＝S△PCD＝eq\f(1,2)×4×4＝8，S△PAB＝S△PCB＝eq\f(1,2)×4×4eq\r(2)＝8eq\r(2).所以，几何体的表面积为S＝16＋16eq\r(2)＋16＝32＋16eq\r(2).(3)设DB与AC相交于点E，在△PDB中，作EM⊥PB于M，∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PD，由于ABCD为正方形，则AC⊥DB，又DB∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD∴AC⊥PB，又AC∩EM＝E，则PB⊥平面MAC.在Rt△PDB中，PD＝4，DB＝4eq\r(2)，EB＝2eq\r(2)，PB＝4eq\r(3)，BM＝EB×cos∠DBP＝EB×eq\f(DB,PB)＝eq\f(4,3)eq\r(3)，则PM＝PB－BM＝4eq\r(3)－eq\f(4,3)eq\r(3)＝eq\f(8,3)eq\r(3)，故线段PB上存在点M，使得PB⊥平面MAC，且PM＝eq\f(8,3)eq\r(3).21．(12分)已知直线l经过两点(2,1)，(6,3)．(1)求直线l的方程；(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于点(2,0)，求圆C的方程．解：(1)由已知，直线l的斜率k＝eq\f(3－1,6－2)＝eq\f(1,2)所以，直线l的方程为x－2y＝0.(2)∵圆C的圆心在直线l上，可设圆心坐标为(2a，a∵圆C与x轴相切于(2,0)点，∴圆心在直线x＝2上，∴a＝1，∴圆心坐标为(2,1)，半径为1，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.22．(12分)已知直线l：2x－y＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，问是否存在c使OP⊥OQ(O为原点)．解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，把y＝2x＋c代入x2＋y2＝1，得：x2＋(2x＋c)2＝1，即：5x2＋4cx＋c2－1＝0.∵l与圆相交，∴Δ＝(4c)2－4×5(c2－1)>0∴c2<5，即－eq\r(5)<c<eq\r(5)①x1x2＝eq\f(c2－1,5)，x1＋x2＝－eq\f(4c,5)，若存在c使